"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При столкновении тела меняют скорости, но в замкнутой системе их общий импульс остаётся прежним. Импульс — векторная величина: чтобы сложить импульсы тел, нужно учитывать направления движения. Это позволяет находить скорость тел после удара, даже если они сцепились. При этом кинетическая энергия сохраняется не всегда: при неупругом столкновении часть механической энергии переходит во внутреннюю, а при абсолютно упругом сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p — импульс, m — масса, v — скорость тела. Поскольку масса положительна, импульс направлен так же, как скорость. Это понятие нужно, чтобы описывать движение с учётом и массы, и скорости: при одинаковой скорости больший импульс у более массивного тела.
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: pсист = p₁ + p₂ + … . При движении по одной прямой импульсы складывают с учётом направления, то есть проекция каждого импульса получает знак. Например, у тел, движущихся навстречу, проекции импульсов имеют разные знаки. Так можно определить общий импульс системы, не перепутав сложение векторов с суммой их модулей.
Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или действие этих сил можно не учитывать. Это условие важно, потому что именно внешние силы могут изменить импульс всей системы. Силы, с которыми тела системы взаимодействуют друг с другом, называют внутренними; они перераспределяют импульсы между телами. Если внешний импульс за время удара мал, систему считают замкнутой для описания столкновения.
Абсолютно неупругое столкновение — столкновение, после которого тела движутся вместе с одной общей скоростью. Для такого удара импульс системы сохраняется, если система замкнута, но кинетическая энергия — нет. Часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел, например расходуется на их деформацию и нагрев. Эта модель удобна, когда после столкновения тела сцепляются или продолжают движение как одно целое.
Во время столкновения каждое тело действует на другое силой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому за одинаковое время силы сообщают телам противоположные изменения импульса. Импульс каждого тела может заметно измениться, но изменения импульсов тел внутри системы компенсируют друг друга. Поэтому сумма импульсов не меняется за счёт внутреннего взаимодействия.
Для сохранения общего импульса нужно также учесть внешние силы. Если их результирующий импульс за время столкновения пренебрежимо мал, суммарный импульс системы до удара равен суммарному импульсу после него: Σpдо = Σpпосле. Именно поэтому перед применением закона проверяют, можно ли считать систему замкнутой. Если внешнее воздействие существенно, импульс системы может измениться, и равенство без дополнительного учёта внешнего импульса применять нельзя.
В задачах о движении вдоль одной прямой удобно сначала выбрать ось, а затем назначить её положительное направление. Скорость тела, движущегося в положительную сторону, записывают со знаком «плюс», а скорость в противоположную сторону — со знаком «минус». В уравнение сохранения импульса подставляют именно проекции скоростей, а не только их модули. Такой порядок позволяет сложить направленные навстречу импульсы правильно.
При абсолютно неупругом столкновении после удара тела движутся вместе, поэтому у них одна и та же скорость v. Для двух тел закон сохранения импульса принимает вид m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v. Отсюда общая скорость v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂), где скорости до удара учитываются со знаками. Получившийся знак показывает направление совместного движения, а модуль — его быстроту.
При абсолютно упругом столкновении сохраняется не только импульс, но и суммарная кинетическая энергия тел. Поэтому для двух тел записывают сразу два равенства: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ и m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2. Здесь u₁ и u₂ — скорости после удара, а v₁ и v₂ — до него. Первое уравнение выражает закон сохранения импульса, второе — сохранение кинетической энергии; вместе они позволяют найти обе конечные скорости.
| Характеристика | Абсолютно неупругое столкновение | Абсолютно упругое столкновение |
|---|---|---|
| Движение тел после столкновения | Тела движутся вместе | Тела разлетаются с отдельными скоростями |
| Какие величины сохраняются | Импульс системы | Импульс системы и суммарная кинетическая энергия |
| Условие для скоростей после столкновения | Скорости тел одинаковы | Скорости находят из законов сохранения импульса и энергии |
| Во что переходит часть механической энергии | Во внутреннюю энергию тел | В идеальной модели не переходит |
Сначала определите, что происходит с телами после удара: сцепляются они или разлетаются. Затем выберите нужные законы сохранения из таблицы. В обоих случаях для замкнутой системы сохраняется импульс, но сохранение кинетической энергии — признак абсолютно упругой модели.
Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 1 м/с, после столкновения сцепляются. Найдём их общую скорость. Выберем положительным направление движения первого тела, тогда скорость второго будет отрицательной. Поскольку тела сцепились, после столкновения у них одна скорость.
Ответ: общая скорость равна 1 м/с в положительном направлении, то есть в сторону движения первого тела. Проверка знака показывает, что импульс до удара был направлен туда же.
