"Физика. Базовый уровень", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А.
Идеальный газ — модель, которая помогает описывать состояние газа с помощью давления, объёма и абсолютной температуры. Связь этих величин с количеством вещества выражает уравнение pV = νRT. Оно позволяет находить неизвестный параметр газа и сравнивать состояния одной и той же массы при изменении условий. Главное при расчётах — брать температуру в кельвинах и согласовывать единицы измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, а столкновения считают упругими. Это упрощение позволяет описывать газ несколькими величинами, не учитывая устройство каждой молекулы. Модель хорошо подходит для разреженных газов.
Параметры состояния газа — макроскопические величины, описывающие его состояние: давление p, объём V и температура T. Макроскопическими называют величины, относящиеся ко всему газу, а не к одной молекуле. По этим параметрам можно судить, в каких условиях находится газ.
Количество вещества ν характеризует число частиц и измеряется в молях. Число молекул связано с ним формулой N = νNₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро. Количество вещества удобно применять, когда речь идёт о порции газа, а не о подсчёте отдельных молекул.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём, температуру и количество вещества: pV = νRT. Оно помогает вычислить неизвестный параметр, если остальные величины известны. Для одной и той же массы газа уравнение также позволяет сравнивать разные состояния.
Состояние газа описывают давлением, объёмом и температурой, потому что эти величины доступны измерению и характеризуют газ целиком. Давление показывает действие газа на стенки сосуда, объём — занимаемое пространство, температура — тепловое состояние. При равновесии параметры в выбранных условиях определены и со временем не меняются, поэтому состояние можно описать одним набором значений p, V и T.
Молекулы газа движутся беспорядочно и ударяются о стенки сосуда. Именно столкновения передают стенке импульс и создают давление. Согласно молекулярно-кинетической теории, давление связано с концентрацией молекул и их средней кинетической энергией: при более интенсивном движении столкновения со стенками сильнее, поэтому давление возрастает.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать как pV = ⅔N⟨Eₖ⟩, где ⟨Eₖ⟩ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Для идеального газа эта энергия связана с абсолютной температурой: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Подстановка выражения для энергии даёт pV = ⅔N · 3/2 kT, откуда получается pV = NkT.
Число молекул N можно выразить через количество вещества: N = νNₐ. Подставив эту связь в pV = NkT, получим pV = νNₐkT. Обозначают произведение Nₐk универсальной газовой постоянной R, поэтому уравнение принимает привычный вид pV = νRT; численно R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
При изменении состояния одной и той же массы газа количество вещества не меняется. Из pV = νRT следует, что pV/T = νR, а значит, отношение pV/T остаётся постоянным. Для двух состояний это записывают так: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂; при этом нельзя считать постоянными отдельные p, V или T, если это не следует из условия.
| Величина или форма | Обозначение и формула | Единица СИ | Смысл или область применения |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Па | Сила давления на единицу площади |
| Объём газа | V | м³ | Объём, занимаемый газом |
| Абсолютная температура | T | К | Температура по шкале Кельвина |
| Количество вещества | ν | моль | Мера числа частиц; N = νNₐ |
| Уравнение через число молекул | pV = NkT | СИ | Используют, когда известно число молекул N |
| Уравнение через количество вещества | pV = νRT | СИ | Используют, когда дано количество вещества ν |
| Уравнение для данной массы газа при переходе между состояниями | p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ | СИ | Сравнение состояний при неизменном количестве вещества |
Сначала определите, какие величины даны: число частиц или количество вещества, одно состояние или два. Затем выберите подходящую запись и приведите значения к согласованным единицам. Давление в паскалях и объём в кубических метрах согласуются с R в единицах СИ.
Задача 1. В баллоне объёмом 0,020 м³ находится 0,50 моль газа при температуре 300 К. Найдём давление газа. Поскольку известно количество вещества, применим уравнение pV = νRT.
Ответ: давление газа примерно 62 кПа. При проверке единиц можно заметить, что результат выражен в паскалях, как и должно быть при использовании R в СИ. Округление до двух значащих цифр соответствует точности исходных данных.
