"Физика. Базовый уровень", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А.
Давление идеального газа возникает из-за столкновений быстро и хаотично движущихся молекул со стенками сосуда. Молекулы передают стенкам импульс, а множество ударов создаёт силу, действующую на поверхность. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление с концентрацией, массой и средним квадратом скорости частиц: p = ⅓ mn⟨v²⟩. Оно помогает объяснить свойства газа через движение его молекул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием друг с другом пренебрегают, кроме столкновений. Иными словами, частицы считаются почти невзаимодействующими, пока не сталкиваются между собой или со стенкой. Такая модель позволяет связать наблюдаемое давление с движением отдельных молекул.
Давление газа — физическая величина, равная силе, действующей перпендикулярно поверхности, делённой на площадь этой поверхности; обозначается p. Формула определения давления: p = F/S, где F — сила, а S — площадь. Это понятие нужно, чтобы описать, насколько сильно газ воздействует на стенки сосуда.
Концентрация молекул — число молекул в единице объёма; обозначается n и определяется как n = N/V. Здесь N — общее число молекул, а V — объём газа. Концентрация показывает, сколько частиц приходится на выбранный объём, и помогает учесть их количество при расчёте давления.
Средний квадрат скорости молекул — среднее значение квадратов скоростей всех молекул газа; обозначается ⟨v²⟩. Сначала возводят в квадрат скорость каждой молекулы, а затем находят среднее этих квадратов. Эта величина нужна в уравнении МКТ, потому что давление зависит не просто от средней скорости, а от движения молекул с учётом квадрата их скоростей.
Молекулы газа движутся хаотично и регулярно сталкиваются со стенками сосуда. При ударе скорость молекулы меняется, значит, меняется и её импульс — произведение массы на скорость. По закону сохранения импульса стенка получает импульс в противоположном направлении; за время множество столкновений создаёт силу, действующую на стенку. Если разделить эту силу на площадь, получится давление.
Молекулы летят в разных направлениях, поэтому удары приходятся на стенки, ориентированные по-разному. В равновесном газе нет причины, по которой какое-либо направление движения было бы предпочтительным: хаотичное движение в среднем одинаково по всем направлениям. Поэтому давление газа действует на стенки во всех направлениях одинаково. Отдельные удары могут отличаться, но их огромное число даёт устойчивое среднее воздействие.
Чтобы выразить давление через свойства молекул, рассматривают изменение импульса при их ударах о стенку. Чем больше молекул находится в единице объёма, тем чаще они сталкиваются со стенкой; увеличение массы частицы или среднего квадрата её скорости усиливает передаваемый импульс. При учёте хаотического движения по трём направлениям на перпендикулярное стенке движение приходится треть общего вклада. Поэтому получают основное уравнение МКТ: p = ⅓ mn⟨v²⟩.
Связать давление можно и со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Для одной молекулы эта энергия равна Eₖ = ½mv², а её среднее значение — ⟨Eₖ⟩ = ½m⟨v²⟩. Если подставить это соотношение в уравнение p = ⅓ mn⟨v²⟩, получится p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Так давление оказывается связано с энергией движения частиц, а не только с их числом.
При неизменной концентрации в том же объёме остаётся столько же молекул на единицу объёма. Если их средняя кинетическая энергия возрастает, частицы в среднем сильнее передают импульс стенкам при столкновениях. Из уравнения p = ⅔ n⟨Eₖ⟩ следует, что давление растёт прямо пропорционально средней энергии. Например, увеличение средней энергии в 1,5 раза увеличивает давление в 1,5 раза.
| Величина | Обозначение | Физический смысл | Единица СИ | Связь с давлением |
|---|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Сила на единицу площади поверхности | Па | Искомая величина |
| Концентрация молекул | n | Число молекул в единице объёма | м⁻³ | p прямо пропорционально n |
| Масса молекулы | m | Масса одной молекулы газа | кг | p прямо пропорционально m |
| Средний квадрат скорости молекул | ⟨v²⟩ | Среднее значение квадратов скоростей | м²/с² | p прямо пропорционально ⟨v²⟩ |
| Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы | ⟨Eₖ⟩ | Средняя энергия движения молекулы | Дж | p = ⅔ n⟨Eₖ⟩ |
Для расчёта по первой форме уравнения используйте p = ⅓ mn⟨v²⟩: подставьте массу одной молекулы, концентрацию и средний квадрат скорости. Если известна средняя кинетическая энергия, удобнее применить p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Перед вычислением проверьте, что все величины выражены в единицах СИ.
