§ 23. Движение системы тел. Учёт трения со стороны внешних тел

Определения и обозначения

Система тел — совокупность тел, рассматриваемых как единое целое при решении задачи. Например, связанные нитью бруски можно объединить в одну систему. Это удобно, когда сначала нужно найти их общее ускорение, не вычисляя силы взаимодействия между ними.

Внешние и внутренние силы — силы со стороны тел, не входящих в систему, и силы взаимодействия между телами самой системы. Границы системы выбирает решающий задачу: от этого зависит, к какому виду относится сила. Такое разделение показывает, какие силы нужно включить в уравнение движения системы в целом.

Внешняя сила трения — сила трения, действующая на тело системы со стороны поверхности внешнего тела. Если брусок скользит по столу, а стол не включён в систему, сила трения со стороны стола внешняя. Её нужно учитывать наряду с тягой и другими внешними силами.

Равнодействующая внешних сил — векторная сумма всех внешних сил, определяющая движение системы в целом. Силы складывают с учётом их направлений, поэтому противоположно направленные силы вычитаются по модулю. Равнодействующая позволяет связать массу системы с её ускорением по второму закону Ньютона.

Как это устроено

Внутренние силы не учитывают в уравнении движения всей системы, потому что при взаимодействии двух её тел возникают пары сил действия и противодействия. По третьему закону Ньютона в каждой паре силы равны по модулю и противоположны по направлению, а значит, их векторная сумма равна нулю. Если сложить уравнения движения всех частей, внутренние силы сократятся. Это не означает, что они исчезли: они по-прежнему могут разгонять одно тело относительно другого.

Второй закон Ньютона для системы записывают так: (m₁ + m₂ + …)a = ΣFвнеш. Слева стоит общая масса, умноженная на ускорение системы, а справа — векторная сумма внешних сил. Запись работает, когда рассматриваемые тела имеют одинаковое ускорение, например связаны натянутой нерастяжимой нитью. Если направления сил различны, сначала выбирают ось и записывают проекции сил на неё со знаками.

Трение между телами, входящими в систему, является внутренней силой. При сложении уравнений для всех тел оно взаимно сокращается, поэтому не меняет ускорение центра масс системы — точки, движение которой описывает перемещение системы в целом. Но для отдельного тела это трение остаётся значимым: оно может разгонять его, тормозить или удерживать без скольжения. Поэтому для движения частей системы понадобятся отдельные уравнения.

Чтобы определить трение со стороны внешней поверхности, сначала выясняют, скользит ли тело. При скольжении сила направлена против относительной скорости поверхностей, а её модуль обычно равен Fтр = μN, где μ — коэффициент трения скольжения, N — нормальная реакция опоры. При отсутствии скольжения действует трение покоя: оно направлено против возможного относительного движения и подстраивается под необходимые условия, но не превышает предела μ₀N. Нормальную реакцию находят из уравнений сил перпендикулярно поверхности.

Для связанных тел удобно сначала объединить их в систему и найти ускорение по равнодействующей внешних сил. Затем нужно выбрать одно тело и записать для него второй закон Ньютона отдельно: так появляется внутренняя сила, например натяжение нити, которая нужна для дальнейшего расчёта. Если трение действует только на часть системы, его включают во внешние силы с направлением, установленным по относительному движению. Нить и блок идеальными считают только тогда, когда это следует из условий задачи.

Силы в системе тел и их учёт

Сначала определите границы системы, затем отметьте, какие силы внешние и какие из них направлены вдоль выбранной оси. Для силы трения отдельно проверьте, есть ли скольжение и чему равна нормальная реакция. Если нужно найти внутреннюю силу, например натяжение, после общего уравнения составьте уравнение для части системы.

Разбор задач

Два бруска на шероховатой поверхности

Бруски массами m₁ и m₂ соединены нитью и движутся по горизонтальной поверхности. К системе приложена горизонтальная сила F, а коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен μ. Найдём ускорение, предполагая, что F направлена вдоль движения и достаточно велика, чтобы бруски двигались в её сторону.

1. Объединим бруски в систему. Масса системы равна m₁ + m₂; натяжение нити внутреннее, поэтому в общем уравнении оно не появится.
2. На каждый брусок со стороны поверхности действует трение величиной μmᵢg, поскольку на горизонтали Nᵢ = mᵢg. Суммарное трение равно μ(m₁ + m₂)g и направлено против движения.
3. Выберем ось вдоль силы F. Второй закон Ньютона для системы: (m₁ + m₂)a = F − μ(m₁ + m₂)g. Отсюда a = F/(m₁ + m₂) − μg.

Ответ: a = F/(m₁ + m₂) − μg, если выражение положительно и выбранное направление движения соответствует действительности. При недостаточной силе трение может не позволить системе начать движение, поэтому в таком случае предположение о скольжении нужно проверить.

