§ 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа.Температура

Определения и обозначения

Молекулярно-кинетическая теория — учение, объясняющее свойства вещества движением и взаимодействием его частиц. Она связывает наблюдаемые явления, например давление газа, с поведением огромного числа молекул. Благодаря этому можно объяснять свойства вещества не только на уровне опытов, но и через движение его частиц.

Идеальный газ — модель газа, в которой размеры молекул пренебрежимо малы, а взаимодействие между ними учитывается только во время столкновений. Это не отдельное вещество, а упрощённое описание, которое помогает выводить закономерности без учёта малозаметных деталей. Модель особенно полезна, когда молекулы далеко друг от друга и их собственный размер почти не влияет на поведение газа.

Температура — физическая величина, характеризующая степень нагретости тела и связанная со средней кинетической энергией хаотического движения его частиц. Для молекулярно-кинетических формул используют абсолютную температуру T в кельвинах, а не значение в градусах Цельсия. Такое определение позволяет сопоставлять тепловое движение частиц с их энергией.

Постоянная Больцмана k связывает температуру с энергией теплового движения одной частицы: ⟨Eк⟩ = 3/2 kT. Её значение приблизительно равно 1,38·10⁻²³ Дж/К. Эта постоянная нужна, чтобы переходить от температуры газа к средней энергии отдельной молекулы.

Как это устроено

Молекулярно-кинетическая теория опирается на три положения: вещество состоит из частиц, частицы непрерывно и хаотически движутся, а также взаимодействуют друг с другом. Эти положения объясняют, почему газы могут заполнять сосуд и давить на его стенки. Хаотичность движения означает, что отдельные частицы летят в разные стороны, но в большом количестве их поведение можно описывать статистически.

Реальный газ состоит из молекул конечного размера, которые могут притягиваться или отталкиваться. Однако при невысокой плотности расстояния между молекулами обычно намного больше их размеров, а их взаимодействие заметно главным образом при сближении. Поэтому в модели идеального газа размеры можно не учитывать, а столкновения — считать упругими; приближение становится менее точным при сильном сжатии или охлаждении.

Молекулы движутся по сосуду и время от времени ударяются о его стенки. При ударе меняется импульс молекулы, а стенка получает воздействие; множество таких ударов создаёт среднюю силу, распределённую по площади. Отношение этой силы к площади и называют давлением, поэтому давление газа сохраняется даже при беспорядочном движении частиц.

Давление возрастает, если в том же объёме становится больше молекул: стенки получают больше ударов за одинаковое время. Оно также возрастает при усилении движения молекул, потому что их столкновения становятся более энергичными. Для молекул массы m₀ и концентрации n = N/V количественную связь записывают так: p = 1/3 m₀n⟨v²⟩, где ⟨v²⟩ — среднее значение квадрата скорости; множитель 1/3 возникает из-за хаотичного движения в трёх направлениях.

Температура характеризует интенсивность теплового движения и потому связана со средней кинетической энергией поступательного движения одной молекулы: ⟨Eк⟩ = 3/2 kT. Коэффициент 3/2 учитывает три направления движения, а k задаёт масштаб связи энергии с температурой. Поскольку энергия не бывает отрицательной, абсолютную шкалу отсчитывают от абсолютного нуля; подстановка выражения для энергии в формулу давления даёт p = nkT.

Основные величины молекулярно-кинетической теории идеального газа

Сначала определите, какие величины известны в условии, и найдите их обозначения в таблице. Затем выберите формулу, содержащую искомую величину, и проверьте единицы: например, температура должна быть в кельвинах, а концентрация — в м⁻³. Связь p = nkT удобна, когда известны концентрация и температура, а формула с m₀ — когда известны параметры движения молекул.

Разбор задач

Средняя энергия молекулы по температуре

Задача. Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа при температуре 300 °C. Решение начинается с перевода температуры в кельвины, потому что в формулу входит абсолютная температура. Используйте k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.

1. Переведём температуру: T = 300 + 273,15 = 573,15 К. Для школьного расчёта можно округлить результат до 573 К. В формулу нельзя подставлять значение 300.
2. Применим связь ⟨Eк⟩ = 3/2 kT. Подставим значения: ⟨Eк⟩ = 1,5·1,38·10⁻²³·573 ≈ 1,19·10⁻²⁰ Дж. Получена энергия одной молекулы, а не всего газа.