Концентрация молекул газа равна 2·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы — 4·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости — 9·10⁴ м²/с². Найдём давление по основному уравнению МКТ. Данные уже заданы в единицах СИ, поэтому переводить их не нужно.
Ответ: давление равно 2,4·10⁴ Па. Проверка показывает, что подставлены именно концентрация, масса молекулы и средний квадрат скорости. Результат положителен и имеет единицу давления.
При неизменной концентрации средняя кинетическая энергия молекул увеличилась в 1,5 раза. Нужно определить, как изменилось давление. Здесь не требуется знать численные значения энергии и концентрации, потому что спрашивают только отношение нового давления к прежнему.
Ответ: давление увеличилось в 1,5 раза. Такой способ удобен, когда в задаче указано изменение величины, а не её конкретное значение. Перед выводом нужно проверить, что концентрация действительно постоянна.
В сосуде объёмом 0,02 м³ находится 5·10²³ молекул массой 3·10⁻²⁶ кг каждая; средняя квадратичная скорость равна 600 м/с. Найдём давление, а затем выясним, что произойдёт при удвоении этой скорости. Сначала переведём число молекул в концентрацию, а скорость возведём в квадрат.
Ответ: первоначальное давление равно 9·10⁴ Па, после удвоения средней квадратичной скорости оно станет 3,6·10⁵ Па. Удвоение скорости не означает удвоение давления, так как в формуле скорость стоит в квадрате. Условие о неизменных N и V гарантирует постоянство концентрации.
Подставлять среднюю скорость вместо среднего квадрата скорости нельзя: в уравнении требуется ⟨v²⟩. Ошибка возникает из-за похожих обозначений и привычки искать одну «среднюю скорость». Проверьте величины в условии и единицы: у ⟨v²⟩ единица м²/с², а не м/с.
Если забыть множитель ⅓, давление получится втрое больше правильного. Его иногда пропускают, потому что сосредоточиваются на подстановке чисел и не замечают коэффициент в формуле. Перед вычислением запишите уравнение целиком и после расчёта убедитесь, что множитель учтён.
Концентрация n — не то же самое, что общее число молекул N: n = N/V. Их путают, когда в условии дано число частиц, а объём не сразу используют. Проверьте размерность: N — безразмерное число, а концентрация выражается в м⁻³; при необходимости сначала вычислите N/V.
Неверно считать, что давление создают только молекулы, летящие перпендикулярно стенке. Такое упрощение игнорирует вклад хаотично движущихся частиц, столкновения которых также передают импульс поверхности. Для самопроверки вспомните, что в уравнении уже учтено движение по разным направлениям, поэтому нельзя самостоятельно отбрасывать остальные молекулы.
Чтобы понять вывод уравнения, нужно знать определения давления и силы, а также смысл импульса тела. Пригодятся представления о средней скорости и кинетической энергии: они помогают перейти от движения отдельных частиц к общей характеристике газа. Так микроскопическое движение молекул объясняет макроскопическое давление, которое можно измерить прибором.
Связь давления со средней кинетической энергией помогает понять температуру как характеристику движения частиц. Основное уравнение МКТ также служит опорой при изучении уравнения состояния идеального газа и газовых законов. В этих темах рассматривают, как давление связано с другими параметрами газа и как они изменяются при разных условиях.
Почему газ оказывает давление на стенки сосуда?
Молекулы газа непрерывно и хаотично движутся и сталкиваются со стенками сосуда. При каждом ударе молекула передаёт стенке импульс, а множество ударов создаёт силу, приходящуюся на площадь стенки.
Почему в формуле давления появляется множитель 1/3?
Движение молекул хаотично и не выделяет одно из трёх взаимно перпендикулярных направлений. В среднем на каждое направление приходится треть суммарного вклада движения, поэтому в уравнении появляется множитель ⅓.
Чем концентрация молекул отличается от их числа?
Число N показывает, сколько молекул содержится во всём рассматриваемом объёме. Концентрация n — это число молекул в единице объёма, поэтому n = N/V.
Почему нельзя подставлять в формулу среднюю скорость вместо среднего квадрата скорости?
В основном уравнении МКТ учитывается среднее значение квадратов скоростей, ⟨v²⟩, а не квадрат средней скорости. Эти величины в общем случае не равны, поэтому подстановка средней скорости даст неверный результат.
Как изменится давление, если при неизменной концентрации увеличить среднюю кинетическую энергию молекул?
При постоянной концентрации давление прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Поэтому во столько же раз, во сколько возрастёт средняя энергия, возрастёт и давление.
§ 29. Давление идеального газа
