§ 24. Движение системы тел. Учёт трения между телами системы

Определения и обозначения

Система тел — несколько тел, движение которых рассматривают совместно из-за их взаимодействия. Такое объединение помогает найти общее ускорение, не разбирая сразу все внутренние силы. Внешними называют силы со стороны объектов, не включённых в систему, а внутренними — силы взаимодействия тел внутри неё.

Сила трения — сила, возникающая при соприкосновении поверхностей и препятствующая их относительному движению или его началу. Трение покоя не даёт поверхностям начать скользить, а трение скольжения действует, когда скольжение уже есть. В простейшей модели для предельного трения покоя и трения скольжения используют Fтр = μN, где μ — коэффициент трения, N — сила нормальной реакции опоры.

Ускорение системы — ускорение, с которым движутся тела, если их движение связано и они не скользят друг относительно друга. Для системы в целом второй закон Ньютона записывают как ΣF внеш = Mа, где M — суммарная масса тел. Для отдельного тела составляют собственное уравнение, включая силы взаимодействия с другими телами.

Как это устроено

Систему удобно выделять, когда тела движутся согласованно: например, один брусок толкает другой или груз тянет платформу. Если тела не скользят относительно друг друга, их ускорения одинаковы, поэтому можно сначала считать их единым объектом. Тогда масса в уравнении равна сумме масс, а внутренние силы не входят в результирующую внешнюю силу. Это сокращает число неизвестных, но не показывает, как именно тела действуют друг на друга.

Внутренние силы исключаются из уравнения всей системы потому, что силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Однако при рассмотрении одного тела эта пара уже не сокращается: сила со стороны второго тела для него внешняя. Поэтому часто используют два подхода: находят ускорение всей системы, а затем записывают второй закон Ньютона отдельно для нужного тела. Так можно определить и силу взаимодействия, например силу трения, которая разгоняет брусок.

Трение между соприкасающимися телами зависит от того, скользят ли они. Если скольжения нет, сила трения покоя подстраивается под необходимую величину: она может быть меньше μN и достигает этого предела только перед началом скольжения. Если расчёт требует силы больше предельной, предположение о совместном движении неверно. Тогда поверхности скользят, а силу трения в школьной модели принимают равной μN и направляют против относительного движения.

Для проверки совместного движения сначала находят ускорение, которое получили бы тела, если бы двигались вместе. Затем для одного из тел составляют уравнение Ньютона и вычисляют, какая сила трения нужна для такого ускорения. Её сравнивают с максимальной силой трения покоя. Если требуемая сила не превосходит μN, тела могут двигаться вместе; если превосходит, возникает скольжение. Такой порядок важен: нельзя сразу считать трение равным μN, если неизвестно, скользят тела или нет.

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции часто равна весу тела, но это не универсальное правило. Она может отличаться от mg, если на тело действуют дополнительные вертикальные силы или есть вертикальное ускорение. Сначала определяют N из уравнения по вертикали, а затем используют её при расчёте предельного трения. Направление трения устанавливают не по направлению движения тела как целого, а по возможному или фактическому скольжению контактирующих поверхностей.

Силы и их роль в движении системы

Сначала выбери, что именно рассматриваешь: всю систему или одно тело. Для общего ускорения обычно удобнее система, а для силы трения — отдельное тело. Затем установи, есть ли скольжение, и только после этого выбирай модель силы трения.

Разбор задач

На бруске массой m₁ = 2 кг лежит брусок массой m₂ = 1 кг. Бруски движутся по горизонтальному столу; к нижнему приложена горизонтальная сила F = 9 Н. Коэффициент трения между брусками μ = 0,4, а трением нижнего бруска о стол пренебрегаем. Нужно выяснить, будут ли бруски скользить друг относительно друга, и найти их ускорение, если скольжения нет. Примем g = 10 м/с².

1. Предположим, что бруски движутся вместе. Тогда общая масса M = m₁ + m₂ = 3 кг, и единственная горизонтальная внешняя сила для системы равна 9 Н. Ускорение системы по второму закону Ньютона: а = F/M = 9/3 = 3 м/с².
2. Проверим, какая сила разгоняет верхний брусок. На него по горизонтали действует только трение со стороны нижнего, поэтому из второго закона Ньютона Fтр = m₂а = 1 · 3 = 3 Н. Сила направлена вперёд, поскольку именно так верхний брусок должен ускоряться вместе с нижним.
3. Найдём максимальное трение покоя между брусками. Сила нормальной реакции верхнего бруска равна N = m₂g = 10 Н, поэтому Fтр max = μN = 0,4 · 10 = 4 Н. Требуемая сила 3 Н меньше предельной, значит, трения достаточно, чтобы не допустить скольжения.
4. Предположение о совместном движении подтвердилось. Оба бруска имеют ускорение 3 м/с², а сила трения между ними равна 3 Н и не достигает своего предельного значения.

Ответ: бруски не скользят друг относительно друга; ускорение каждого равно 3 м/с². В этой задаче трение не равно автоматически μN: оно принимает нужное для разгона верхнего бруска значение 3 Н. Если бы расчёт потребовал больше 4 Н, пришлось бы рассматривать скольжение и применять модель трения скольжения.

Типичные ошибки

• Сразу считать силу трения равной μN. Так поступают, потому что запоминают формулу, но для трения покоя это только максимальное значение. Сначала найдите трение, необходимое для предполагаемого движения, и сравните его с μN.

• Не проверять, скользят ли тела. Если тела ошибочно считать движущимися вместе, можно получить неверное общее ускорение. Вычислите нужную силу трения и проверьте, не превышает ли она предел; превышение означает, что совместное движение невозможно.

• Учитывать внутренние силы в уравнении для всей системы. Это приводит к лишним силам, хотя взаимодействия внутри системы взаимно компенсируются. Проверьте, к чему относится выбранное уравнение: для всей системы берите внешние силы, для отдельного тела — все действующие на него.

• Направлять трение против движения тела целиком. Трение препятствует относительному скольжению поверхностей, а не обязательно движению каждого тела относительно земли. Чтобы проверить направление, представьте, в какую сторону одна поверхность начала бы скользить относительно другой без трения.

Связь с другими темами

Движение системы тел опирается на второй закон Ньютона и на умение изображать силы на каждом теле. Идея внутреннего и внешнего взаимодействия связана с третьим законом Ньютона: силы пары действуют на разные тела, поэтому не уничтожают друг друга в уравнении для отдельного тела. Понятие трения связывает динамику с силами реакции опоры и условиями контакта поверхностей.

В задачах о связанных грузах и блоках используют тот же приём: сначала рассматривают общую систему, затем отдельные тела. Проверка предельного трения помогает понять, сохранится ли совместное движение или начнётся скольжение. Эти рассуждения применяются и в практических ситуациях — например, когда предмет лежит на движущейся платформе.

Что запомнить

• Для всей системы тел записывай второй закон Ньютона через внешние силы: ΣF внеш = Mа.
• Для отдельного тела учитывай все силы, в том числе трение со стороны соседнего тела.
• При отсутствии скольжения трение покоя подстраивается под условия, но не превышает μN.
• Чтобы проверить совместное движение, найди требуемое трение и сравни его с предельным.
• Направление трения определяй по возможному или фактическому скольжению контактирующих поверхностей.