§ 10. Упругие свойства твёрдых тел

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Растягивают, например, проволоку, сжимают пружину, изгибают линейку, сдвигают слои колоды карт, а при кручении поворачивают один конец стержня относительно другого. Название деформации показывает, как именно меняется тело, и помогает выбрать подходящую модель для расчётов.

Упругая деформация исчезает после прекращения действия внешних сил: тело возвращается к прежним форме и размерам. Если изменение сохраняется после снятия нагрузки, деформация называется пластической. Это различие нужно учитывать, чтобы понять, вернётся ли предмет в исходное состояние после воздействия.

Механическое напряжение — отношение силы упругости, возникающей в теле, к площади его поперечного сечения: σ = F/S. Здесь F — сила в ньютонах, S — площадь в квадратных метрах, а σ измеряется в паскалях. Напряжение показывает, насколько сильно нагружена единица площади сечения.

Модуль Юнга E характеризует упругие свойства материала и связывает напряжение с относительным удлинением: σ = Eε. Относительное удлинение ε — отношение изменения длины к начальной длине; оно безразмерно. Модуль позволяет сравнивать материалы: при одинаковом напряжении материал с большим E деформируется меньше.

Как это устроено

Внешняя сила смещает частицы твёрдого тела относительно их обычных положений. Из-за смещения меняются расстояния между частицами, а значит, и силы их взаимодействия. Эти силы создают внутреннее сопротивление деформации и стремятся вернуть частицы в исходное положение, поэтому при снятии нагрузки упругое тело восстанавливается.

Вид деформации зависит от направления и способа приложения сил. Если силы тянут тело в противоположные стороны вдоль его оси, оно растягивается; если толкают друг к другу — сжимается. Поперечная сила изгибает линейку или балку, сдвиг смещает соседние слои тела параллельно друг другу, а кручение возникает, когда концы тела поворачивают в противоположных направлениях. В реальных конструкциях эти виды деформации могут сочетаться.

Для стержня, который растягивают вдоль оси, закон Гука записывают как F = kΔl. Здесь F — сила упругости, Δl — удлинение, то есть разность конечной и начальной длин, а k — жёсткость стержня. При малой упругой деформации увеличение силы во столько же раз увеличивает удлинение. Жёсткость зависит не только от материала, но и от размеров тела.

Чтобы сравнивать растяжение тел разной длины, используют относительное удлинение ε = Δl/l₀. Оно показывает, какую долю от исходной длины составляет удлинение, поэтому не зависит от выбора единиц: например, отношение 1 см к 1 м равно отношению 0,01 м к 1 м. Напряжение σ = F/S учитывает, как сила распределена по поперечному сечению. Одна и та же сила создаёт большее напряжение в тонком стержне, чем в толстом.

Для упругого растяжения напряжение пропорционально относительному удлинению: σ = Eε. Коэффициент E — модуль Юнга — зависит от материала, а не от выбранных единиц длины. Если два материала испытывают одинаковое напряжение, у материала с большим модулем Юнга относительное удлинение будет меньше. Эта зависимость, как и закон Гука, описывает только область малых упругих деформаций.

Величины и зависимости при упругом растяжении

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите строку с соответствующей формулой. Проверьте, что все длины выражены в метрах, площади — в квадратных метрах, а силы — в ньютонах. Связь σ = Eε позволяет переходить от напряжения к относительному удлинению и обратно.

Разбор задач

Жёсткость пружины

Пружина удлинилась на 2 см под действием силы 4 Н. Найдите её жёсткость. Используем закон Гука F = kΔl, откуда k = F/Δl. Удлинение нужно выразить в метрах, чтобы результат получить в единицах СИ.

1. Переведём удлинение: Δl = 2 см = 0,02 м.
2. Выразим жёсткость: k = F/Δl.
3. Подставим значения: k = 4 Н/0,02 м = 200 Н/м.

Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м.

