§ 40. Уравнение состояния идеального газа

Определения и обозначения

Уравнение состояния идеального газа — это связь между давлением, объёмом, температурой и количеством вещества: pV = νRT. Оно нужно, чтобы по известным параметрам найти неизвестный и описать состояние газа. Уравнение применяют к модели идеального газа.

Количество вещества ν характеризует число частиц в порции вещества и измеряется в молях. Один моль содержит примерно 6,02·10²³ частиц. Эта величина позволяет вместо подсчёта отдельных молекул работать с их общей порцией.

Универсальная газовая постоянная R имеет одно и то же значение для всех идеальных газов: R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она связывает макроскопические параметры газа с количеством вещества и температурой. Её используют в формуле pV = νRT.

Постоянная Больцмана k связывает температуру с энергией, приходящейся на одну частицу: k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К. Она появляется в записи уравнения через число молекул. Поэтому k удобна, когда в условии дано именно число частиц.

Как это устроено

Идеальный газ — упрощённая модель, позволяющая не учитывать второстепенные детали движения молекул. Считается, что размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению с объёмом сосуда, а силы взаимодействия между столкновениями несущественны. Тогда давление возникает главным образом из-за ударов молекул о стенки, и состояние газа можно описывать тремя величинами: p, V и T.

Молекулярно-кинетическая теория связывает давление с концентрацией частиц и температурой формулой p = nkT. Здесь n — концентрация, то есть число частиц в единице объёма. Так как n = N/V, подстановка даёт p = NkT/V, а после умножения на V получается pV = NkT.

Число частиц можно выразить через количество вещества: N = νNₐ. Подставляя это равенство в pV = NkT, получаем pV = νNₐkT. Произведение Nₐk обозначают буквой R, поэтому возникает привычная форма pV = νRT.

Если масса газа не меняется, то неизменным остаётся и количество вещества ν. В таком случае из pV = νRT следует, что отношение pV/T постоянно: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Это соотношение показывает, как изменение одного параметра должно компенсироваться изменением других.

В расчётах температура должна быть абсолютной, то есть выраженной в кельвинах: T = t + 273,15. Давление и объём выбирают в согласованных единицах, обычно в паскалях и кубических метрах. Тогда значение R в Дж/(моль·К) корректно сочетается с остальными величинами, поскольку 1 Дж = 1 Па·м³.

Величины и формы уравнения состояния идеального газа

Сначала определите, какие величины известны в условии, и выберите подходящую форму уравнения. Если дано количество вещества, удобнее использовать R, а если число частиц — k. При сравнении состояний одной массы газа обычно применяют равенство p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.

Разбор задач

Задача 1

В баллоне объёмом 10 л находится 0,40 моль газа при температуре 300 К. Требуется найти давление. Поскольку известны ν, T и V, выбираем форму p = νRT/V. Перед вычислением переводим объём в единицы СИ.

1. Переведём объём: V = 10 л = 0,010 м³.
2. Подставим данные: p = 0,40·8,31·300/0,010 Па.
3. Вычислим: p ≈ 9,97·10⁴ Па, то есть примерно 100 кПа.

Ответ: давление газа примерно равно 1,0·10⁵ Па.

Задача 2

Газ неизменной массы занимает 2,0 л при 300 К. Объём уменьшают до 1,5 л, а температуру повышают до 360 К. Нужно сравнить новое давление с прежним, поэтому абсолютное значение начального давления находить не требуется. Используем закон для двух состояний одной массы газа.

1. Запишем: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
2. Выразим новое давление: p₂ = p₁V₁T₂/(T₁V₂).
3. Получим p₂/p₁ = 2,0·360/(300·1,5) = 1,6.

Ответ: давление увеличится в 1,6 раза.

Задача 3

В сосуде объёмом 5,0 л газ находится при давлении 120 кПа и температуре 290 К. Сначала найдём количество вещества по формуле ν = pV/(RT), а затем число молекул по формуле N = νNₐ. Все исходные данные переводим в СИ, чтобы использовать R = 8,31 Дж/(моль·К).

1. p = 120 кПа = 1,20·10⁵ Па, V = 5,0 л = 5,0·10⁻³ м³.
2. ν = (1,20·10⁵·5,0·10⁻³)/(8,31·290) ≈ 0,249 моль.
3. N = 0,249·6,02·10²³ ≈ 1,50·10²³ частиц.

Ответ: ν ≈ 0,25 моль, число молекул N ≈ 1,5·10²³.

Типичные ошибки

Температура в градусах Цельсия. Её подставляют напрямую, потому что в быту температура обычно указана именно так. Но формула использует шкалу от абсолютного нуля, поэтому нужно взять T = t + 273,15. Проверка: температура в кельвинах не бывает отрицательной.

Непереведённые литры и килопаскали. Ошибка появляется, когда значение R берут в СИ, а данные оставляют в литрах или килопаскалях. Переводите V в м³, а p — в Па до подстановки. По размерности результат давления должен получиться в паскалях.

Путаница между ν и N. Количество вещества измеряют в молях, а число частиц — это безразмерное количество молекул. Их связь задаётся формулой N = νNₐ. Проверьте обозначение в условии и порядок величины ответа.

Применение pV/T = const к разным массам газа. Это соотношение выводится при постоянном количестве вещества. Если газ добавили или выпустили, постоянство нарушено. Сначала выясните, остаётся ли масса газа неизменной.

Связь с другими темами

Для понимания уравнения нужны основные положения молекулярно-кинетической теории, а также понятия давления, объёма, абсолютной температуры и количества вещества. Эти знания объясняют, откуда берутся величины в формуле.

Уравнение состояния служит основой для изучения изопроцессов. При постоянном объёме, давлении или температуре из него получают отдельные законы и решают задачи на изменение состояния газа.

Запись pV = NkT соединяет макроскопическое описание газа с движением его молекул. Она показывает, как давление и температура зависят от числа частиц и их теплового движения.

Что запомнить

• Уравнение состояния идеального газа: pV = νRT.
• Эквивалентная запись через число частиц: pV = NkT.
• Количество частиц и количество вещества связаны равенством N = νNₐ.
• Универсальная газовая постоянная связана с постоянной Больцмана: R = Nₐk.
• Температуру в уравнение подставляют в кельвинах.
• Для неизменной массы газа pV/T = const.