"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём и абсолютную температуру газа заданной массы. Оно помогает находить неизвестный параметр, если известны остальные, и описывать переход газа из одного состояния в другое. Основная запись — pV = νRT, где ν — количество вещества, а R — универсальная газовая постоянная. Для неизменной массы газа отношение pV/T остаётся постоянным; температуру при расчётах выражают в кельвинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, учитывая только столкновения. Это не означает, что молекулы совсем не взаимодействуют: столкновения между ними и со стенками сосуда сохраняются. Такая модель упрощает описание газа и позволяет получить общие закономерности.
Уравнение состояния идеального газа — связь давления, объёма и температуры газа заданной массы: pV = νRT. По этой формуле можно определить один из параметров, если известны остальные и количество вещества. Она также показывает, как меняются параметры при изменении состояния газа.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния, одинаковый для всех идеальных газов; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Слово «универсальная» указывает на то, что значение R не зависит от вида газа. Эта постоянная задаёт количественную связь между макроскопическими параметрами и количеством вещества.
Количество вещества ν характеризует число частиц в системе и измеряется в молях. Если известны масса газа m и его молярная масса M, то ν = m/M. Это позволяет использовать уравнение состояния и тогда, когда в условии дана масса, а не количество вещества.
Состояние газа описывают макроскопическими параметрами: давлением p, объёмом V и температурой T. Давление показывает, с какой силой газ действует на единицу площади стенки, объём — какое пространство он занимает, а температура связана с движением молекул. Если меняется один параметр, состояние газа обычно меняется целиком: например, нагревание в закрытом сосуде может привести к росту давления. Связь между параметрами позволяет не рассматривать каждое изменение отдельно.
Молекулярно-кинетическая теория связывает давление газа с движением его молекул. В частности, основное уравнение этой теории можно записать как p = ⅔n⟨Eₖ⟩, где n — концентрация молекул, а ⟨Eₖ⟩ — их средняя кинетическая энергия. Средняя кинетическая энергия поступательного движения пропорциональна абсолютной температуре: ⟨Eₖ⟩ = 3kT/2, где k — постоянная Больцмана. Подстановка этой связи в уравнение давления и учёт числа частиц дают уравнение pV = νRT.
Запись pV = νRT объединяет параметры состояния и количество газа. Для заданной массы количество вещества ν постоянно, поэтому произведение pV прямо пропорционально абсолютной температуре T. Если температура растёт, произведение давления на объём тоже должно увеличиться; каким именно способом, зависит от условий опыта. Например, при постоянном объёме увеличивается давление, а при постоянном давлении — объём.
В задачах часто известна масса газа, а не количество вещества. Тогда сначала используют определение количества вещества: ν = m/M, где M — молярная масса. Подстановка в уравнение состояния даёт pV = (m/M)RT. Такая форма удобна, когда масса и молярная масса указаны непосредственно, но их единицы должны быть согласованы с единицами СИ.
Если количество вещества не меняется, из pV = νRT следует pV/T = νR = const. При переходе из начального состояния в конечное это выражается равенством p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Оно позволяет найти неизвестный параметр второго состояния, не вычисляя отдельно количество вещества, поскольку оно одинаково в обоих состояниях. Условие применимости — неизменное количество газа и возможность считать его идеальным.
| Величина | Обозначение и формула | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Па | Сила действия газа на единицу площади |
| Объём газа | V | м³ | Пространство, занимаемое газом |
| Абсолютная температура | T = t + 273,15 | К | Характеризует тепловое состояние газа |
| Количество вещества | ν = m/M | моль | Мера числа частиц в системе |
| Молярная масса | M = m/ν | кг/моль | Масса одного моля вещества |
| Универсальная газовая постоянная | R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) | Дж/(моль·К) | Коэффициент в уравнении состояния |
Перед подстановкой проверьте, что давление выражено в паскалях, объём — в кубических метрах, а температура — в кельвинах. Если дана масса, сначала найдите количество вещества через молярную массу. Единицы измерения помогают обнаружить ошибку: левая и правая части уравнения должны иметь одинаковую размерность.
