"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
При колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически переходят друг в друга. Если система идеальна, их сумма остаётся постоянной; в реальных условиях трение и сопротивление среды отнимают механическую энергию, поэтому амплитуда постепенно уменьшается. Такие колебания называют затухающими. Разобравшись в связи амплитуды с энергией и в роли сопротивления, можно объяснить, почему реальные маятники останавливаются и как оценивать их движение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия колебаний — сумма кинетической и потенциальной энергий колебательной системы; они переходят из одного вида в другой. Например, для груза на пружине E = mv²/2 + kx²/2, где m — масса, v — скорость, k — жёсткость, x — смещение от равновесия. Эта величина позволяет учитывать запас энергии системы в любой момент движения. В крайних положениях скорость равна нулю, а энергия полностью потенциальная.
Затухающие колебания — колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается из-за сопротивления движению. Амплитуда A — наибольшее по модулю отклонение от положения равновесия. Такие колебания описывают движение реальных систем, например маятника в воздухе, который со временем останавливается. По уменьшению амплитуды можно судить о потере энергии.
Сила сопротивления — сила, направленная против скорости движения и вызывающая потерю механической энергии. Она может возникать из-за трения деталей или взаимодействия тела с воздухом и жидкостью. Чем дольше действует эта сила, тем меньше энергии остаётся на дальнейшее движение. Понятие помогает объяснить, почему идеальное колебание в реальности постепенно прекращается.
Коэффициент затухания — величина, характеризующая скорость уменьшения амплитуды и энергии колебаний. При слабом затухании амплитуда меняется по закону A(t) = A₀e⁻ᵝᵗ, где A₀ — начальная амплитуда, β — коэффициент затухания, t — время. Чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда; единица β — с⁻¹. По этой величине можно сравнивать скорость затухания разных систем.
Когда тело смещают из положения равновесия, в системе появляется потенциальная энергия: у пружины она связана с её деформацией, у маятника — с высотой груза. Под действием возвращающей силы тело ускоряется, и потенциальная энергия переходит в кинетическую. Вблизи положения равновесия скорость наибольшая, поэтому кинетическая энергия велика. Затем тело продолжает движение по инерции, снова удаляется от равновесия и передаёт энергию обратно потенциальной.
В идеальной системе нет трения и сопротивления, поэтому внешние силы не отнимают энергию у колеблющегося тела. Энергия лишь переходит между кинетической и потенциальной формами: когда одна возрастает, другая уменьшается. Их сумма остаётся неизменной, хотя скорость и координата непрерывно меняются. Это проявление закона сохранения механической энергии.
В реальной системе движущееся тело взаимодействует с опорой и окружающей средой. Сила трения или сопротивления направлена против скорости, поэтому работа этой силы отрицательна: механическая энергия системы уменьшается. Переданная энергия не пропадает, а распределяется между взаимодействующими телами и главным образом превращается во внутреннюю энергию. Так объясняется постепенный нагрев и системы, и среды.
При колебаниях без заметного затухания энергия пропорциональна квадрату амплитуды: например, для пружины E = kA²/2. Поэтому уменьшение максимального отклонения означает, что системе доступно меньше энергии для движения. Если амплитуда стала в два раза меньше, энергия при тех же условиях становится в четыре раза меньше. В случае закона A(t) = A₀e⁻ᵝᵗ энергия убывает как E(t) = E₀e⁻²ᵝᵗ.
При слабом затухании сопротивление понемногу уменьшает энергию за много циклов, но за отдельное колебание его влияние на движение невелико. Поэтому время одного цикла, то есть период, меняется мало, а амплитуда постепенно становится меньше. Коэффициент β задаёт скорость её экспоненциального уменьшения. График показывает, что кинетическая и потенциальная энергии продолжают переходить друг в друга, но их сумма снижается.
Как это устроено
| Характеристика | Незатухающие колебания | Затухающие колебания |
|---|---|---|
| Причина возникновения | Начальное отклонение или сообщение системе энергии; потери отсутствуют. | Начальное отклонение или сообщение энергии; действуют потери на сопротивление. |
| Изменение амплитуды | Остаётся постоянной. | Постепенно уменьшается. |
| Изменение полной механической энергии | Не изменяется. | Уменьшается из-за передачи энергии среде. |
| Превращение энергии | Кинетическая и потенциальная энергии переходят друг в друга. | Они переходят друг в друга, а часть механической энергии рассеивается. |
| Влияние сопротивления | Не учитывается, сопротивления нет. | Сопротивление отнимает механическую энергию. |
| Зависимость координаты от времени | Синусоидальная с постоянной амплитудой. | При слабом затухании близка к синусоиде с убывающей амплитудой. |
| Поведение системы через длительное время | Продолжает колебаться с прежней амплитудой. | Колебания постепенно прекращаются. |
Сравнивайте прежде всего наличие сопротивления и то, что происходит с амплитудой и полной механической энергией. В реальной системе даже небольшие потери со временем накапливаются. Поэтому незатухающие колебания — идеальная модель, а затухающие точнее описывают движение без внешней подпитки.
