"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Скорость тела зависит от того, относительно чего её измеряют: пассажир может покоиться относительно вагона и одновременно двигаться относительно земли. Чтобы узнать, как одно тело движется относительно другого, сравнивают их скорости в одной системе отсчёта и вычитают один вектор из другого. Направление движения здесь так же важно, как числовое значение скорости. Это правило помогает решать задачи о встречном движении, обгоне и движении под углом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело, относительно которого описывают движение, вместе с координатами и часами. Например, при наблюдении за автомобилем такой системой может быть дорога. Выбор системы нужен потому, что положение и скорость нельзя задать сами по себе: их всегда сравнивают с чем-то.
Скорость тела относительно системы отсчёта — вектор, который показывает, как быстро и в каком направлении меняется положение тела именно в этой системе. Скорость одного тела относительно дороги и относительно движущегося автобуса может быть разной. Поэтому в задачах следует указывать, относительно чего дана каждая скорость.
Относительная скорость — скорость одного тела, измеренная наблюдателем, который движется вместе с другим телом. Например, пассажир может оценить скорость соседнего поезда относительно своего вагона. Это понятие позволяет описывать сближение, удаление и обгон без привязки к неподвижному наблюдателю.
Сложение скоростей — правило, по которому скорость тела относительно одной системы находят как векторную сумму его скорости относительно другой системы и скорости этой системы. Если система сама движется, её движение тоже влияет на наблюдаемую скорость тела. Правило позволяет переходить от одной точки зрения к другой.
Скорость зависит от системы отсчёта, потому что разные наблюдатели по-разному измеряют изменение положения тела. Пассажир, сидящий в вагоне, покоится относительно вагона, но перемещается относительно земли вместе с поездом. Если пассажир идёт по вагону, его скорость относительно земли складывается из скорости ходьбы относительно вагона и скорости вагона относительно земли. Так становится понятно, почему для одной и той же ситуации возможны разные значения скорости.
Чтобы найти скорость первого тела относительно второго, сначала выбирают общую систему отсчёта и записывают в ней обе скорости. Затем из вектора скорости первого тела вычитают вектор скорости второго: v₁₂ = v₁ − v₂. Причина такого вычитания в том, что наблюдатель, движущийся вместе со вторым телом, сам перемещается со скоростью v₂; его движение нужно исключить из наблюдаемой скорости первого тела. Если поменять тела местами, получится v₂₁ = v₂ − v₁ = −v₁₂.
При движении под углом скорости нельзя просто складывать или вычитать как числа, потому что скорость имеет направление. Операции выполняют над векторами: учитывают и длину каждого вектора, и угол между ними. Например, движение на восток и на север не компенсируют друг друга и не совпадают на одной прямой. Для расчёта удобно изобразить векторы стрелками или разложить их на проекции по осям.
Модуль относительной скорости — длину вектора — можно найти геометрически. Если угол между векторами v₁ и v₂ равен α, то из правила v₁₂ = v₁ − v₂ и теоремы косинусов следует формула |v₁₂| = √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos α). При прямом угле она упрощается до √(v₁² + v₂²), а при совпадающих направлениях — до разности модулей. Для противоположных направлений модуль относительной скорости равен сумме модулей скоростей.
Систему отсчёта и оси выбирают так, чтобы вычисления были короче: при движении вдоль одной прямой удобно направить ось вдоль этой прямой, а при движении по сторонам прямого угла — вдоль этих сторон. Тогда направления учитываются знаками проекций, а не отдельными словами. После вычислений проверьте, соответствует ли направление ответа выбранным осям и разумен ли полученный модуль. Единицы скорости должны быть, например, м/с или км/ч.
| Направления скоростей тел | Вектор относительной скорости первого тела относительно второго | Модуль относительной скорости |
|---|---|---|
| Движение в одном направлении | v₁₂ = v₁ − v₂ | |v₁ − v₂| |
| Движение в противоположных направлениях | v₁₂ = v₁ − v₂; векторы направлены противоположно | v₁ + v₂ |
| Движение под прямым углом | v₁₂ = v₁ − v₂ | √(v₁² + v₂²) |
| Движение под углом α | v₁₂ = v₁ − v₂ | √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos α) |
В таблице v₁₂ означает скорость первого тела относительно второго, а v₁ и v₂ — их скорости в одной системе отсчёта. Для движения вдоль прямой знаки проекций определяют выбранным положительным направлением. Если направления не совпадают, применяйте формулу для угла или стройте векторную диаграмму.
Ответ: 3 м/с вперёд относительно второго велосипедиста.
Ответ: скорость сближения равна 35 м/с.
Ответ: вектор относительной скорости направлен на юго-восток, его модуль равен 10 м/с.
Первая ошибка — складывать или вычитать только модули скоростей, не учитывая направления. Её допускают, когда воспринимают скорость как обычное число, хотя это вектор. Проверьте, лежат ли скорости на одной прямой; если нет, нарисуйте векторы или найдите проекции.
Вторая ошибка — перепутать порядок вычитания и не сказать, какое тело движется относительно какого. Она возникает из-за того, что модуль относительной скорости часто одинаков при смене тел, а направление меняется. Запишите формулу словами: скорость первого относительно второго — v₁ − v₂; при перестановке тел вектор становится противоположным.
Третья ошибка — считать скорость тела независимой от системы отсчёта. Такое впечатление может возникнуть, если в задаче названы только числа, но не указано, кто наблюдает движение. Уточните систему для каждой скорости: например, «относительно берега» или «относительно вагона».
Четвёртая ошибка — путать скорость сближения со скоростью одного из тел. Скорость сближения описывает, как меняется расстояние между телами, и определяется их относительной скоростью. Проверьте направления: при движении навстречу по прямой модули складываются, при движении в одном направлении — вычитаются.
Для решения таких задач нужны понятия системы отсчёта, вектора скорости, проекции вектора, а также правила сложения и вычитания векторов. Они помогают записать движение в координатах и правильно учесть направление. Относительные скорости пригодятся при изучении движения в среде: например, скорость лодки относительно берега зависит от её движения относительно воды и течения. Этот же подход позволяет выбирать удобную систему отсчёта в задачах кинематики.
Почему скорость одного и того же тела может быть разной для разных наблюдателей?
Наблюдатели могут двигаться относительно друг друга и по-разному отсчитывать изменение положения тела. Например, пассажир неподвижен относительно вагона, но движется вместе с ним относительно земли.
Как найти скорость одного тела относительно другого?
Нужно вычесть из вектора скорости первого тела в выбранной системе отсчёта вектор скорости второго: v₁₂ = v₁ − v₂. Результат показывает скорость первого тела с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе со вторым.
Когда скорости при расчёте относительного движения складывают, а когда вычитают?
Векторы всегда вычитают: v₁₂ = v₁ − v₂. Если тела движутся по одной прямой навстречу друг другу, модуль относительной скорости равен сумме модулей; если в одном направлении — их разности.
Как определить модуль относительной скорости, если тела движутся под углом?
Сначала находят вектор относительной скорости, а затем его длину. Если угол между векторами скоростей равен α, то модуль равен √(v₁² + v₂² − 2v₁v₂ cos α).
Можно ли выбрать систему отсчёта так, чтобы решение задачи стало проще?
Да. Например, удобно связать систему отсчёта с одним из тел: тогда его скорость равна нулю, а скорость другого тела становится относительной. Оси обычно направляют вдоль движения или по сторонам прямоугольного треугольника.
2. Тела движутся в различных направлениях