В сосуде находится 2 моль газа при температуре 300 К, объём сосуда равен 0,050 м³. Требуется найти давление, считая газ идеальным. Здесь неизвестно p, поэтому уравнение состояния удобно сразу разрешить относительно давления.
Полученное давление составляет примерно 1,0 · 10⁵ Па. Ответ: p ≈ 99 700 Па. Такой порядок величины близок к атмосферному давлению, что служит разумной проверкой результата.
Найти объём 4 г гелия при давлении 1,0 · 10⁵ Па и температуре 300 К. Молярная масса гелия M = 4 г/моль. Поскольку в уравнении используется количество вещества, сначала нужно перейти от массы к молям, а затем выразить объём.
Значит, объём равен примерно 0,025 м³, или 25 л. Ответ: V ≈ 0,0249 м³. Перевод граммов в килограммы не изменил количество вещества, но помог сохранить согласованность единиц.
Газ неизменной массы занимает объём 0,020 м³ при давлении 1,0 · 10⁵ Па и температуре 300 К. Затем его нагрели до 450 К в сосуде объёмом 0,030 м³; нужно найти конечное давление. Так как количество газа сохраняется, применим равенство p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Все температуры здесь уже заданы в кельвинах, а объёмы — в кубических метрах.
Несмотря на нагревание, давление осталось прежним: объём увеличился в той же пропорции, что и абсолютная температура. Ответ: p₂ = 1,0 · 10⁵ Па. Проверка по отношению V/T показывает, что в обоих состояниях оно одинаково, поэтому при неизменном давлении результат закономерен.
Подставляют температуру в градусах Цельсия вместо кельвинов. Это происходит из-за привычки читать температуру с бытового термометра, но уравнение использует абсолютную шкалу. Переведите значение по формуле T = t + 273,15; если температура по Цельсию отрицательна, температура в кельвинах всё равно должна быть положительной.
Путают массу и количество вещества, подставляя m вместо ν. Масса измеряется, например, в килограммах, а количество вещества — в молях, поэтому эти величины нельзя заменять друг другом. Если дана масса, найдите ν = m/M и проверьте, что в формуле оказалось значение в молях.
Оставляют давление, объём или массу в единицах, не согласованных с СИ. Так часто делают, когда в условии даны атмосферы, литры или граммы, и забывают о переводе. Перед вычислением запишите единицы рядом с каждым числом и проверьте, что используете Па, м³, кг и кг/моль.
Считают уравнение точным для любого газа при любых условиях. Это ошибка, потому что идеальный газ — приближённая модель, а у реальных молекул есть размеры и взаимодействия. Спросите себя, достаточно ли разрежен газ и не указаны ли условия, при которых отклонения существенны; при высокой плотности модель может работать хуже.
Для работы с уравнением состояния нужны понятия давления, объёма, абсолютной температуры, количества вещества и молярной массы. Молекулярно-кинетическая теория объясняет микроскопическую причину связи давления с движением молекул и температурой. Само уравнение применяют для расчёта параметров газа и при изучении изопроцессов, в которых один из параметров состояния остаётся постоянным.
Почему температуру в уравнении состояния нужно выражать в кельвинах?
Уравнение связано с абсолютной температурой, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. В шкале Цельсия ноль выбран условно, поэтому в формулу нужно подставлять T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.
Что означает универсальная газовая постоянная?
Это коэффициент R в уравнении состояния, одинаковый для всех идеальных газов. Он связывает давление, объём, температуру и количество вещества; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
Как перейти от количества вещества к массе газа в уравнении?
Сначала количество вещества выражают через массу: ν = m/M, где m — масса газа, а M — его молярная масса. Затем подставляют это выражение в основное уравнение и получают pV = (m/M)RT.
Можно ли применять уравнение состояния к реальным газам?
Да, приближённо: реальный газ можно считать идеальным, когда влияние размеров молекул и их взаимодействия мало. Такое приближение обычно хорошо работает при невысокой плотности газа; в иных условиях отклонения могут быть заметны.
Что остаётся постоянным для газа неизменной массы?
Если количество вещества газа не меняется и его можно считать идеальным, постоянным остаётся отношение pV/T. Поэтому для двух состояний одного и того же количества газа можно записать p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
§ 68. Уравнение состояния идеального газа