Брусок и подвешенный груз

Брусок массой M лежит на столе, коэффициент трения скольжения равен μ, а нить через блок соединяет его с подвешенным грузом массой m. Найдём ускорение и натяжение нити, считая, что груз опускается, нить нерастяжима, а блок идеален. Сначала система даст ускорение без необходимости знать натяжение.

1. Для всей системы внешняя движущая сила — вес груза mg, а трение μMg направлено против движения бруска. Общая масса равна M + m, поэтому (M + m)a = mg − μMg.
2. Решая уравнение, получаем a = g(m − μM)/(M + m). Положительное значение подтверждает предположение о том, что груз опускается; если оно отрицательно, направление движения нужно пересмотреть.
3. Теперь рассмотрим брусок отдельно. Вдоль движения на него действуют натяжение T и трение: T − μMg = Ma. Следовательно, T = Ma + μMg.
4. Подставим найденное ускорение: T = M·g(m − μM)/(M + m) + μMg. Это выражение можно упростить, если требуется, но запись через ускорение также показывает ход расчёта.

Ответ: a = g(m − μM)/(M + m), T = Ma + μMg при выбранном направлении и скольжении. Проверка отдельного уравнения для груза m даёт mg − T = ma.

Брусок на движущейся платформе

Брусок массой m покоится относительно платформы массой M, которая связана нитью с подвешенным грузом массой q. Движению платформы по полу препятствует трение скольжения с коэффициентом μп; коэффициент трения покоя между бруском и платформой равен μ₀. Определим, при каких условиях брусок не будет скользить по платформе, считая, что груз опускается.

1. Рассмотрим платформу, брусок и груз как одну систему. Суммарная масса M + m + q, движущая сила qg, а трение пола μп(M + m)g, так как пол поддерживает платформу вместе с бруском.
2. Уравнение системы: (M + m + q)a = qg − μп(M + m)g. Значит, a = g[q − μп(M + m)]/(M + m + q).
3. Чтобы брусок двигался вместе с платформой, его должна разгонять сила трения покоя. Для бруска требуется сила m|a|, а её предельное значение равно μ₀mg. Условие отсутствия скольжения: m|a| ≤ μ₀mg, то есть |a| ≤ μ₀g.
4. Подставим выражение для ускорения: |q − μп(M + m)|/(M + m + q) ≤ μ₀. Это и есть проверка диапазона параметров; при движении груза вниз дополнительно требуется q > μп(M + m).

Ответ: брусок остаётся неподвижным относительно платформы, если требуемое ускорение не превосходит μ₀g. Если неравенство нарушено, трения покоя недостаточно и брусок начнёт скользить.

Типичные ошибки

Первая ошибка — включать внутренние силы в уравнение движения всей системы. Её допускают, когда механически переносят в общее уравнение силы из уравнений отдельных тел. Проверьте себя: при сложении уравнений противоположные силы взаимодействия должны сократиться.

Вторая ошибка — называть трение внешним или внутренним, не определив состав системы. Причина в том, что слово «трение» само по себе не указывает на принадлежность силы. Перед записью уравнения перечислите тела системы и выясните, входит ли в неё тело, создающее трение.

Третья ошибка — направлять трение туда же, куда движется тело. Так происходит, если забыть, что трение препятствует относительному скольжению, а не обязательно движению относительно земли. Представьте, в какую сторону поверхности двигались бы друг относительно друга без трения, и направьте силу против этого движения.

Четвёртая ошибка — считать трение покоя всегда равным μ₀N. Эта формула задаёт предельную силу, а не значение при любых обстоятельствах; трение покоя может быть меньше. Сначала найдите силу, необходимую для отсутствия скольжения, а затем проверьте условие Fтр ≤ μ₀N.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй и третий законы Ньютона, правила сложения сил, понятие реакции опоры, силы трения и условия равновесия. Метод системы тел помогает рассчитывать связанные грузы, транспорт и движение по шероховатым поверхностям, а также определять ускорение центра масс. Позже тот же подход пригодится при изучении импульса системы тел и закона сохранения импульса: выбор границ системы помогает отделить внешние воздействия от внутренних взаимодействий.

Что запомнить

• Систему тел можно рассматривать как одно тело с массой, равной сумме масс её частей.
• Ускорение системы определяется равнодействующей только внешних сил.
• Внутренние силы не изменяют движение системы в целом.
• Трение со стороны внешнего тела является внешней силой и обязательно учитывается.
• Сила трения направлена против относительного скольжения или его возможного направления.
• При трении покоя сила принимает необходимое значение, но не превышает предельного.
• Для нахождения натяжения и сил взаимодействия между телами нужны отдельные уравнения для частей системы.