12. Взаимосвязь силы и ускорения. Второй закон Ньютона

Определения и обозначения

Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, действующих на тело; её обозначают F⃗рез. Она показывает совместное действие этих сил и связана с изменением движения тела. Если силы направлены по-разному, их нужно складывать с учётом направлений.

Инертная масса — скалярная физическая величина, характеризующая сопротивление тела изменению его скорости; обозначается m. Единица массы в СИ — килограмм (кг). Чем больше масса, тем труднее изменить скорость тела при той же силе.

Второй закон Ньютона связывает равнодействующую, массу и ускорение: ускорение тела равно отношению равнодействующей силы к массе. Закон позволяет предсказать, как будет меняться движение под действием сил. Его используют, когда известны масса и силы или требуется найти ускорение.

Ньютон (Н) — единица силы в СИ. Один ньютон — это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с². Поэтому 1 Н = 1 кг·м/с², и эту запись можно использовать для проверки единиц в расчётах.

Как это устроено

Чтобы выяснить, как сила влияет на движение, сравним действие разных сил на одно и то же тело. При большей равнодействующей изменение скорости за одинаковое время оказывается больше, то есть больше и ускорение. Масса при таком сравнении не меняется, поэтому ускорение прямо пропорционально силе: если силу увеличить в несколько раз, во столько же раз увеличится ускорение.

Теперь сравним тела разной массы, на которые действуют одинаковые силы. Более массивному телу труднее изменить скорость, поэтому за равные промежутки времени оно получает меньшее ускорение. При неизменной силе ускорение обратно пропорционально массе: например, увеличение массы вдвое уменьшает ускорение вдвое.

Эти две зависимости объединяются в одном законе: a⃗ = F⃗рез/m, или F⃗рез = m a⃗. Вторая запись подчёркивает, что равнодействующая равна произведению массы на ускорение. Масса тела в этом законе считается постоянной, поэтому направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.

В закон входит не одна выбранная сила, а векторная сумма всех сил, действующих на тело. Например, если две силы направлены в противоположные стороны, их действие частично компенсируется, и равнодействующая меньше каждой из сил. Когда силы полностью уравновешены, F⃗рез = 0 и ускорение равно нулю; скорость при этом остаётся постоянной.

В задачах часто удобнее применять закон по осям: выбрать положительные направления и записать проекции сил и ускорения. Для каждой оси получают уравнение Fрезₓ = maₓ или Fрезᵧ = maᵧ. Сила, направленная вдоль положительного направления оси, имеет положительную проекцию, а направленная против него — отрицательную, поэтому знаки нельзя выбирать произвольно.

Величины и соотношения второго закона Ньютона

Сначала определите, какие силы действуют на тело, и задайте направления осей. Затем найдите равнодействующую или её проекцию и примените соответствующую строку таблицы. Для проверки убедитесь, что единицы величин согласованы, а направление ускорения соответствует направлению силы.

Разбор задач

Задача 1. На тело массой 2 кг действует равнодействующая сила 6 Н. Найти модуль ускорения. Поскольку сила уже указана как равнодействующая, складывать другие силы не требуется. Ищем модуль ускорения по второму закону Ньютона.

1. Запишем формулу: a = Fрез/m. Она показывает, что при заданной массе ускорение определяется величиной равнодействующей.
2. Подставим данные: a = 6 Н / 2 кг = 3 Н/кг. Поскольку 1 Н/кг = 1 м/с², получаем a = 3 м/с².
3. Проверим размерность: сила, делённая на массу, даёт единицы ускорения. Ответ требуется только по модулю, поэтому направление указывать не нужно.

Ответ: 3 м/с².

Задача 2. На тело массой 3 кг действуют силы 10 Н вправо и 4 Н влево. Найти ускорение и его направление. Сначала определим совместное действие сил: они направлены противоположно, поэтому из большей силы вычтем меньшую. Направление равнодействующей будет совпадать с направлением большей силы.

