§ 24. Движение системы тел. Учёт трения между телами системы

Определения и обозначения

Система тел — несколько тел, движение которых рассматривают совместно. Её границы выбирают в зависимости от задачи: например, брусок и тележка могут образовать одну систему. Это позволяет не учитывать внутренние силы в общем уравнении движения.

Внутренние силы действуют между телами, входящими в систему, а внешние силы приложены со стороны тел, не включённых в неё. Силы трения и натяжения могут быть внутренними или внешними в зависимости от выбранной системы. Такое различие нужно, чтобы правильно составить сумму сил.

Центр масс — точка, положение которой определяется распределением масс всех тел системы. Массу всей системы обозначают M, её ускорение — a, а равнодействующую внешних сил — ΣFвнеш. Для поступательного движения системы используют соотношение ΣFвнеш = Ma.

Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей и направлена против относительного движения или его возможной причины. При скольжении Fтр = μN, где μ — коэффициент трения, а N — сила реакции опоры. Трение покоя не превышает максимального значения μ₀N.

Как это устроено

Выбор системы меняет вид уравнений, но не физику процесса. Если включить два взаимодействующих тела в одну систему, силы их взаимодействия окажутся внутренними и сократятся в общей сумме по третьему закону Ньютона. Поэтому для нахождения ускорения всей системы обычно достаточно сложить внешние силы и разделить их на общую массу.

Однако внутренние силы нельзя забывать при изучении отдельных тел. Например, сила трения разгоняет лежащий на тележке брусок и одновременно тормозит тележку. Для всей системы эти силы взаимно уничтожаются, но именно они обеспечивают одинаковое ускорение тел, если скольжения нет.

Сначала проверяют, могут ли тела двигаться как единое целое. При таком движении у всех тел одно ускорение, поэтому общая масса участвует в формуле a = Fвнеш/M. Затем по уравнению отдельного тела находят силу трения или натяжения и сравнивают её с предельно возможной силой.

Трение покоя подстраивается под ситуацию: оно не обязано быть равным μ₀N. Если для совместного движения требуется сила f, то условие отсутствия скольжения имеет вид f ≤ μ₀N. Когда требуемая сила становится больше предельной, возникает скольжение, и вместо неё используют постоянную по модулю силу трения скольжения μN.

Направление трения определяют не по направлению движения всего тела, а по относительному движению соприкасающихся поверхностей. Если тележку тянут вправо, её поверхность стремится проскользнуть под бруском влево относительно бруска, поэтому трение на брусок направлено вправо. На тележку действует равная противоположная сила.

Удобный алгоритм состоит из нескольких действий. Выбирают систему и оси координат, изображают силы на каждом теле, записывают второй закон Ньютона, а затем используют связь ускорений. После решения проверяют размерность, направление сил и условие, при котором выбранный режим движения действительно возможен.

Силы и уравнения для системы тел

Сначала определите, какую строку таблицы описывает задача. Уравнение для всей системы удобно применять для общего ускорения, а уравнения для отдельных тел — для неизвестных сил и проверки сцепления. Если найденная сила трения превышает допустимую, предположение о совместном движении неверно.

Знаки в уравнениях зависят от выбранного положительного направления. Силу, направленную против оси, записывают со знаком минус, а после решения по знаку ускорения проверяют, правильно ли представляли направление движения.

Разбор задач

Условие. Брусок массой m₁ = 2 кг лежит на тележке массой m₂ = 6 кг. Тележку тянут горизонтальной силой F = 24 Н, трения тележки о пол нет, коэффициент трения покоя между бруском и тележкой μ₀ = 0,4. Считать g = 10 м/с² и найти ускорение системы и силу трения.

1. Предположим, что брусок не скользит по тележке. Тогда оба тела имеют общее ускорение, а внешняя горизонтальная сила для системы равна 24 Н.

2. Общая масса равна M = m₁ + m₂ = 8 кг. По второму закону Ньютона a = F/M = 24/8 = 3 м/с².

3. Рассмотрим отдельно брусок. Горизонтально на него действует только сила трения, поэтому f = m₁a = 2 · 3 = 6 Н. Она направлена в сторону движения и разгоняет брусок вместе с тележкой.

4. Проверим возможность покоя относительно тележки. Реакция опоры N = m₁g = 20 Н, а максимальная сила трения покоя равна fmax = μ₀N = 0,4 · 20 = 8 Н. Так как 6 Н меньше 8 Н, скольжения действительно не будет.

Ответ: система движется с ускорением 3 м/с², сила трения между бруском и тележкой равна 6 Н и направлена на брусок по ходу движения. Если бы расчётная сила оказалась больше 8 Н, пришлось бы решать задачу уже для режима скольжения.

Типичные ошибки

• Считать внутренние силы внешними. Так получают лишнюю силу в уравнении всей системы, потому что трение между её телами уже взаимно компенсируется. Проверьте, входят ли взаимодействующие тела в выбранную систему.

• Сразу полагать Fтр = μN. Это формула для скольжения, а при покое трение принимает нужное значение до предела μ₀N. После вычисления силы сравните её с максимальной, а не подставляйте коэффициент автоматически.

• Забывать реакцию опоры. Без N нельзя правильно найти предельную силу трения. На горизонтальной поверхности без вертикального ускорения обычно N = mg, но при наклоне или дополнительных вертикальных силах это равенство меняется.

• Направлять трение против движения тела вообще. Трение противодействует относительному скольжению поверхностей. Представьте, куда одна поверхность смещалась бы относительно другой, и направьте силу противоположно этому смещению.

Связь с другими темами

Тема напрямую связана со вторым и третьим законами Ньютона: первый даёт уравнения движения, а третий объясняет взаимную компенсацию внутренних сил. Понятие центра масс продолжает идею движения материальной точки, но позволяет описывать сразу несколько тел.

Трение связывает механику с законами равновесия и движением по наклонной плоскости. Те же приёмы выбора системы и разложения сил применяются в задачах с блоками, нитями, пружинами и неинерциальными системами отсчёта.

Что запомнить

• Систему тел выбирают так, чтобы удобно учитывать взаимодействия.
• Для всей системы используют только внешние силы: ΣFвнеш = Ma.
• Внутренние силы взаимно компенсируются в общем уравнении, но действуют на отдельные тела.
• При совместном движении тела имеют одинаковое ускорение.
• Сила трения покоя не превышает μ₀N, а при скольжении Fтр = μN.
• После решения обязательно проверяют условие отсутствия скольжения и направление сил.