Задача 2. Газ занимает объём 4,0 л при давлении 100 кПа и температуре 300 К. Давление стало 150 кПа, а температура — 360 К; найдём новый объём. Масса газа не меняется, поэтому удобно связать два состояния формулой p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
Ответ: объём станет 3,2 л. Он уменьшился, поскольку давление выросло сильнее, чем температура. Такой вывод служит быстрой проверкой направления изменения.
Задача 3. В сосуде объёмом 10 л находится газ при давлении 200 кПа и температуре 300 К. Определим количество вещества и число молекул. Переведём величины: 10 л = 0,010 м³, 200 кПа = 200 000 Па; затем используем R в СИ.
Ответ: ν ≈ 0,80 моль, N ≈ 4,8 · 10²³ молекул. Сначала нашли количество вещества, потому что оно непосредственно входит в уравнение с R. Затем пересчитали его в число молекул через постоянную Авогадро.
Температуру иногда подставляют в градусах Цельсия, потому что так она указана в условии. Но уравнение связано с абсолютной температурой, поэтому сначала нужно выполнить перевод T = t + 273,15. Проверка проста: в расчёте должна стоять температура в кельвинах, а не отрицательное или нулевое значение в градусах Цельсия.
Литры и килопаскали могут подставить вместе с универсальной газовой постоянной в СИ. Так делают, чтобы избежать перевода, но тогда единицы в формуле не сокращаются правильно и ответ может отличаться на порядок. Перед вычислением проверьте: при R = 8,31 Дж/(моль·К) используйте паскали и кубические метры.
R и k иногда считают взаимозаменяемыми константами, поскольку обе входят в уравнение газа. На деле R применяют с количеством вещества ν, а k — с числом молекул N; смешение обычно возникает при переходе между этими формами записи. Проверьте, что именно дано в задаче и какая константа стоит в выбранной формуле.
При переходе между состояниями ошибочно оставляют постоянными давление, объём или температуру без указания на это в условии. Для неизменной массы газа постоянно только отношение pV/T; отдельный параметр может меняться. Чтобы проверить решение, сравните исходные и конечные данные и используйте дополнительное условие лишь тогда, когда оно дано.
Для работы с уравнением состояния нужны понятия давления, объёма, абсолютной температуры и количества вещества. Также потребуется основное уравнение молекулярно-кинетической теории, которое связывает давление с движением молекул. Эти знания объясняют, откуда берётся связь между макроскопическими параметрами газа.
Уравнение состояния применяют при изучении изопроцессов — изменений состояния, при которых один из параметров газа остаётся постоянным. Оно помогает находить давление, объём или температуру в термодинамических задачах. При этом важно сначала выяснить, какие условия сохраняются в конкретном процессе.
Почему температуру в уравнении состояния нужно выражать в кельвинах?
Уравнение использует абсолютную температуру, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. В шкале Цельсия ноль выбран условно, поэтому подстановка градусов Цельсия нарушит связь температуры со средней кинетической энергией молекул. Переводят так: T = t + 273,15.
Чем отличаются уравнения pV = νRT и pV = NkT?
Они описывают одну и ту же связь состояния газа, но используют разные способы учитывать число частиц. В первом уравнении ν — количество вещества в молях, а R — универсальная газовая постоянная; во втором N — число молекул, а k — постоянная Больцмана. Эти записи связаны соотношениями N = νNₐ и R = Nₐk.
Как выбрать между уравнением состояния и формулой для перехода между состояниями?
Если известны количество вещества, давление, объём или температура и нужно найти неизвестную величину, используйте pV = νRT либо pV = NkT. Если рассматривается одна и та же масса газа до и после изменения условий, удобно записать p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Эта запись сразу связывает параметры двух состояний.
Почему отношение pV/T остаётся постоянным для данной массы газа?
Для неизменной массы газа количество вещества ν постоянно. Из уравнения pV = νRT следует pV/T = νR, а правая часть не меняется, поскольку R тоже постоянна. Поэтому для любых двух состояний этой массы можно приравнять значения pV/T.
Можно ли применять уравнение идеального газа к реальному газу?
Да, если реальные молекулы достаточно разрежены и их взаимодействием, кроме столкновений, можно пренебречь. При высоком давлении или низкой температуре модель может давать заметную погрешность: размеры молекул и силы взаимодействия становятся существенными. Тогда для точных расчётов используют более сложные модели.
§ 30. Уравнение состояния идеального газа
