2. Движение тел в разных направлениях

Определения и обозначения

Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы; движение описывают относительно выбранной системы. Например, для движения пассажира можно выбрать вагон или землю. Это определение нужно, чтобы точно указать, относительно чего измерены положение и скорость.

Относительное движение — движение тела, рассматриваемое относительно другого тела или системы отсчёта. Пассажир может оставаться на месте относительно сиденья, но перемещаться относительно здания за окном. Понятие помогает описывать одно и то же движение с точки зрения разных наблюдателей.

Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого; для неё обязательно указывают, относительно чего она определена. Например, скорость лодки относительно воды может отличаться от её скорости относительно берега. Это различие необходимо учитывать, чтобы не смешать величины, измеренные разными наблюдателями.

Закон сложения скоростей связывает скорости тела относительно разных систем отсчёта векторным сложением. Если тело 1 движется относительно системы 2, а система 2 — относительно системы 0, то v₁₀ = v₁₂ + v₂₀. Закон нужен, чтобы перейти от скорости в подвижной системе к скорости относительно выбранной неподвижной системы.

Как это устроено

Описание движения зависит от системы отсчёта, потому что координаты тела сравнивают с положением тела отсчёта. Пассажир, сидящий в вагоне, не меняет положения относительно вагона, поэтому в этой системе он покоится. Для наблюдателя на платформе пассажир движется вместе с поездом, поскольку меняется его расстояние до платформы. Следовательно, слова «покоится» и «движется» имеют смысл только после указания системы отсчёта.

Чтобы найти скорость тела относительно неподвижной системы, представьте, как оно перемещается внутри движущейся системы и как сама система перемещается относительно наблюдателя. За один и тот же промежуток времени оба перемещения складываются в одно общее перемещение. Поэтому соответствующие скорости складывают как векторы: v₁₀ = v₁₂ + v₂₀. Формула применима, если скорости заданы относительно согласованных систем отсчёта и рассматривается один и тот же промежуток времени.

Когда два тела движутся вдоль одной прямой, удобно выбрать направление оси за положительное и записать скорости со знаками. Если векторы направлены одинаково, их модули складываются: например, движение человека вперёд по едущему вагону увеличивает его скорость относительно земли. Если направления противоположны, один вектор имеет отрицательный знак, поэтому результирующий модуль получается разностью. Такой способ показывает, почему нельзя заранее решать, складывать числа или вычитать: сначала нужно установить направления.

При движении под углом скорости направлены не вдоль одной прямой, поэтому их нельзя просто сложить или вычесть как числа. Векторы складывают по правилу треугольника или параллелограмма: начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумма соединяет начало первого с концом второго. Для перпендикулярных скоростей модуль суммы равен √(v₁² + v₂²), поскольку векторы образуют катеты прямоугольного треугольника. Направление результирующего движения задаёт диагональ, а не одно из исходных направлений.

В задачах о реке, эскалаторе и транспорте движущаяся среда или платформа играет роль подвижной системы отсчёта. Для лодки складывают скорость относительно воды и скорость течения относительно берега; для человека на эскалаторе — скорость относительно ступеней и скорость ступеней относительно здания. Если человек идёт против движения эскалатора, векторы направлены навстречу, и результирующая скорость может оказаться меньше скорости каждого из движений. Именно выбор систем отсчёта помогает правильно составить сумму.

Сложение скоростей при разных направлениях движения

Сначала определите, относительно каких систем заданы скорости, затем сравните направления их векторов. Для прямой используйте сложение со знаками, а для движения под углом — геометрическое сложение векторов. Таблица подсказывает способ вычисления, но не заменяет проверку системы отсчёта.

Разбор задач

Пешеход на эскалаторе

Пешеход идёт по движущемуся эскалатору в ту же сторону, что и ступени. Скорость пешехода относительно эскалатора равна vₚ, а скорость эскалатора относительно здания — vₑ. Требуется найти скорость пешехода относительно здания.

1. Обозначим системы: пешеход — P, эскалатор — E, здание — З. Запишем закон сложения: vₚЗ = vₚE + vₑЗ.
2. Обе скорости направлены одинаково, поэтому их векторы сонаправлены. Модуль скорости относительно здания равен vₚ + vₑ.
3. Проверим результат по смыслу: относительно здания пешеход должен перемещаться быстрее, чем один только эскалатор, поскольку он ещё и шагает вперёд по ступеням.

