§ 23. Движение системы тел. Учёт трения со стороны внешних тел

Определения и обозначения

Система тел — выбранная для совместного рассмотрения совокупность тел. Например, системой могут быть два соприкасающихся бруска или грузы, соединённые нитью; важно явно указать, что именно в неё входит. Это помогает разделить силы на внутренние и внешние и выбрать удобный способ решения.

Внешние силы действуют на тела системы со стороны тел, не включённых в неё. Для пары брусков внешними будут, например, сила тяжести, реакция опоры и приложенная извне сила. Такие силы нужно учитывать, когда находят движение системы целиком.

Внутренние силы — силы взаимодействия между телами одной системы. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому при сложении сил для всей системы они взаимно компенсируются. Это позволяет не искать их при расчёте общего ускорения.

Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей и препятствует их относительному скольжению или его началу. Она направлена против фактического либо возможного относительного движения, а не обязательно против движения тела относительно земли. Для трения скольжения модуль обычно равен Fтр = μN, где N — сила нормальной реакции опоры, μ — коэффициент трения скольжения.

Как это устроено

Систему выбирают так, чтобы упростить задачу: тела, взаимодействующие друг с другом, удобно объединить. Тогда силы их взаимного действия становятся внутренними и не нужны для нахождения движения системы целиком. Например, если два соприкасающихся бруска толкают друг друга, для общей системы достаточно учесть внешнее воздействие и суммарную массу. Если же требуется найти силу давления одного бруска на другой, придётся перейти к рассмотрению отдельного тела.

Второй закон Ньютона для системы связывает её общее движение с равнодействующей внешних сил. Внутренние силы компенсируются попарно, поэтому не могут изменить движение центра масс системы: они лишь перераспределяют движение между её частями. Если масса системы равна M, а ускорение центра масс — a_ц.м., то ΣF_внеш = M a_ц.м.. В проекции на выбранную ось учитывают знаки сил: направленные по оси берут со знаком плюс, а направленные против неё — со знаком минус.

Уравнения для системы и отдельных тел дополняют сведениями о связи между телами. Когда бруски движутся вместе и не проскальзывают друг относительно друга, их ускорения вдоль движения одинаковы: a₁ = a₂. Это равенство позволяет соединить уравнения, составленные для каждого тела, и найти неизвестные силы. Но сама по себе связь тел ещё не гарантирует равенства ускорений: оно должно следовать из конкретного устройства и условий движения.

Если внешняя поверхность шероховатая, её действие учитывают в уравнении системы как внешнюю силу трения. Причина проста: опора не входит в систему, но взаимодействует с одним из её тел. Направление трения определяют по фактическому или возможному скольжению поверхностей относительно друг друга. При скольжении модуль силы трения обычно находят по формуле F_тр = μN; чтобы вычислить его, сначала определяют нормальную реакцию опоры.

Классификация сил зависит от выбранных границ системы. Сила взаимодействия двух тел будет внутренней, если оба тела включены в систему, и внешней, если включено только одно из них. Например, натяжение нити не входит в равнодействующую внешних сил для системы из двух связанных грузов, если нить и оба груза рассматриваются как единая система. При анализе только одного груза натяжение уже является внешней силой для выбранного тела.

Силы и уравнения движения системы тел

Сначала определите границы системы, а затем по таблице выберите нужный набор сил и уравнение. Для общего ускорения удобнее рассматривать все тела вместе; для силы взаимодействия или натяжения — одно тело. Условие равенства ускорений добавляйте только тогда, когда оно действительно следует из связи.

Разбор задач

Два соприкасающихся бруска на гладкой поверхности

Пусть массы брусков равны m₁ и m₂, а горизонтальная сила F приложена к первому бруску и направлена вдоль движения. Поверхность гладкая, внешнего трения нет. Требуется найти ускорение системы и силу взаимодействия брусков.

1. Рассмотрим оба бруска вместе. Сила взаимодействия между ними внутренняя, поэтому в уравнение системы не входит. По второму закону Ньютона F = (m₁ + m₂)a, откуда a = F/(m₁ + m₂).
2. Теперь выделим второй брусок. По горизонтали на него действует сила со стороны первого бруска, и именно она сообщает ему найденное ускорение. Поэтому F_вз = m₂a.
3. Подставим ускорение системы: F_вз = m₂F/(m₁ + m₂). При таком выборе направления сила на второй брусок направлена по движению, а сила на первый брусок имеет противоположное направление.

Ответ: a = F/(m₁ + m₂), F_вз = m₂F/(m₁ + m₂). Сначала общая система дала ускорение, а рассмотрение одного бруска позволило найти внутреннюю силу.