1. Выберем направление вправо за положительное. Тогда проекции сил равны +10 Н и −4 Н, а равнодействующая Fрез = 10 − 4 = 6 Н.
2. Найдём ускорение по формуле a = Fрез/m: a = 6 Н / 3 кг = 2 м/с². Положительный знак означает, что ускорение направлено вправо.
3. Проверим результат: равнодействующая направлена вправо, значит, по второму закону ускорение тоже должно быть направлено вправо. Деление ньютонов на килограммы даёт м/с².

Ответ: 2 м/с² вправо.

Задача 3. Тело массой 5 кг движется по горизонтали; сила тяги равна 20 Н, сила сопротивления — 5 Н. Найти ускорение и скорость через 4 с, если начальная скорость равна 2 м/с. Направим ось вдоль движения. Сначала по второму закону найдём ускорение, затем используем формулу скорости при постоянном ускорении.

1. Сила тяги направлена по оси, а сопротивление — против неё. Поэтому Fрез = 20 − 5 = 15 Н, а уравнение проекций имеет вид 15 = 5a.
2. Отсюда a = 15/5 = 3 м/с². Ускорение положительное, значит, оно направлено вдоль движения.
3. Через 4 с скорость равна v = v₀ + at = 2 + 3·4 = 14 м/с. Положительное значение показывает, что тело продолжает двигаться в выбранном направлении.

Ответ: ускорение 3 м/с², скорость через 4 с — 14 м/с.

Типичные ошибки

Подстановка одной из действующих сил вместо равнодействующей приводит к неверному ускорению, потому что остальные силы тоже влияют на движение. Так ошибаются, когда замечают только силу тяги или только силу тяжести. Перед расчётом составьте список всех сил и найдите их векторную сумму; при нескольких направлениях удобно сначала выбрать оси.

Иногда считают, что ускорение всегда направлено по скорости. Но скорость показывает направление движения, а ускорение определяется равнодействующей сил, поэтому при торможении они направлены противоположно. Проверьте направление по схеме сил и второму закону: вектор ускорения должен совпадать с равнодействующей.

Запись a = Fрез·m или вывод о том, что ускорение растёт вместе с массой, меняют зависимость на противоположную. Такая ошибка возникает, если неверно преобразовать формулу Fрез = ma. Выразите ускорение делением: a = Fрез/m; при одинаковой силе большая масса должна давать меньшее ускорение.

Если не учитывать знаки проекций, силы в противоположных направлениях могут ошибочно сложиться вместо вычитания. Обычно это происходит, когда ось выбрана, но направление каждой силы относительно неё не отмечено. Нарисуйте ось, присвойте силам знаки и проверьте, что положительная проекция направлена вдоль её положительного направления.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны понятия силы, массы, скорости и ускорения, а также умение складывать векторы. Навык нахождения проекций помогает переводить векторное уравнение в расчётные уравнения по осям. Поэтому полезно сначала повторить, как выбирать оси и определять знаки проекций.

Второй закон используют в задачах о движении под действием нескольких сил. В таких задачах учитывают силу тяжести, реакцию опоры, тягу и трение, после чего находят равнодействующую. Если ускорение известно, закон позволяет, наоборот, определить неизвестную силу.

Этот закон служит основой для изучения связанных тел и движения по окружности. Он также помогает описывать изменения движения при рассмотрении законов сохранения в механике. Понимание связи силы и ускорения нужно, чтобы переходить от описания движения к причинам этого движения.

Что запомнить

• Ускорение тела определяется равнодействующей всех действующих на него сил.
• При неизменной массе ускорение прямо пропорционально равнодействующей силе.
• При неизменной силе ускорение обратно пропорционально массе тела.
• Вектор ускорения направлен так же, как вектор равнодействующей силы.
• Второй закон Ньютона записывают как F⃗рез = m a⃗.
• Единица силы в СИ — ньютон: 1 Н = 1 кг·м/с².