§ 23. Движение системы тел. Учёт трения со стороны внешних тел

Определения и обозначения

Система тел — совокупность тел, движение которых рассматривают совместно и для которых составляют общие уравнения движения. В систему включают связанные между собой тела, например бруски и груз, соединённые нитью. Такой выбор позволяет находить ускорение сразу для всей совокупности.

Внешняя сила — сила, действующая на систему со стороны тела, не входящего в эту систему. К ней относятся сила тяжести, действие опоры, тяга и трение о внешний стол. Именно внешние силы определяют движение системы в целом.

Внутренняя сила — сила взаимодействия между телами, входящими в одну систему. Например, бруски действуют друг на друга, а нить действует на соединённые грузы. Эти силы нужны для описания отдельных тел, но при рассмотрении всей системы обычно взаимно сокращаются.

Сила трения со стороны внешнего тела — сила, действующая на тело системы вдоль поверхности контакта и направленная против относительного движения или его возможного направления. Её модуль при сухом скольжении часто находят по формуле f = μN. Если внешняя поверхность соприкасается только с одним телом системы, трение всё равно влияет на движение всей системы.

Как это устроено

Границы системы выбирают не формально, а так, чтобы упростить решение. Если включить в систему два взаимодействующих бруска, их силы действия друг на друга станут внутренними. Если же рассматривать только один брусок, сила со стороны второго будет внешней для выбранной системы.

При записи второго закона Ньютона для каждого тела внутренние силы входят в разные уравнения противоположными векторами. При сложении уравнений они сокращаются по третьему закону Ньютона: силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому внутренние силы не меняют суммарное движение системы, хотя могут менять движение её отдельных частей.

Для всей системы складывают массы и уравнения движения тел. Получается уравнение F внешн = M системы a, где F внешн — векторная сумма внешних сил, M системы — общая масса, а a — ускорение системы. Оно показывает, что одинаковое ускорение всех связанных тел определяется не всеми силами вообще, а только их внешней равнодействующей.

Трение со стороны опоры необходимо включать в уравнение, если опора не входит в систему. Оно передаёт системе действие внешней поверхности и может уменьшить ускорение, остановить движение или изменить его направление. Нельзя исключать трение только потому, что оно приложено не ко всем телам: достаточно, чтобы оно действовало хотя бы на одно тело системы.

Сначала выбирают оси, обычно одну вдоль предполагаемого движения, а другую перпендикулярно ему. Затем определяют направление возможного относительного скольжения и направляют трение противоположно ему, после чего проектируют силы на оси. Из полученного уравнения находят ускорение; отрицательный результат означает, что настоящее направление противоположно выбранному.

Силы и уравнения при движении системы тел

Таблица помогает сравнить запись закона Ньютона для одного тела и для всей системы. Сначала определите границы системы, затем внесите в правый столбец только внешние силы. Для натяжения и других внутренних сил после этого переходят к отдельному телу.

Разбор задач

Два бруска на шероховатой поверхности

Пусть бруски массами m₁ и m₂ соприкасаются на горизонтальном столе, коэффициент трения равен μ, а сила F приложена к первому бруску. Требуется найти ускорение и силу взаимодействия между брусками. Считаем, что движение направлено в сторону силы, а трение скольжения действует против него.

1. Объединим бруски в систему: F − μ(m₁ + m₂)g = (m₁ + m₂)a, поэтому a = F/(m₁ + m₂) − μg.
2. Рассмотрим второй брусок. Сила толкания N со стороны первого направлена вперёд, трение μm₂g — назад: N − μm₂g = m₂a.
3. Отсюда N = m₂(a + μg). Подставив ускорение системы, получаем N = m₂F/(m₁ + m₂).

Ответ: a = F/(m₁ + m₂) − μg, а сила взаимодействия при приложении F к первому бруску равна N = m₂F/(m₁ + m₂). Если сила приложена к другому бруску, выражение для N изменится.

Брусок и подвешенный груз

Брусок массой M лежит на шероховатой горизонтальной поверхности и соединён через блок с грузом массой m. Пусть груз движется вниз, а брусок — к блоку; коэффициент трения бруска о поверхность равен μ. Нужно найти ускорение и натяжение нити.

1. Рассмотрим оба тела как систему. Внутреннее натяжение сократится, а внешняя движущая сила равна mg − μMg, поэтому a = (mg − μMg)/(M + m).
2. Для бруска запишем T − μMg = Ma, откуда T = M(a + μg).
3. Если числитель для ускорения отрицателен, выбранное направление движения неверно: система будет двигаться в обратную сторону либо останется в покое, если трение покоя это позволяет.

Ответ: при скольжении вниз груза a = (mg − μMg)/(M + m), T = M(a + μg). Сначала найденное ускорение удобно получать для всей системы, а натяжение — из уравнения одного тела.

Связанные тела на наклонной плоскости

Рассмотрим несколько связанных тел, движущихся по наклонной плоскости, причём одно тело контактирует с шероховатой внешней поверхностью. Обозначим угол наклона через α, а силы вдоль выбранного направления сложим алгебраически. Такой способ подходит и при нескольких телах, если их ускорения связаны нитью.

1. Выберем ось вдоль плоскости и предположим направление движения. Для каждого тела разложим силу тяжести: вдоль плоскости действует mg sin α, перпендикулярно — mg cos α.
2. Для тела на шероховатой поверхности найдём трение f = μmg cos α и направим его против возможного скольжения. Для всей системы запишем a = ΣF внешн/(Σm).
3. Знак a проверит направление движения. Затем для одного тела составим уравнение вдоль плоскости и найдём натяжение нити T; остальные силы уже известны.

Ответ получают после подстановки конкретных масс, угла и коэффициента трения. Главное — сравнить движущие составляющие тяжести с трением и не включать внутренние натяжения в уравнение всей системы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать внутренние силы внешними при записи уравнения для всей системы. Так силы взаимодействия могут попасть в сумму дважды и искусственно изменить ускорение. Проверьте каждую силу: если оба тела, между которыми она действует, входят в систему, она должна исчезнуть после сложения.

Вторая ошибка — не включать трение от опоры, потому что оно действует лишь на одно тело. Такое рассуждение неверно: внешняя сила может быть приложена к части системы, но менять движение всей системы. Проверьте, входит ли опора в выбранную систему; если нет, её трение является внешним.

Третья ошибка — направлять трение просто противоположно ускорению. Трение противодействует относительному скольжению поверхностей или его возможному направлению, поэтому сначала нужно определить движение в точке контакта. Четвёртая ошибка — использовать массу одного тела вместо общей массы: в формуле всей системы знаменателем служит сумма масс всех включённых тел.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны второй закон Ньютона, сложение сил, проекции векторов на оси и формулы силы трения. Она продолжает метод решения задач о связанных телах, нитях и блоках: систему используют для ускорения, а отдельное тело — для натяжения. Те же приёмы применяются к поездам, платформам, брускам и грузам на шероховатых поверхностях.

Что запомнить

• Систему тел выбирают так, чтобы упростить составление уравнений.
• Силы между телами одной системы являются внутренними.
• Внутренние силы не изменяют суммарное движение системы.
• Движение всей системы определяется равнодействующей внешних сил.
• Трение со стороны тела, не входящего в систему, является внешней силой.
• Для системы тел используют уравнение F внешн = M системы a.
• Для нахождения сил взаимодействия дополнительно рассматривают отдельные тела.