Ответ: скорость пешехода относительно здания равна vₚ + vₑ и направлена по движению эскалатора.

Автомобили движутся навстречу

Два автомобиля движутся по одной прямой навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂ относительно дороги. Нужно определить скорость первого автомобиля относительно второго. Выберем положительное направление по движению первого автомобиля, тогда скорость второго будет иметь противоположный знак.

1. Запишем скорости относительно дороги: v₁З = +v₁, v₂З = −v₂. Скорость первого относительно второго равна разности векторов: v₁₂ = v₁З − v₂З.
2. Подставим знаковые значения: v₁₂ = v₁ − (−v₂) = v₁ + v₂. Знак «плюс» в результате показывает, что первый автомобиль приближается к системе отсчёта, связанной со вторым.
3. Проверим смысл: расстояние между встречными автомобилями уменьшается за секунду на сумму пройденных ими за эту секунду расстояний. Поэтому относительная скорость по модулю больше каждой из скоростей по отдельности.

Ответ: модуль скорости первого автомобиля относительно второго равен v₁ + v₂.

Лодка пересекает реку

Лодка движется поперёк реки относительно воды со скоростью vₗ, а течение направлено вдоль берега со скоростью vт. Эти направления перпендикулярны. Требуется найти скорость лодки относительно берега и направление её движения.

1. Обозначим поперечное направление осью x, а направление течения — осью y. Скорость относительно берега складывается из двух составляющих: vₓ = vₗ и vᵧ = vт.
2. По теореме Пифагора модуль результирующей скорости равен v = √(vₗ² + vт²). Он больше каждой из составляющих, потому что лодка одновременно перемещается поперёк реки и вниз по течению.
3. Угол α между результирующей скоростью и направлением поперёк берега определим из соотношения tg α = vт / vₗ. Направление будет сноситься вниз по течению; чем быстрее течение по сравнению со скоростью лодки, тем сильнее снос.

Ответ: скорость относительно берега равна √(vₗ² + vт²), а направление образует с поперечным направлением угол α, где tg α = vт / vₗ, вниз по течению.

Типичные ошибки

Складывать модули скоростей, не проверив направления, — ошибка: скорость является вектором, а не просто числом. Её часто допускают, потому что в условии даны привычные числовые значения и хочется сразу выполнить арифметическое действие. Перед вычислением нарисуйте стрелки или задайте ось и знаки; если векторы противоположны, сумма не равна сумме модулей.

Смешивать скорости, заданные относительно разных систем отсчёта, нельзя: например, скорость лодки относительно воды и скорость течения относительно берега относятся к разным парам объектов. Такая путаница возникает, когда обозначения систем не записывают. Проверка проста: у каждой скорости укажите, чьё это движение и относительно чего оно измерено, а затем применяйте закон сложения.

Считать, что относительная скорость всегда равна сумме модулей скоростей, неверно: результат зависит от направлений. Сумма получается, например, при встречном движении автомобилей, но при движении в одну сторону скорость сближения равна разности модулей. Чтобы проверить себя, представьте, увеличивается или уменьшается расстояние между телами за секунду.

При перпендикулярном движении нельзя складывать скорости арифметически, потому что они не направлены вдоль одной прямой. Ошибка появляется, если учитывать только числовые значения и не строить векторы. Изобразите прямоугольный треугольник: исходные скорости будут катетами, а результирующая — гипотенузой; её модуль находят по теореме Пифагора.

Связь с другими темами

Для сложения скоростей нужно знать, что скорость — векторная величина, и уметь изображать векторы стрелками. Пригодятся правила сложения векторов и теорема Пифагора для перпендикулярных направлений. Без этих знаний можно верно выполнить арифметику, но ошибиться в направлении результата.

Закон сложения скоростей используют при изучении движения в подвижных системах отсчёта. Он помогает разбирать задачи о транспорте, лодках и течениях, а также понимать движение наблюдателя внутри движущегося объекта. В каждой такой задаче сначала выбирают системы отсчёта и только затем составляют векторное равенство.

Что запомнить

• Движение описывают только относительно выбранной системы отсчёта.
• Скорость тела зависит от системы отсчёта.
• Скорости при переходе между системами отсчёта складывают как векторы.
• Для сонаправленных скоростей модули складываются.
• Для противоположно направленных скоростей результирующий модуль равен разности модулей.
• При движении под прямым углом модуль результирующей скорости находят по теореме Пифагора.