Напряжение и относительное удлинение

Стержень длиной 2 м и площадью сечения 4 мм² растянули силой 80 Н. Модуль Юнга равен 2·10¹¹ Па. Найдём напряжение, а затем относительное удлинение. Важно перевести площадь сечения в квадратные метры, поскольку паскаль равен Н/м².

1. Переведём площадь: S = 4 мм² = 4·10⁻⁶ м².
2. Вычислим напряжение: σ = F/S = 80/(4·10⁻⁶) = 2·10⁷ Па.
3. Из σ = Eε выразим ε = σ/E. Тогда ε = (2·10⁷)/(2·10¹¹) = 1·10⁻⁴.

Ответ: напряжение равно 2·10⁷ Па, относительное удлинение — 1·10⁻⁴. Длина стержня для этих двух вычислений не потребовалась: чтобы найти абсолютное удлинение, пришлось бы дополнительно использовать Δl = εl₀.

Сила натяжения проволоки

Проволока длиной 1,5 м и площадью сечения 0,5 мм² удлинилась на 3 мм. Модуль Юнга равен 1,2·10¹¹ Па. Найдём силу натяжения, сочетая σ = Eε и σ = F/S. Сначала определим относительное удлинение, затем напряжение и силу.

1. Переведём величины в СИ: Δl = 3 мм = 0,003 м; S = 0,5 мм² = 0,5·10⁻⁶ м².
2. Вычислим относительное удлинение: ε = Δl/l₀ = 0,003/1,5 = 0,002.
3. Найдём напряжение: σ = Eε = 1,2·10¹¹·0,002 = 2,4·10⁸ Па.
4. Из σ = F/S выразим силу: F = σS = 2,4·10⁸·0,5·10⁻⁶ = 120 Н.

Ответ: сила натяжения проволоки равна 120 Н. Размерности согласованы: произведение паскалей на квадратные метры даёт ньютоны.

Типичные ошибки

• Подстановка удлинения в сантиметрах или миллиметрах без перевода в метры приводит к неверному результату для жёсткости и относительного удлинения. Так делают, потому что длина в условии часто дана в удобных бытовых единицах. Перед расчётом запишите перевод величины в СИ и проверьте его отдельно.

• Удлинение Δl и относительное удлинение ε — не одно и то же: первое измеряется в метрах, второе не имеет единиц. Их путают из-за похожих названий и символов. Проверьте формулу: ε — это отношение Δl к l₀, поэтому в ней сокращаются единицы длины.

• В σ = F/S следует подставлять площадь именно поперечного сечения, а не площадь боковой поверхности тела. Если площадь оставлена в мм², а напряжение требуется в паскалях, численный ответ окажется неверным. Для проверки переведите площадь в м² и убедитесь, что вычисляете силу на единицу сечения.

• Закон Гука нельзя применять при любых силах: он описывает область малых упругих деформаций. Ошибка возникает, когда знакомую формулу используют без проверки условий применимости. Спросите себя, остаётся ли деформация упругой и пропорционально ли растёт удлинение с силой; при больших нагрузках это может быть не так.

Связь с другими темами

Для изучения деформаций нужны понятия силы, равнодействующей сил и площади, а также умение переводить величины в единицы СИ. Закон Гука и понятие упругости пригодятся при изучении колебаний пружинного маятника: растянутая или сжатая пружина создаёт возвращающую силу. Свойства материалов и зависимость деформации от размеров тела используют при расчёте прочности конструкций, чтобы детали не растягивались чрезмерно и не разрушались.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки; пластическая сохраняется.
• При малых упругих деформациях удлинение пропорционально силе.
• Механическое напряжение равно силе, приходящейся на единицу площади сечения: σ = F/S.
• Относительное удлинение равно отношению изменения длины к начальной длине: ε = Δl/l₀.
• Для упругого растяжения σ = Eε; модуль Юнга характеризует материал.