Брусок на шероховатой горизонтальной поверхности

Пусть масса бруска равна m, приложенная сила F направлена горизонтально, а коэффициент трения скольжения равен μ. Найдём ускорение, если сила направлена вправо и брусок скользит вправо. Сила трения при этом направлена влево, поскольку препятствует относительному скольжению бруска по опоре.

1. По вертикали ускорения нет, поэтому N − mg = 0 и N = mg. Здесь сила F горизонтальна и не меняет нормальную реакцию.
2. Модуль силы трения равен F_тр = μN = μmg. По горизонтали второй закон Ньютона имеет вид F − μmg = ma.
3. Выразим ускорение: a = (F − μmg)/m. Если выбранное направление движения не подтверждается результатом, нужно пересмотреть исходное предположение о направлении движения и трения.

Ответ: a = (F − μmg)/m при выбранном направлении вправо. Трение уменьшает результирующую силу, а значит, и ускорение по сравнению с движением без трения.

Связанные тела, одно из которых лежит на шероховатой поверхности

Пусть тело массой m₁ лежит на горизонтальном столе с коэффициентом трения μ, а тело массой m₂ свисает через блок. Нить невесома и нерастяжима, блок идеален; предполагаем, что m₂ опускается. Найдём ускорение и натяжение нити.

1. Выберем систему из обоих тел. Трение со стороны стола — внешняя сила для этой системы, направленная против движения m₁; её модуль равен μm₁g. Натяжение нити внутреннее и при сложении уравнений системы сокращается.
2. Вдоль движения равнодействующая внешних сил равна m₂g − μm₁g. Поэтому (m₁ + m₂)a = m₂g − μm₁g, откуда a = g(m₂ − μm₁)/(m₁ + m₂).
3. Чтобы найти натяжение, рассмотрим свисающее тело. Для выбранного направления m₂g − T = m₂a, значит, T = m₂(g − a). Натяжение не исчезло из уравнения отдельного тела, поскольку теперь оно внешнее для этой части системы.

Ответ: a = g(m₂ − μm₁)/(m₁ + m₂), T = m₂(g − a). Полученное направление движения согласуется с расчётом, если m₂g больше силы трения μm₁g.

Типичные ошибки

Первая ошибка — включать внутренние силы в уравнение для всей системы. Их учитывают, потому что они заметны в уравнениях отдельных тел, и забывают, что для всей системы силы взаимодействия попарно компенсируются. Проверьте, входят ли оба взаимодействующих тела в выбранную систему: если да, сила между ними внутренняя. В равнодействующей для системы оставьте только силы извне.

Вторая ошибка — считать, что трение всегда направлено против движения тела относительно земли. Такое правило кажется удобным, но трение препятствует относительному скольжению соприкасающихся поверхностей. Представьте, как одна поверхность могла бы смещаться относительно другой, и направьте силу против этого смещения. Если тело и опора движутся вместе, направление трения всё равно определяют по их возможному взаимному скольжению.

Третья ошибка — забывать трение со стороны внешней опоры. При рассмотрении только тел опора находится за границей системы, поэтому её сила является внешней и меняет ускорение системы. Проверьте диаграмму сил: для каждого контакта с телом вне системы должно быть учтено соответствующее действие. На горизонтальной шероховатой поверхности обычно нужно включить силу трения и найти нормальную реакцию.

Четвёртая ошибка — приравнивать ускорения всех связанных тел только из-за наличия связи. Ускорения могут быть равны, если конкретная связь и условия движения это обеспечивают, например тела соприкасаются и движутся вместе без проскальзывания. Проверьте, сохраняются ли расстояния между телами и как устроена нить или блок. Если связь задаёт другое соотношение, используйте именно его, а не равенство ускорений.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, сложение сил и проекции векторов на оси: без них нельзя составить уравнения движения. Диаграмма сил помогает перечислить все взаимодействия, а знания о нормальной реакции и трении скольжения позволяют учесть действие опоры. Метод системы тел применяют в задачах со связанными грузами, нитями и блоками. Он особенно полезен, когда сначала требуется найти общее ускорение, а затем — отдельную силу взаимодействия.

Что запомнить

• Состав системы выбирают так, чтобы упростить решение задачи.
• Для всей системы учитывают равнодействующую внешних сил.
• Внутренние силы не изменяют движение центра масс системы.
• Сила трения со стороны внешней поверхности является внешней силой.
• Направление трения определяют относительно возможного или фактического скольжения поверхностей.
• Уравнения для системы и отдельных тел можно сочетать, чтобы найти ускорение и силы взаимодействия.