"Физика. Базовый уровень", Андрюшечкин С.М.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём и абсолютную температуру заданной порции газа. Оно помогает описывать равновесное состояние газа и находить неизвестный параметр, если известны остальные. Главная запись — pV = νRT, где ν — количество вещества, а R — универсальная газовая постоянная. Через число молекул уравнение записывают как pV = NkT; температура в обеих формулах измеряется в кельвинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, но учитывают столкновения молекул друг с другом и со стенками сосуда. Это не утверждение, что молекулы в настоящем газе совсем не взаимодействуют. Модель нужна, чтобы описывать свойства газа простыми уравнениями.
Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением p, объёмом V и абсолютной температурой T при заданном количестве вещества: pV = νRT. Давление измеряют в паскалях, объём — в кубических метрах, температуру — в кельвинах. Формула позволяет найти один параметр состояния, если известны остальные.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния, одинаковый для всех идеальных газов. Её значение R = 8,31 Дж/(моль·К). Единица измерения показывает, что постоянная относится к одному молю вещества и связывает температуру с энергией.
Количество вещества ν характеризует число частиц в порции вещества и измеряется в молях. Его находят по формуле ν = m/M, где m — масса порции, а M — молярная масса. Эта величина помогает перейти от массы газа к форме уравнения, в которой можно вычислять давление, объём или температуру.
Состояние данной порции газа задают макроскопические параметры: давление p, объём V и абсолютная температура T. Макроскопическими называют величины, которые описывают газ целиком, а не отдельную молекулу. Если газ не утекает и не добавляется, количество вещества ν остаётся заданным, поэтому изменение одного параметра связано с изменением других.
Связь между давлением и движением молекул объясняет молекулярно-кинетическая теория. Молекулы непрерывно и хаотично движутся, ударяются о стенки и передают им импульс; множество таких ударов создаёт давление. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул пропорциональна абсолютной температуре: чем выше T, тем энергичнее движение частиц.
Для идеального газа теория даёт связь pV = NkT, где N — число молекул, а k — постоянная Больцмана. В одном моле содержится постоянное число Авогадро Nₐ частиц, поэтому N = νNₐ. Подставляя это выражение, получаем pV = νNₐkT; поскольку R = Nₐk, окончательно имеем pV = νRT — уравнение Менделеева — Клапейрона.
Уравнение состояния связывает параметры одного равновесного состояния газа. Для перехода из состояния 1 в состояние 2 можно записать уравнение отдельно для каждой точки: p₁V₁ = νRT₁ и p₂V₂ = νRT₂. Если количество газа не меняется, νR в обоих выражениях одинаково, поэтому p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
Из общего уравнения следуют частные соотношения, если один из параметров остаётся неизменным. При постоянной температуре произведение pV неизменно; при постоянном давлении отношение V/T постоянно; при постоянном объёме постоянно p/T. Эти процессы называют соответственно изотермическим, изобарным и изохорным, а количество вещества во всех случаях также должно оставаться прежним.
| Условия или величина | Связь между параметрами | Что остаётся постоянным |
|---|---|---|
| Уравнение Менделеева — Клапейрона | pV = νRT | Количество вещества ν |
| Уравнение через число молекул | pV = NkT | Число молекул N |
| Изотермический процесс | pV = const | Температура T |
| Изобарный процесс | V/T = const | Давление p |
| Изохорный процесс | p/T = const | Объём V |
Сначала найдите строку, соответствующую условию задачи: например, постоянная температура означает изотермический процесс. В таблице указана связь величин, которые могут меняться, и параметр, который сохраняется. Для частного соотношения дополнительно проверьте, что количество газа не изменяется.
Задача 1. Найти давление одного моля идеального газа при объёме 0,024 м³ и температуре 300 К. Требуется найти p, поэтому из уравнения pV = νRT выразим давление. Все величины уже заданы в согласованных единицах СИ.
Ответ: давление газа приблизительно равно 1,04·10⁵ Па. Деление на объём необходимо, потому что при тех же количестве вещества и температуре меньший объём соответствует большему давлению.
