§29. Давление идеального газа

Определения и обозначения

Давление идеального газа — давление, возникающее из-за ударов молекул о стенки сосуда; его обозначают p и измеряют в паскалях (Па). Каждый удар передаёт стенке часть импульса молекулы, а совместное действие множества ударов создаёт силу давления. Это определение помогает связать наблюдаемое свойство газа с движением его частиц.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — общее число молекул, а V — объём газа. Её измеряют в м⁻³. Эта величина показывает, сколько молекул может участвовать в ударах о стенки в данном объёме.

Средняя квадратичная скорость — величина, квадрат которой равен среднему значению квадратов скоростей молекул: v²ср = ⟨v²⟩. Обозначение ⟨v²⟩ означает, что сначала возводят в квадрат скорости отдельных молекул, а затем усредняют результаты. В уравнении давления нужна именно эта величина, поскольку вклад молекул зависит от квадратов компонент скорости.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление с массой одной молекулы m₀, концентрацией n и средним квадратом скорости: p = ⅓nm₀⟨v²⟩. Оно позволяет перейти от движения множества молекул к измеримому давлению. По нему можно также находить неизвестную характеристику газа, если остальные известны.

Как это устроено

Молекулы идеального газа непрерывно и хаотически движутся внутри сосуда. При столкновении со стенкой молекула отскакивает, поэтому её импульс меняется; стенка получает соответствующий импульс в противоположном направлении. Один удар слишком мал, чтобы заметно сдвинуть стенку, но удары происходят постоянно и от огромного числа молекул. В результате на стенку действует сила, а отношение этой силы к площади поверхности и называют давлением.

Сила давления зависит от того, сколько импульса молекулы передают стенке за единицу времени. Если концентрация выше, молекул в том же объёме больше и они чаще сталкиваются со стенкой. Если молекулы движутся быстрее, при ударе сильнее меняется их импульс, поэтому вклад каждого столкновения становится больше. Следовательно, и концентрация, и скорости молекул влияют на суммарное давление.

Чтобы связать давление со скоростями, рассматривают столкновения молекул с выбранной стенкой. Вклад в давление создают компоненты скорости, направленные перпендикулярно этой стенке. Но движение молекул хаотично: ни одно из трёх направлений в среднем не выделено, поэтому средние квадраты компонент скорости равны. Сумма средних квадратов трёх компонент составляет ⟨v²⟩, значит, на одну выбранную компоненту приходится треть этой величины.

Если сложить вклады всех молекул, учитывая их массу, частоту столкновений и изменение импульса, получится основное уравнение p = ⅓nm₀⟨v²⟩. Коэффициент ⅓ появляется именно из-за распределения движения по трём равноправным направлениям, а не из-за особенностей сосуда. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна ⟨Eк⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Подставив это выражение в основное уравнение, получаем эквивалентную форму: p = ⅔n⟨Eк⟩.

Величины в основном уравнении молекулярно-кинетической теории

Перед вычислениями проверь, какая величина дана и какая требуется: например, скорость в формуле уже возведена в квадрат. Единицы в условии должны быть приведены к СИ, а концентрацию нельзя заменять общим числом молекул. Для перехода к энергии используй вторую форму уравнения.

Разбор задач

Задача 1

Концентрация молекул газа равна 2,0·10²⁵ м⁻³, масса молекулы — 4,0·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости — 9,0·10⁴ м²/с². Найдём давление. Поскольку все величины даны в единицах СИ, их можно сразу подставить в основное уравнение.

1. Записываем уравнение: p = ⅓nm₀⟨v²⟩.
2. Подставляем данные: p = ⅓ · 2,0·10²⁵ · 4,0·10⁻²⁶ · 9,0·10⁴.
3. Сначала перемножаем концентрацию и массу одной молекулы: 2,0·4,0·10⁻¹ = 0,8. Затем умножаем на 9,0·10⁴ и делим на 3: p = 2,4·10⁴ Па.

Проверка единиц даёт кг/(м·с²), что соответствует паскалю. Полученное давление положительно, как и должно быть для давления газа. Ответ: 2,4·10⁴ Па.