Груз массой 0,2 кг движется со скоростью 0,5 м/с при смещении 0,04 м; жёсткость пружины равна 50 Н/м. Найдём кинетическую, потенциальную и полную энергию. Кинетическая зависит от скорости, а потенциальная упругой деформации — от смещения. Складывать их нужно, чтобы получить полную механическую энергию в данный момент.
Ответ: Eк = 0,025 Дж, Eп = 0,04 Дж, E = 0,065 Дж. Значение показывает суммарный запас механической энергии в указанный момент. При идеальных колебаниях эта сумма сохранялась бы и в другие моменты.
Амплитуда изменяется по закону A(t) = A₀e⁻ᵝᵗ, где β = 0,05 с⁻¹. Требуется узнать, во сколько раз она уменьшится за 10 с. Поскольку в формуле начальная амплитуда неизвестна и не нужна, удобно сразу найти отношение A(t)/A₀. Подстановка произведения βt показывает долю, которая останется.
Ответ: амплитуда станет примерно 0,61 от начальной, то есть уменьшится приблизительно в 1,65 раза. Она не уменьшается на 0,5: число βt является показателем экспоненты. Чем больше время или коэффициент затухания, тем меньше остающаяся амплитуда.
Начальная амплитуда маятника равна 8 см, коэффициент затухания — 0,02 с⁻¹, период — 2 с, начальная энергия — 0,16 Дж. Требуется найти амплитуду и примерную энергию через 20 с. Период здесь не нужен для вычисления: закон затухания задан через время. Энергию найдём по тому, что при неизменных свойствах системы она пропорциональна квадрату амплитуды.
Ответ: амплитуда около 5,36 см, полная энергия около 0,072 Дж. Энергия составила примерно 45% начальной, а не 67%: долю амплитуды необходимо возвести в квадрат. Период 2 с подтверждает, что за 20 с прошло десять периодов, но для расчёта по экспоненциальному закону он не требуется.
Считать, что энергия исчезает бесследно. Так могут говорить, потому что амплитуда и механическая энергия становятся меньше. На самом деле энергия передаётся среде и главным образом превращается во внутреннюю. Проверка: проследите, какая сила совершает работу, и включите в рассмотрение окружающие тела.
Путать уменьшение амплитуды с уменьшением периода. Оба изменения связывают с затуханием, но при слабом сопротивлении амплитуда убывает заметно, а период почти сохраняется. Период характеризует длительность цикла, амплитуда — максимальное отклонение. Проверьте себя, задав вопрос, какая именно характеристика меняется в законе A(t).
Считать полную механическую энергию постоянной при наличии трения. Это верно для идеальной системы, где потерями пренебрегают, но не для механической энергии реальной колебательной системы. Её уменьшение связано с передачей энергии среде. Проверка: если в условии есть трение или сопротивление, учтите работу этих сил; постоянной может быть энергия системы вместе с окружением.
Уменьшать энергию во столько же раз, во сколько уменьшилась амплитуда. Ошибка возникает, если принять энергию за величину, прямо пропорциональную отклонению. Для пружинных колебаний E = kA²/2, поэтому зависимость квадратичная. Проверка: возведите отношение амплитуд в квадрат — например, уменьшение амплитуды вдвое означает уменьшение энергии вчетверо.
Чтобы разбирать превращение энергии, нужно знать кинетическую и потенциальную энергии, закон сохранения энергии и характеристики гармонических колебаний. Представление о затухании помогает понять, почему реальные колебания без подпитки прекращаются, и подготовиться к изучению вынужденных колебаний, резонанса и добротности. Те же идеи применяют к маятникам, пружинам, электрическим контурам и другим реальным системам. В каждом случае сопротивление уменьшает запас энергии колебательного движения.
Куда исчезает энергия при затухании колебаний?
Механическая энергия не исчезает бесследно: из-за трения и сопротивления она передаётся окружающим телам. Главным образом она превращается во внутреннюю энергию, поэтому тела и среда немного нагреваются.
Почему амплитуда уменьшается, а период почти не меняется?
Сопротивление постепенно отнимает у системы энергию, и поэтому отклонения от положения равновесия становятся меньше. При слабом затухании сила сопротивления мало влияет на время одного колебания, поэтому период почти сохраняется.
Как связаны энергия колебаний и амплитуда?
Для пружинного маятника полная энергия равна E = kA²/2, где k — жёсткость пружины, A — амплитуда. При неизменной системе энергия пропорциональна квадрату амплитуды: если амплитуда уменьшилась вдвое, энергия стала в четыре раза меньше.
Можно ли считать затухающие колебания гармоническими?
При слабом сопротивлении движение часто приближённо описывают синусоидой с уменьшающейся амплитудой: x(t) = A₀e⁻ᵝᵗ cos(ωt + φ). Это не незатухающая гармоника, поскольку амплитуда меняется со временем; при сильном сопротивлении такое приближение может быть неприменимо.
Чем отличаются затухающие колебания от вынужденных?
Затухающие колебания продолжаются за счёт первоначально сообщённой энергии, которая постепенно расходуется на преодоление сопротивления. Вынужденные колебания поддерживаются периодически действующей внешней силой, передающей системе энергию.
11. Превращение энергии колебаний. Затухающие колебания