Задача 2. Тележка массой 1 кг со скоростью 3 м/с сталкивается с неподвижной тележкой массой 2 кг, и тележки движутся вместе. Найдём скорость и сравним кинетические энергии. Выберем направление движения первой тележки за положительное; импульс второй до столкновения равен нулю. Столкновение неупругое, поэтому нельзя считать кинетическую энергию сохраняющейся.
Ответ: тележки движутся со скоростью 1 м/с; кинетическая энергия уменьшилась на 3 Дж. Её уменьшение не нарушает закон сохранения импульса, поскольку это разные законы и разные физические величины.
Задача 3. Два тела массами 1 кг и 3 кг движутся навстречу со скоростями 5 м/с и 1 м/с. Столкновение абсолютно упругое. Направление движения первого тела выберем положительным, поэтому начальные скорости равны 5 м/с и −1 м/с. После удара обозначим скорости тел u₁ и u₂; для нахождения двух неизвестных используем оба закона сохранения.
Ответ: после столкновения первое тело движется со скоростью −4 м/с, второе — со скоростью 2 м/с. Отрицательный знак означает движение первого тела в сторону, противоположную выбранной оси.
Складывать модули импульсов вместо векторной суммы. Так поступают, когда забывают, что импульс имеет направление и принимают скорость за одно лишь число. У тел, движущихся навстречу, импульсы направлены противоположно, поэтому их проекции имеют разные знаки. Проверьте себя: сначала нарисуйте ось и расставьте знаки скоростей, затем складывайте проекции.
Считать кинетическую энергию сохраняющейся при любом столкновении. Часто это происходит из-за того, что закон сохранения импульса ошибочно переносят на все физические величины. При неупругом ударе часть механической энергии превращается во внутреннюю, поэтому кинетическую энергию до и после нужно вычислять отдельно. Проверьте тип столкновения: равенство кинетических энергий допустимо для абсолютно упругой модели.
Применять закон сохранения импульса, не проверив внешние силы. Закон записывают автоматически, не выяснив, замкнута ли система и можно ли пренебречь внешним воздействием за время удара. Если внешняя сила сообщает системе заметный импульс, общий импульс может измениться. Перед расчётом назовите систему и оцените, существенно ли внешнее воздействие именно во время столкновения.
Путать общую скорость после неупругого удара со скоростью одного тела до него. При сцеплении тел их конечная скорость определяется общим импульсом и суммарной массой, а не равна автоматически одной из начальных скоростей. Ошибка часто возникает, когда не учитывают массу второго тела или его движение навстречу. Проверьте ответ подстановкой в уравнение импульсов: обе части должны совпадать.
Для решения задач нужны понятия скорости, массы, силы и кинетической энергии, а также умение складывать векторы на одной прямой с учётом знаков. Законы Ньютона объясняют, почему силы взаимодействия тел при столкновении равны и противоположны. Закон сохранения импульса затем помогает рассматривать совместный результат этих взаимодействий. Этот подход пригодится при изучении реактивного движения, отдачи и других задач о взаимодействии тел.
Почему при столкновении сохраняется импульс, если скорости тел меняются?
Во время удара тела действуют друг на друга равными по модулю и противоположными силами. Поэтому импульсы отдельных тел меняются, но их суммарное изменение взаимно компенсируется. Это верно, если внешним импульсом сил за время столкновения можно пренебречь.
Как выбрать направление оси, чтобы не ошибиться со знаками скоростей?
Проведите ось вдоль движения и произвольно назначьте одно направление положительным. Скорости тел, движущихся туда, записывайте со знаком «плюс», а в противоположную сторону — со знаком «минус». Выбор можно сделать любым, главное — сохранять его во всех уравнениях.
Почему при неупругом столкновении кинетическая энергия не сохраняется?
При деформации и сцеплении тел часть механической энергии переходит во внутреннюю: нагревает тела, вызывает деформацию или звук. Поэтому кинетическая энергия после удара может быть меньше, хотя импульс замкнутой системы сохраняется.
Как найти общую скорость тел, если после столкновения они сцепились?
Сложите проекции импульсов тел до столкновения с учётом знаков и приравняйте результат импульсу движущейся вместе системы после удара. Если массы тел m₁ и m₂, а их скорости до столкновения v₁ и v₂, то общая скорость v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂).
Всегда ли столкновение тел можно считать абсолютно упругим или абсолютно неупругим?
Это идеальные модели, которые упрощают описание удара. В реальных столкновениях обычно часть энергии переходит во внутреннюю, поэтому они не абсолютно упругие; при этом тела могут и не сцепляться, как при абсолютно неупругом ударе. Выбирают модель, подходящую к условиям задачи.
1. Тела в начальном состоянии движутся друг относительно друга
