"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Идеальный газ — упрощённая модель, которая помогает описывать поведение газов через давление, объём, температуру и количество вещества. Главная формула темы — pV = νRT: она показывает, как изменение одного параметра связано с другими. В уравнение подставляют температуру в кельвинах, а величины согласуют с единицами СИ. Для одной и той же массы газа отношение pV/T постоянно — это позволяет сравнивать два состояния и решать практические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, учитывая столкновения между молекулами и со стенками сосуда. Иными словами, молекулы считают точечными и свободно движущимися между столкновениями. Такое упрощение позволяет описывать газ с помощью нескольких измеряемых величин. Модель особенно полезна, когда реальные свойства газа близки к этим предположениям.
Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением p, объёмом V, температурой T и количеством вещества ν: pV = νRT. Давление показывает, с какой силой газ действует на единицу площади стенки, а количество вещества измеряется в молях. Уравнение нужно, чтобы по известным параметрам определить неизвестный или понять, как изменится газ при нагревании и сжатии. Температуру T в этой формуле берут в кельвинах.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент уравнения состояния, одинаковый для всех идеальных газов; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она связывает механические величины p и V с количеством вещества и температурой. Слово «универсальная» означает, что для разных газов значение R одно и то же. Единица постоянной согласована с единицами СИ в уравнении.
Постоянная Больцмана k — коэффициент в записи уравнения через число молекул N: pV = NkT. Она связывает энергию, приходящуюся на одну молекулу, с температурой. Для перехода к уравнению через количество вещества используют равенство R = Nₐk, где Nₐ — постоянная Авогадро. Поэтому обе формы выражают одну физическую зависимость, но считают количество газа по-разному.
Реальный газ состоит из молекул конечного размера, которые притягиваются или отталкиваются друг от друга. Если газ разрежен и не охлаждён до низкой температуры, среднее расстояние между молекулами велико, а их собственный объём мал по сравнению с объёмом сосуда. Тогда большую часть времени молекулы движутся почти независимо, и их взаимодействием можно пренебречь, кроме коротких столкновений. Так возникает модель идеального газа: она упрощает расчёты, сохраняя главное для описания давления и температуры.
Уравнение pV = νRT показывает, что состояние газа нельзя задать одним параметром: давление зависит и от объёма, и от температуры, и от количества вещества. Например, если количество газа и объём постоянны, нагревание повышает давление. Если же температура и количество газа постоянны, увеличение объёма сопровождается уменьшением давления. Температура должна быть абсолютной, потому что ноль шкалы Кельвина соответствует нижней границе теплового движения, тогда как ноль Цельсия выбран условно.
Получить уравнение состояния можно из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩, где n — число молекул в единице объёма, а ⟨Eₖ⟩ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Согласно молекулярно-кинетической теории ⟨Eₖ⟩ = 3kT/2. Подстановка даёт p = nkT: множители ⅔ и 3/2 сокращаются, потому что давление связано именно со средней энергией хаотического движения. Так микроскопическое описание через молекулы приводит к макроскопической связи между давлением и температурой.
Умножим p = nkT на объём V. Произведение nV равно общему числу молекул N, поэтому получаем pV = NkT. В одном моле содержится Nₐ молекул, следовательно, для ν молей N = νNₐ. Подставляя это выражение, имеем pV = νNₐkT; поскольку R = Nₐk, формула принимает вид pV = νRT. Переход между формами удобен: число молекул используют в молекулярном описании, а моли — в большинстве расчётных задач.
Для одной и той же массы газа количество вещества ν не меняется, как и R. Из pV = νRT можно разделить обе части на T и получить pV/T = νR = const. Значит, между начальным и конечным состояниями этой массы газа выполняется p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Это соотношение позволяет находить неизвестное давление, объём или температуру, если остальные параметры известны, но количество газа не изменилось.
| Обозначение или форма | Физический смысл | Единица СИ или условие |
|---|---|---|
| p — давление газа | Сила действия газа на единицу площади стенки | Па |
| V — объём газа | Объём пространства, занимаемого газом | м³ |
| T — абсолютная температура | Мера теплового состояния газа | К |
| ν — количество вещества | Число молей газа | моль |
| R — универсальная газовая постоянная | Коэффициент уравнения состояния | Дж/(моль·К), около 8,31 |
| N и k — число молекул и постоянная Больцмана | Запись состояния через число частиц | N — без единицы; k — Дж/К |
| pV = νRT — уравнение через количество вещества | Связывает параметры газа и количество вещества | T в К; единицы согласованы |
| pV = NkT — уравнение через число молекул | Та же связь, записанная через N молекул | Температура в К |
| pV/T = const — соотношение для данной массы газа | Связь параметров при переходе между состояниями | Количество газа неизменно |
Сначала выберите форму уравнения по тому, что известно: количество вещества в молях или число молекул. Для перехода одной и той же массы газа из состояния в состояние удобнее использовать отношение pV/T. Перед вычислениями проверьте единицы и переведите величины в СИ.