Ответ: приблизительно 1,19·10⁻²⁰ Дж.

Давление по концентрации и температуре

Задача. Найти давление газа при концентрации 2,0·10²⁵ м⁻³ и температуре 300 К. Здесь известны обе величины, входящие в формулу p = nkT. До вычисления полезно проверить, что концентрация задана в м⁻³, а температура — в кельвинах. Возьмём k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.

1. Запишем формулу: p = nkT. Она показывает, что при неизменной температуре увеличение числа частиц в единице объёма приводит к росту давления. Подставим заданные значения в единицах СИ.
2. Вычислим: p = 2,0·10²⁵·1,38·10⁻²³·300 = 8,28·10⁴ Па. Единица получается паскаль, поскольку Дж/м³ равен Па. Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: 8,3·10⁴ Па.

Температура и энергия по давлению и объёму

Задача. В сосуде объёмом 0,010 м³ находятся 2,0·10²² молекул газа, давление равно 8,28·10⁴ Па. Определить температуру газа и среднюю кинетическую энергию одной молекулы. Сначала необходимо узнать, сколько молекул приходится на единицу объёма. После этого можно последовательно использовать две связи МКТ.

1. Найдём концентрацию: n = N/V = 2,0·10²²/0,010 = 2,0·10²⁴ м⁻³. Деление на объём обязательно: число молекул само по себе не является концентрацией. Проверим, что единица результата — м⁻³.
2. Из p = nkT выразим температуру: T = p/(nk). Подстановка даёт T = 8,28·10⁴/(2,0·10²⁴·1,38·10⁻²³) = 300 К. Затем вычислим энергию: ⟨Eк⟩ = 3/2 kT = 1,5·1,38·10⁻²³·300 ≈ 6,21·10⁻²¹ Дж.

Ответ: температура 300 К, средняя кинетическая энергия молекулы приблизительно 6,21·10⁻²¹ Дж.

Типичные ошибки

Температуру в градусах Цельсия иногда подставляют напрямую, потому что в повседневной жизни чаще используют именно эту шкалу. Но молекулярно-кинетические формулы связывают энергию с абсолютной температурой, поэтому сначала нужно вычислить T = t + 273,15. Проверьте себя: перед подстановкой температура должна быть указана в кельвинах.

Среднюю кинетическую энергию одной молекулы путают с энергией всего газа. Первая относится к отдельной частице, а полная энергия зависит ещё и от числа молекул; поэтому нельзя умножать результат на число частиц, если спрашивают энергию одной молекулы. В ответе проверьте, что именно требуется найти: значение на частицу или для всех частиц.

Иногда полагают, что молекулы идеального газа вообще не взаимодействуют. В модели пренебрегают их взаимодействием между столкновениями, но сами столкновения сохраняются и считаются упругими. Для проверки вспомните: без столкновений молекул со стенками модель не объяснила бы давление.

В формуле p = nkT могут подставить число молекул N вместо концентрации n. Ошибка возникает, когда забывают, что давление зависит не только от количества частиц, но и от того, в каком объёме они находятся. Найдите n = N/V и проверьте размерность: концентрация измеряется в м⁻³.

Связь с другими темами

Для понимания молекулярно-кинетической теории нужны знания о механическом движении, кинетической энергии и импульсе. Они помогают объяснить, как столкновение меняет движение молекулы и почему возникает сила, действующая на стенку. Также следует уверенно пользоваться единицами СИ, чтобы правильно выполнять расчёты.

Полезно повторить количество вещества, постоянную Авогадро и объём газа. Эти понятия позволяют переходить от числа частиц к количеству вещества и находить концентрацию через число молекул и объём. Такая связь особенно пригодится в задачах на давление и температуру.

Идеи о давлении и температуре становятся основой для изучения уравнения состояния идеального газа и газовых законов. Связь движения частиц с энергией подготовит к теме внутренней энергии, а затем — к первому закону термодинамики. Так микроскопическая картина движения молекул связывается с тепловыми явлениями, которые можно измерить.

Что запомнить

• Газ состоит из большого числа частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении.
• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Идеальный газ — физическая модель, а не отдельное вещество.
• Абсолютная температура измеряется в кельвинах и не бывает отрицательной.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул пропорциональна абсолютной температуре.
• Для идеального газа p = nkT.
• При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул разных идеальных газов одинакова.