§ 24. Движение системы тел. Учёт трения между телами системы

Определения и обозначения

Система тел — несколько взаимодействующих тел, которые при решении задачи рассматривают как единое целое. В систему включают объекты, чьё совместное движение удобно анализировать. Такой выбор помогает заменить несколько масс одной общей массой M = m₁ + m₂ + ….

Внешняя сила — сила, действующая на систему со стороны тела, не входящего в неё. К внешним относят, например, силу тяги, тяжести или сопротивления поверхности. Именно их равнодействующая определяет ускорение всей системы.

Внутренняя сила — сила взаимодействия между телами, входящими в одну систему. Силы каждой пары равны по модулю и противоположны по направлению. При рассмотрении всей системы они сокращаются, но для отдельного тела становятся необходимыми.

Сила трения между телами системы возникает при контакте поверхностей и направлена против их относительного движения или возможного скольжения. Она может передавать действие одного тела другому и заставлять их двигаться вместе. Обозначают силу трения обычно буквой f.

Как это устроено

Выделение системы позволяет заменить несколько тел одним объектом с массой M. Если сложить уравнения Ньютона для всех тел, внутренние силы исчезнут попарно: действие первого тела на второе компенсируется противодействием второго на первое. Поэтому для системы записывают ΣFвнеш = Ma, не находя заранее каждую силу взаимодействия.

При рассмотрении отдельных тел внутренние силы уже нельзя отбросить, потому что они действуют на выбранное тело извне. Например, нить тянет один брусок вперёд, а другой — назад, и эти силы входят в разные уравнения. Такой переход нужен, когда требуется найти натяжение, силу трения или ускорение каждого тела.

Трение передаёт взаимодействие через контакт поверхностей. Если нижний брусок тянут вправо, он стремится проскользнуть под верхним, поэтому сила трения действует на верхний брусок вправо и увлекает его за собой, а на нижний — влево. Так трение может обеспечить одинаковое ускорение тел без скольжения.

Трение покоя возникает, когда поверхности не скользят друг относительно друга, и меняется в нужных пределах: 0 ≤ f ≤ fmax = μN. Равенство f = μN выполняется только на границе срыва, а не при любом покое. При скольжении используют трение скольжения fтр = μN, направленное против относительной скорости.

Сначала выбирают систему и направление осей, затем находят её ускорение по внешним силам. После этого составляют уравнение для каждого тела, предполагая совместное движение, и вычисляют требуемую силу трения. Если она не превышает μN, предположение верно; если превышает, начинается скольжение и для тел нужно использовать отдельные ускорения.

Силы и уравнения при движении системы тел

Таблица помогает понять, когда достаточно одного уравнения для всей системы, а когда нужно перейти к отдельным телам. В каждой задаче сначала определите рассматриваемый объект и только затем выбирайте силы и формулу.

Разбор задач

Задача 1. Бруски соединены нитью

Два бруска массами m₁ и m₂ лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К одному приложена сила F, а нить нерастяжима и не имеет массы. Нужно найти ускорение системы и натяжение нити.

1. Объединим бруски в систему. Внешняя горизонтальная сила одна, поэтому F = (m₁ + m₂)a, откуда a = F/(m₁ + m₂).
2. Рассмотрим брусок, который движется только под действием натяжения. По второму закону Ньютона T = m₂a, если сила F приложена к первому бруску.
3. Подставим найденное ускорение: T = m₂F/(m₁ + m₂). Знак и направление натяжения проверяются по выбранной оси: оно направлено к другому бруску.

Ответ: ускорение обоих брусков равно F/(m₁ + m₂), а натяжение нити равно m₂F/(m₁ + m₂). Рассмотрение системы сразу избавило от необходимости учитывать внутреннее натяжение.

Задача 2. Верхний брусок не скользит

Брусок массой m₁ лежит на бруске массой m₂, который тянут горизонтальной силой F. Поверхность под нижним бруском гладкая. Требуется найти минимальный коэффициент трения между брусками, чтобы верхний двигался вместе с нижним.

1. Система из двух брусков имеет массу m₁ + m₂, поэтому её ускорение a = F/(m₁ + m₂).
2. На верхний брусок горизонтально действует только сила трения. Для совместного движения она должна быть fтреб = m₁a = m₁F/(m₁ + m₂).
3. Вертикально верхний брусок не ускоряется, значит N = m₁g. Условие отсутствия скольжения: fтреб ≤ μN. После подстановки получаем μ ≥ F/((m₁ + m₂)g).

Ответ: минимальный коэффициент трения μmin = F/((m₁ + m₂)g). Если коэффициент меньше, доступной силы трения не хватит, и верхний брусок начнёт отставать.

Задача 3. Бруски на шероховатой поверхности

Два соприкасающихся бруска движутся по шероховатой горизонтальной поверхности, а сила приложена к одному из них. Между брусками также есть трение. Нужно определить ускорения и проверить совместное движение.

1. Сначала рассматриваем оба бруска как систему. Внешняя сила направлена вперёд, а трение поверхности направлено назад: F − f₁пов − f₂пов = (m₁ + m₂)a. При одинаковом коэффициенте снизу fпов = μ(m₁ + m₂)g.
2. Предположим, что бруски не скользят друг относительно друга. Тогда их ускорения одинаковы и равны a = [F − μ(m₁ + m₂)g]/(m₁ + m₂).
3. Теперь составляем уравнение для каждого бруска. Из него находим требуемую силу контакта или трения fтреб, затем реакции N₁ и N₂ и максимум fmax = μ₁N. Если fтреб ≤ fmax, предположение верно.
4. Если неравенство нарушено, бруски скользят. Тогда сила между ними становится силой трения скольжения, а ускорения вычисляются отдельно из ΣF₁ = m₁a₁ и ΣF₂ = m₂a₂.

Ответ: сначала находят общее ускорение, затем проверяют допустимость совместного движения. Одного численного результата без масс, коэффициентов и силы получить нельзя, но указанная последовательность подходит для любых конкретных данных.

Типичные ошибки

Внутренние силы включают в уравнение всей системы. Так появляются лишние слагаемые, хотя силы взаимодействия взаимно компенсируются. Проверьте, входят ли оба тела, образующие пару сил, в выбранную систему.

Силу трения покоя сразу принимают равной μN. Это лишь максимальное значение, поэтому такой шаг завышает трение в большинстве задач. Сначала найдите требуемую силу из уравнения движения, а затем сравните её с μN.

Трение направляют по движению тела. Направление трения определяется не движением всей системы, а относительным скольжением поверхностей или его возможностью. Представьте, как одно тело стало бы смещаться относительно другого без трения.

Используют только уравнение для системы. Оно даёт общее ускорение, но не позволяет найти внутреннюю силу и проверить отсутствие проскальзывания. После системного уравнения обязательно составьте уравнение для нужного отдельного тела.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, сложение сил и их разложение по осям. Также используются сила тяжести, реакция опоры и законы трения.

Эти приёмы применяются к связанным телам, движению по наклонной плоскости, транспортным системам и деталям механизмов. Они подготавливают изучение центра масс, импульса системы и динамики сложных механических систем.

Что запомнить

• Систему тел выбирают так, чтобы упростить анализ движения.
• Для всей системы внутренние силы в результирующую силу не входят.
• Ускорение системы определяется равнодействующей внешних сил и полной массой.
• Для отдельных тел учитывают силы взаимодействия с другими телами.
• Сила трения покоя может иметь любое значение от нуля до максимального.
• При скольжении трение направлено против относительной скорости тел.
• Совместное движение возможно, если требуемая сила трения не превышает максимальную.