§ 69. Газовые законы

Определения и обозначения

Газовый закон — зависимость между давлением, объёмом и температурой данной массы газа при неизменности одного из параметров. Он позволяет определить, как изменятся остальные величины при заданном процессе. В формулах давление обозначают p, объём — V, а абсолютную температуру — T.

Изопроцесс — процесс изменения состояния газа, при котором один из трёх параметров: давление, объём или температура — остаётся постоянным. Название показывает, какая именно величина не меняется: изотермический связан с температурой, изобарный — с давлением, изохорный — с объёмом. Это помогает выбрать подходящий закон для расчёта.

Закон Бойля—Мариотта утверждает: при постоянной температуре произведение давления газа на его объём остаётся постоянным, то есть pV = const. Если газ сжимают, его давление растёт, а если расширяют — падает. Закон применяют только к неизменной массе газа при неизменной температуре.

Абсолютная температура — температура, измеряемая по шкале Кельвина и используемая в газовых законах. Её обозначают T, а перевод из градусов Цельсия выполняют по формуле T = t + 273,15. Такой отсчёт нужен, чтобы температурные отношения в формулах имели физический смысл.

Как это устроено

Состояние данной массы газа описывают тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Это связано с тем, что газ состоит из частиц, а давление возникает из-за их ударов о стенки сосуда; объём задаёт доступное частицам пространство, а температура характеризует их тепловое движение. При заданной массе и известных условиях эти параметры связаны между собой, поэтому для описания равновесного состояния достаточно знать их значения.

Параметры не меняются независимо друг от друга: если массу газа сохраняют, изменение условий обычно отражается сразу на нескольких величинах. Например, при сжатии частицы чаще ударяются о стенки, поэтому давление возрастает, если температуру удерживать постоянной. Чтобы точно установить связь, нужно указать, что именно в процессе не меняется; без этого одного значения давления или объёма недостаточно для однозначного вывода.

Для данной массы идеального газа уравнение состояния можно записать как pV/T = const. Если температура постоянна, множитель T не меняется, и остаётся pV = const. Если постоянно давление, получается V/T = const, а при постоянном объёме — p/T = const; так из общей связи получают формулы трёх изопроцессов.

Кельвины нужны потому, что газовые законы используют не произвольный температурный отсчёт, а абсолютный. Ноль шкалы Цельсия соответствует температуре выше абсолютного нуля, поэтому отношение температур в градусах Цельсия не показывает верное отношение тепловых состояний. Например, 20 °C — это примерно 293 K, а не 20 K; при расчёте пропорции берут именно 293 K.

Форма графика подсказывает, как связаны параметры. Для изотермы p(V) произведение pV постоянно, поэтому при увеличении V давление убывает по гиперболе; для изобарного процесса V растёт прямо пропорционально T, а для изохорного так же растёт p. Прямые зависимости строят по абсолютной температуре, и в идеализированном графике они проходят через начало координат; направление движения по графику показывает, какая величина увеличивается, а какая уменьшается.

Газовые законы и изопроцессы

Сначала найди в условии постоянную величину и выбери соответствующую строку таблицы. Затем проверь, какие параметры связаны формулой и в каких единицах даны значения. Если постоянного параметра нет, а сравниваются два состояния одной массы газа, используй объединённый закон.

Разбор задач

Задача 1

Газ при постоянной температуре занимает объём 2 л и находится под давлением 100 кПа. Каково его давление при объёме 5 л? Масса газа не меняется, поэтому можно сравнить начальное и конечное состояния одной порции газа. Температура постоянна, значит, применим закон Бойля—Мариотта.

1. Записываем закон: p₁V₁ = p₂V₂. Искомое давление выражаем отдельно: p₂ = p₁V₁/V₂.
2. Подставляем данные: p₂ = 100 кПа · 2 л / 5 л. Литры сокращаются, поэтому давление получится в килопаскалях.
3. Вычисляем: p₂ = 40 кПа. Результат меньше начального давления, что согласуется с увеличением объёма при постоянной температуре.

Ответ: давление газа станет 40 кПа.

Задача 2

При постоянном давлении объём газа при температуре 300 К равен 3 л. Каким станет объём при температуре 400 К? Здесь давление не меняется, значит, объём пропорционален абсолютной температуре. Обе температуры уже даны в кельвинах.

1. Записываем закон Гей—Люссака: V₁/T₁ = V₂/T₂. Выражаем неизвестный объём: V₂ = V₁T₂/T₁.
2. Подставляем значения: V₂ = 3 л · 400 К / 300 К. Кельвины сокращаются, поэтому результат выражен в литрах.
3. Вычисляем: V₂ = 4 л. Температура выросла, а при постоянном давлении объём тоже увеличился.

Ответ: объём станет 4 л.

Задача 3

Газ имел параметры p₁ = 100 кПа, V₁ = 2 л, T₁ = 300 К. После изменения состояния его давление стало 150 кПа, а температура — 450 К; нужно найти новый объём. Здесь меняются давление и температура, поэтому закон одного изопроцесса не подходит. Считаем, что масса газа сохраняется, и применяем объединённый газовый закон.

1. Записываем связь состояний: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Выражаем неизвестный объём: V₂ = p₁V₁T₂/(T₁p₂).
2. Подставляем: V₂ = 100 кПа · 2 л · 450 К / (300 К · 150 кПа). Килопаскали и кельвины сокращаются, остаются литры.
3. Вычисляем: V₂ = 2 л. Рост температуры компенсируется ростом давления, поэтому объём в данном случае не изменился.

Ответ: новый объём равен 2 л.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять температуру в градусах Цельсия. Так поступают, потому что в условии часто именно эта шкала, но пропорции газовых законов требуют кельвинов. Перед расчётом проверь единицы температуры и переведи значение по формуле T = t + 273,15.

Вторая ошибка — выбрать закон, не проверив постоянный параметр. Например, закон Бойля—Мариотта нельзя применять, если температура меняется; путаница возникает из-за того, что формула содержит только p и V. Сверь условие с формулой: в изотермическом процессе должно быть T = const.

Третья ошибка — перепутать прямую и обратную зависимость или неверно переставить величины в пропорции. Такое бывает, если записать формулу наугад и сразу подставить числа. Сначала вырази неизвестное алгебраически, а затем проверь направление изменения: при постоянной температуре увеличение объёма должно уменьшать давление.

Четвёртая ошибка — несогласованно использовать единицы давления и объёма. Обычно в пропорции единицы сокращаются, если обе величины в сравниваемых состояниях записаны одинаково, но смешение литров с кубическими метрами или кПа с Па затрудняет расчёт. Приведи значения к единым единицам и проверь, что размерность ответа совпадает с искомой величиной.

Связь с другими темами

Для изучения газовых законов нужно знать, что такое давление, объём и температура, а также понимать, что масса газа может оставаться постоянной. Эти представления связываются с уравнением состояния идеального газа: газовые законы получаются из него при условии неизменности одного параметра. Макроскопические величины описывают состояние множества частиц, а молекулярная физика объясняет их связь с движением частиц.

Законы применяют в термодинамике, при изучении работы тепловых машин и процессов в технических устройствах. Они помогают анализировать изменение состояния газа при нагревании, охлаждении, сжатии или расширении. Похожие расчёты используют и в метеорологии, например при описании изменения параметров воздушных масс.

Что запомнить

• Изопроцессом называют процесс при постоянной массе газа и неизменном одном из параметров.
• В газовых законах температуру выражают только в кельвинах.
• При постоянной температуре pV = const.
• При постоянном давлении V/T = const.
• При постоянном объёме p/T = const.
• Для перехода между произвольными состояниями используют p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.