Задача 2. В баллоне объёмом 0,010 м³ находится азот массой 0,028 кг при температуре 300 К. Молярная масса азота M = 0,028 кг/моль. Найти давление газа. Сначала преобразуем массу в количество вещества, поскольку уравнение состояния использует ν.
Ответ: p ≈ 2,49·10⁵ Па. Проверка размерности даёт паскали, если использовать массу и молярную массу в одинаковых единицах, а объём — в кубических метрах.
Задача 3. Газ перешёл из состояния p₁ = 100 кПа, V₁ = 2,0 л, T₁ = 300 К в состояние с V₂ = 1,5 л и T₂ = 360 К. Найти конечное давление, если газ не покидал сосуд и не добавлялся. Неизвестное удобно находить через соотношение состояний для неизменного количества вещества.
Ответ: p₂ = 160 кПа. Давление выросло, потому что газ нагрели и одновременно уменьшили его объём; оба изменения увеличивают давление.
Подстановка температуры в градусах Цельсия. Так ошибаются, потому что в быту температуру обычно называют именно в градусах Цельсия. Но уравнение использует абсолютную температуру: сначала переведите значение по формуле T = t + 273,15. Самопроверка проста: подставленное значение должно быть в кельвинах и не может быть отрицательным.
Применение модели без оговорок к любому реальному газу. Идеальный газ — модель, а не точное описание любой порции вещества. Ошибку допускают, когда забывают, что размеры молекул и их взаимодействие в реальности не всегда можно игнорировать. Перед расчётом проверьте, подходит ли приближение идеального газа к заданным условиям.
Путаница между количеством вещества ν и числом молекул N. Обе величины описывают состав порции газа, поэтому их легко принять за одно и то же. Однако ν измеряют в молях, а N — это число частиц; они связаны равенством N = νNₐ. Проверьте, какая величина дана и соответствует ли ей выбранная формула: R используют с ν, а k — с N.
Использование частного соотношения без проверки постоянных величин. Например, из pV = const нельзя делать вывод, если температура меняется или газ утекает. Ошибку вызывает выбор знакомой формулы без анализа условий задачи. Перед применением укажите, что именно постоянно, и убедитесь, что количество вещества тоже не изменяется.
Для работы с уравнением состояния нужно знать давление, объём и абсолютную температуру, а также количество вещества и молярную массу. Молекулярно-кинетическая теория объясняет, почему давление связано с движением молекул и как температура характеризует их среднюю кинетическую энергию. Уравнение пригодится при решении задач, где газ меняет состояние, и при изучении изопроцессов. Запись pV = NkT особенно наглядно соединяет макроскопические параметры газа с числом молекул и их тепловым движением.
Почему газ называют идеальным, если в природе нет полностью идеальных газов?
Идеальный газ — упрощённая модель: в ней размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, но учитывают столкновения. Реальные газы могут вести себя близко к этой модели, поэтому она позволяет решать многие задачи без сложного описания каждой молекулы.
Почему в уравнении состояния нужна температура в кельвинах?
Уравнение использует абсолютную температуру, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. В шкале Цельсия начало отсчёта выбрано условно, поэтому подставлять градусы Цельсия напрямую нельзя. Чтобы перевести температуру, используют T = t + 273,15.
Чем отличаются количество вещества и число молекул?
Число молекул N показывает, сколько частиц содержится в газе, а количество вещества ν измеряется в молях. Эти величины связаны соотношением N = νNₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро. Поэтому ν и N нельзя подставлять вместо друг друга без пересчёта.
Как выбрать между R и k в уравнении состояния?
Используйте pV = νRT, если количество газа задано в молях. Запись pV = NkT удобна, когда известно число молекул. R — универсальная газовая постоянная, а k — постоянная Больцмана; они связаны формулой R = Nₐk.
Можно ли применять уравнение идеального газа к реальному газу?
Можно, если условия позволяют считать поведение реального газа близким к идеальному. Такое приближение обычно лучше работает при невысокой плотности и вдали от перехода в жидкое состояние. Для точных расчётов в других условиях учитывают взаимодействие и размеры молекул.
§ 5. Уравнение состояния идеального газа