Задача 1. В сосуде объёмом 10 л находится 0,50 моль идеального газа при температуре 300 К. Найдём давление газа. Поскольку объём дан в литрах, сначала переведём его в кубические метры, а затем выразим давление из уравнения состояния. Постоянную R возьмём в единицах СИ, чтобы результат получился в паскалях.
Ответ: давление газа приблизительно равно 1,2 · 10⁵ Па, или 120 кПа. Проверка порядка величины полезна: давление получилось близким к атмосферному. Если оставить объём в литрах, не согласовав его с R, расчёт даст неверный результат.
Задача 2. Газ массой 4,0 г занимает объём 2,0 л при температуре 300 К, его молярная масса равна 0,020 кг/моль. Требуется найти давление. В уравнении состояния используется количество вещества, а не масса напрямую, поэтому сначала определим число молей. Затем переведём массу и объём в единицы СИ и применим ту же формулу, что и в первой задаче.
Ответ: давление газа приблизительно равно 2,5 · 10⁵ Па, или 250 кПа. Большое давление объясняется тем, что заметное количество газа занимает небольшой объём. При вычислении количества вещества молярную массу и массу выразили в совместимых единицах.
Задача 3. Давление данной массы газа равно 100 кПа, объём — 3,0 л, температура — 300 К. Газ нагрели до 400 К и сжали до 2,0 л; нужно определить конечное давление. Количество газа не меняется, поэтому подходит соотношение между двумя состояниями p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Давление можно оставить в килопаскалях, а объём — в литрах: одинаковые единицы сократятся в отношении.
Ответ: конечное давление равно 200 кПа. Нагревание повышает давление, а сжатие при прочих равных также повышает его. В данном случае оба изменения действуют в одну сторону, что согласуется с полученным результатом.
Подстановка температуры в градусах Цельсия. Так делают, когда забывают, что в уравнении состояния используется абсолютная температура. Шкала Цельсия начинается не от абсолютного нуля, поэтому её значение изменяет результат и может привести к физически бессмысленному ответу. Перед подстановкой проверьте, что температура выражена в кельвинах: T = t + 273,15.
Смешивание литров с кубическими метрами или килопаскалей с паскалями. Причина обычно в том, что часть данных переводят в СИ, а часть оставляют в исходных единицах. При использовании R = 8,31 Дж/(моль·К) давление получится в паскалях, если объём задан в кубических метрах. Запишите единицы рядом с каждым числом и проверьте, что все величины согласованы до вычислений.
Путаница между количеством вещества ν и массой m. Масса измеряется, например, в килограммах, а ν — в молях; эти величины нельзя подставлять в формулу вместо друг друга. Ошибку допускают, когда воспринимают «количество газа» как его массу. Если задана масса, найдите количество вещества по формуле ν = m/M, предварительно проверив единицы обеих величин.
Применение p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ при изменении количества газа. Это соотношение получено для одной и той же массы: при выводе предполагается неизменность ν. Если часть газа выпустили или добавили, условие нарушено и формула не годится без учёта нового количества вещества. Перед применением сравните количество газа в начальном и конечном состояниях.
Для изучения уравнения состояния нужны понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы, а также перевод температуры в кельвины. Формулы pV = NkT и R = Nₐk связывают макроскопическое описание газа с молекулярно-кинетической теорией и постоянной Больцмана. Уравнение состояния служит основой для изучения изопроцессов и газовых законов. Оно также помогает решать задачи о переходе газа из одного состояния в другое.
Почему уравнение состояния называют уравнением состояния?
Оно связывает параметры, которыми описывают состояние газа: давление, объём, температуру и количество вещества. Если известны некоторые из них, по уравнению можно найти неизвестный параметр.
Почему температуру нужно переводить в кельвины?
В уравнение входит абсолютная температура, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. Шкала Цельсия имеет другой ноль, поэтому её значения нельзя подставлять напрямую. Переводят так: T = t + 273,15.
Чем отличаются записи pV = νRT и pV = NkT?
В первой записи количество газа выражено в молях, а во второй — числом молекул. Здесь N — число молекул, k — постоянная Больцмана, а R = Nₐk. Обе формулы описывают одно и то же состояние.
Как найти количество вещества, если известны масса газа и его молярная масса?
Нужно разделить массу газа на его молярную массу: ν = m/M. Массу и молярную массу следует выразить в согласованных единицах, например в килограммах и килограммах на моль.
Можно ли использовать уравнение состояния для реального газа?
Можно, если реальные свойства газа достаточно близки к модели идеального газа. Обычно такое приближение хорошо работает при невысокой плотности и не слишком низкой температуре. При сильном сжатии или охлаждении взаимодействием и размерами молекул пренебрегать уже нельзя.
§ 40. Уравнение состояния идеального газа
