1. Тела в начальном состоянии движутся друг относительно друга

Определения и обозначения

Столкновение — кратковременное взаимодействие тел, при котором их скорости изменяются вследствие действующих между ними сил. За короткое время тела успевают заметно повлиять друг на друга. Это понятие используют, когда нужно сравнить состояние системы до и после удара.

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости, поэтому его нельзя складывать как обычные числа. Импульс показывает, насколько трудно изменить движение тела.

Импульс системы — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в рассматриваемую систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Если тела движутся навстречу, их импульсы имеют противоположные знаки. Эта величина нужна для анализа движения всей системы, а не одного тела.

Замкнутая система — система тел, для которой внешними силами можно пренебречь или их суммарный импульс равен нулю. Внутренние силы между телами при этом могут быть очень большими. Именно для замкнутой системы применяют закон сохранения импульса.

Как это устроено

Чтобы понять, движутся ли тела друг относительно друга, сравнивают их скорости как векторы. Если тела находятся на одной прямой и направлены навстречу, их скорости имеют противоположные знаки после выбора оси. Если скорости одинаковы по направлению и значению, расстояние между телами не меняется, поэтому сближения нет.

Во время столкновения внутренние силы могут быть огромными, потому что тела быстро деформируются или резко изменяют движение. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому изменения импульсов двух тел противоположны, а их сумма для замкнутой системы не меняется.

Для движения вдоль одной прямой закон сохранения импульса записывают так: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂. Здесь v₁ и v₂ — скорости до столкновения, а u₁ и u₂ — скорости после него. Знаки скоростей уже учитывают направления, поэтому отдельно вычитать импульсы не требуется.

Импульс сохраняется и при упругом, и при неупругом взаимодействии, если система замкнута. Но механическая энергия ведёт себя по-разному: при упругом ударе сохраняется кинетическая энергия, а при неупругом часть её переходит во внутреннюю энергию, звук и деформацию. Поэтому одного уравнения импульса иногда недостаточно для нахождения всех неизвестных скоростей.

Положительное направление оси выбирают произвольно, но придерживаются его до конца решения. Тело, движущееся вдоль оси, получает знак «плюс», а тело, движущееся противоположно, — знак «минус». После вычислений знак результата показывает направление движения относительно выбранной оси.

Движение и взаимодействие двух тел до и после столкновения

Сначала найдите в таблице скорости и импульсы до удара, затем сравните их с состоянием после взаимодействия. Строка о полном импульсе даёт главное уравнение, а строка об энергии помогает выбрать дополнительное условие. Последняя строка подсказывает, нужно ли использовать одну общую скорость или две конечные скорости.

Разбор задач

1. Тележки сцепляются

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с, а тележка массой 1 кг покоится. После удара они сцепляются, значит, получают одну общую скорость. Внешними силами во время короткого удара пренебрегаем.

1. Выберем направление движения первой тележки положительным: v₁ = 3 м/с, v₂ = 0.
2. Запишем сохранение импульса: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u.
3. Подставим значения: 2 · 3 + 1 · 0 = 3u, откуда u = 2 м/с.

Ответ: после столкновения тележки движутся вместе со скоростью 2 м/с в направлении движения первой тележки. Удар абсолютно неупругий, поэтому кинетическая энергия не обязана сохраняться.

2. Два тела движутся навстречу

Первое тело массой 1 кг движется со скоростью 4 м/с, второе массой 2 кг — навстречу со скоростью 1 м/с. После удара тела движутся вместе. Нужно не только найти модуль скорости, но и определить направление общего движения.

1. Положим направление первого тела положительным: v₁ = 4 м/с, v₂ = −1 м/с.
2. По закону сохранения импульса (m₁ + m₂)u = m₁v₁ + m₂v₂.
3. Получаем 3u = 1 · 4 + 2 · (−1) = 2, поэтому u = ⅔ м/с.

Ответ: тела движутся вместе со скоростью ⅔ м/с в положительном направлении, то есть в сторону движения первого тела. Положительный знак показывает, что его импульс оказался больше по модулю.

3. Упругое столкновение шаров

Шар массой 0,5 кг движется со скоростью 6 м/с, второй шар массой 1 кг покоится. Столкновение упругое, поэтому нужно использовать два закона: сохранение импульса и сохранение кинетической энергии. Обозначим конечные скорости шаров u₁ и u₂.

1. Импульс: 0,5 · 6 = 0,5u₁ + 1 · u₂, или 3 = 0,5u₁ + u₂.
2. Энергия: ½ · 0,5 · 6² = ½ · 0,5u₁² + ½ · 1u₂², поэтому 9 = 0,25u₁² + 0,5u₂².
3. Решение этой системы даёт u₁ = −2 м/с и u₂ = 4 м/с.

Ответ: первый шар отскакивает со скоростью 2 м/с в обратном направлении, второй движется со скоростью 4 м/с в первоначальном направлении первого шара. Отрицательный знак u₁ означает именно изменение направления.

Типичные ошибки

Складывают модули импульсов тел, движущихся в противоположные стороны. Так делают, забывая, что импульс — вектор; проверьте направление каждого тела и поставьте разные знаки.

Сохраняют кинетическую энергию при любом столкновении. Это неверно, потому что при неупругом ударе энергия уходит в деформацию, звук и нагрев; сначала выясните вид взаимодействия.

Включают в замкнутую систему только одно тело. Тогда сила второго тела ошибочно выглядит внешней, поэтому рассматривайте оба взаимодействующих тела и складывайте их импульсы.

Считают тела движущимися вместе в задаче об упругом столкновении. Совместное движение означает неупругую модель, а при упругом ударе нужно находить отдельные конечные скорости и сохранять энергию.

Связь с другими темами

До этой темы нужны понятия вектора скорости, импульса тела, а также второй и третий законы Ньютона. Они объясняют, почему изменение движения связано с силой и почему внутренние силы компенсируются в системе.

Закон сохранения импульса далее используется для изучения реактивного движения. Изменение импульса газов позволяет объяснить движение ракеты без опоры на окружающую среду.

Модель столкновений применяют при анализе ударов, движения тележек, баллистических задач и взаимодействия частиц. В каждом случае важно выбрать систему, направление оси и подходящую модель удара.

Что запомнить

• При столкновении тела изменяют скорости из-за сил взаимного действия.
• Импульс тела равен произведению массы на скорость и имеет направление скорости.
• Импульс замкнутой системы сохраняется.
• В уравнениях движения вдоль прямой противоположные направления учитываются разными знаками.
• При неупругом столкновении часть механической энергии переходит во внутреннюю.
• Для упругого столкновения сохраняются и импульс, и кинетическая энергия.