Задача 2

Давление газа равно 1,0·10⁵ Па, концентрация молекул — 2,5·10²⁵ м⁻³. Требуется найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы. Здесь удобнее использовать форму уравнения, в которую уже входит искомая энергия, — p = ⅔n⟨Eк⟩.

1. Выражаем энергию: ⟨Eк⟩ = 3p/(2n).
2. Подставляем известные значения: ⟨Eк⟩ = 3·1,0·10⁵/(2·2,5·10²⁵).
3. В знаменателе получаем 5,0·10²⁵, в числителе — 3,0·10⁵. Деление даёт ⟨Eк⟩ = 6,0·10⁻²¹ Дж.

Единица результата — джоуль, единица энергии. Ответ: 6,0·10⁻²¹ Дж.

Задача 3

В сосуде концентрация молекул не меняется, а средняя квадратичная скорость возрастает в 1,5 раза. Нужно определить, во сколько раз меняется давление. Основное уравнение показывает, что при неизменных n и m₀ давление зависит от среднего квадрата скорости, поэтому сначала нужно учесть квадрат увеличившейся скорости.

1. Записываем зависимость: p ∝ ⟨v²⟩.
2. Если характерная скорость увеличилась в 1,5 раза, средний квадрат скорости вырос в 1,5² раза.
3. Вычисляем: 1,5² = 2,25. Значит, давление также увеличилось в 2,25 раза.

Ответ: давление стало в 2,25 раза больше. Увеличивать давление в 1,5 раза было бы неверно, потому что в уравнении стоит квадрат скорости.

Типичные ошибки

Подстановка средней скорости вместо среднего квадрата скорости меняет физический смысл расчёта. Такую ошибку допускают, когда не замечают квадрат в обозначении ⟨v²⟩ и принимают его за ⟨v⟩². Проверь, что возводишь в квадрат скорости молекул до усреднения, а не просто подставляешь среднюю скорость. В общем случае ⟨v²⟩ и ⟨v⟩² не равны.

Если забыть коэффициент ⅓ или заменить его на ½, давление получится неверным. Коэффициент может потеряться при переносе формулы из памяти или смешаться с множителем в формуле энергии. Проверь, что в уравнении p = ⅓nm₀⟨v²⟩ стоит именно ⅓. Множитель ½ относится к выражению ⟨Eк⟩ = ½m₀⟨v²⟩.

Число молекул N и концентрация n — не одно и то же. Их путают, потому что оба обозначения связаны с количеством частиц, но в уравнение входит число молекул в единице объёма: n = N/V. Перед подстановкой посмотри на единицу величины: у концентрации это м⁻³, а у общего числа молекул единицы нет. Если в условии дано N, сначала понадобится узнать объём и вычислить n.

Иногда считают, что давление создаётся только весом газа. Такой взгляд не объясняет, почему газ давит на стенки в стороны и вверх, тогда как его вес направлен вниз. В модели идеального газа давление возникает из-за ударов молекул о стенки. Проверяя решение, свяжи причину давления с передачей импульса при столкновениях, а не только с действием тяжести.

Связь с другими темами

Для понимания давления газа нужны понятия давления, импульса тела и связи изменения импульса с силой. Изменение импульса при столкновениях объясняет, почему стенка получает силу от молекул. Определение давления затем связывает эту силу с площадью стенки.

Основное уравнение опирается на модель идеального газа и представление о хаотическом движении молекул. Также нужно знать среднюю кинетическую энергию поступательного движения: она позволяет переписать уравнение через энергию частиц. Эти идеи соединяют наблюдаемые свойства газа с движением его молекул.

Уравнение пригодится при изучении связей между давлением, объёмом и температурой газа. Оно также помогает решать задачи молекулярной физики: по макроскопическим величинам можно находить характеристики движения частиц, и наоборот. Поэтому полезно уметь выбирать между формой с ⟨v²⟩ и формой с ⟨Eк⟩.

Что запомнить

• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Основное уравнение: p = ⅓nm₀⟨v²⟩.
• При неизменных характеристиках движения давление пропорционально концентрации молекул.
• При неизменной концентрации давление пропорционально среднему квадрату скорости молекул.
• Связь с энергией: p = ⅔n⟨Eк⟩.
• В уравнения подставляют концентрацию, а не общее число молекул.