"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Идеальный газ — упрощённая модель, которая помогает связать наблюдаемое давление с движением отдельных молекул. Частицы газа хаотически движутся и сталкиваются со стенками сосуда, передавая им импульс. Поэтому давление зависит от концентрации молекул и их средней кинетической энергии. В теме разбираются формулы для этих связей и средняя квадратичная скорость — величина, которая учитывает скорости всех молекул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой собственным объёмом молекул пренебрегают, а их взаимодействие считают существенным только во время столкновений. В реальном газе частицы имеют размер и притягиваются или отталкиваются, но во многих условиях эти эффекты малы. Модель позволяет объяснять свойства газа через движение частиц, не учитывая сложные подробности их взаимодействия.
Давление газа — отношение перпендикулярной силы, с которой газ действует на поверхность, к площади этой поверхности: p = F⊥/S. Давление показывает, насколько сильно газ воздействует на каждый участок стенки. Эта величина связывает наблюдаемое действие газа с ударами его молекул.
Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, V — объём газа. Единица концентрации в СИ — м⁻³. Она нужна, чтобы описать, сколько частиц приходится на данный объём, независимо от того, каков размер сосуда.
Средняя квадратичная скорость молекул — квадратный корень из среднего квадрата скоростей: vкв = √⟨v²⟩. Здесь усредняют квадраты скоростей всех молекул, а затем извлекают корень. Эта величина учитывает вклад быстрых молекул и используется при расчёте давления газа.
В модели идеального газа расстояния между молекулами намного больше их размеров, поэтому собственным объёмом частиц можно пренебречь. Между столкновениями молекулы движутся почти свободно: силы их взаимодействия малы по сравнению с действием во время столкновения. Само столкновение длится очень короткое время, но за него скорость молекулы может заметно измениться. Такое приближение упрощает описание газа и при этом хорошо работает во многих обычных условиях.
Молекулы газа непрерывно и беспорядочно движутся во всех направлениях. Достигнув стенки сосуда, частица сталкивается с ней и отскакивает, поэтому стенка получает множество отдельных толчков. Каждый толчок мал, но за короткое время их происходит огромное количество. Совместное действие ударов создаёт силу, а отношение её перпендикулярной составляющей к площади стенки представляет собой давление газа.
При столкновении меняется импульс молекулы — произведение её массы на скорость. По закону сохранения импульса молекула передаёт стенке импульс, равный по модулю изменению своего импульса и противоположный по направлению. Если за один и тот же промежуток времени импульс молекул меняется сильнее, стенка получает больший импульс. Изменение импульса за единицу времени связано с силой, поэтому частые и сильные столкновения означают большее давление.
Расчёт давления учитывает, сколько молекул находится в единице объёма и насколько велики квадраты их скоростей. Для газа с одинаковой массой молекул результат записывают так: p = (1/3)mn⟨v²⟩, где m — масса одной молекулы, n — концентрация. Хаотичность движения означает, что ни одно направление не выделено; в среднем на выбранное направление приходится треть среднего квадрата скорости. Поэтому в формуле есть множитель 1/3, а рост концентрации или среднего квадрата скорости увеличивает давление.
Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна Eк = mv²/2, а ⟨Eк⟩ — её среднее значение для всех молекул. Подставив это выражение в формулу давления, получаем p = (2/3)n⟨Eк⟩. Значит, давление зависит от средней энергии хаотического движения частиц, а не от того, насколько быстро движется газ как целое. Температура характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул: при повышении температуры она возрастает, и при неизменной концентрации увеличивается давление.
| Величина | Обозначение и формула | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p = F⊥/S | Па | Сила воздействия газа на единицу площади поверхности |
| Концентрация молекул | n = N/V | м⁻³ | Число молекул в единице объёма |
| Средняя квадратичная скорость | vкв = √⟨v²⟩ | м/с | Характерная скорость, учитывающая средний квадрат скоростей частиц |
| Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул | ⟨Eк⟩ | Дж | Средняя энергия хаотического поступательного движения одной молекулы |
Сначала определите, какие величины известны и какую нужно найти, затем выберите подходящую формулу. Перед подстановкой проверьте, что значения выражены в единицах СИ. Таблица также помогает не смешивать концентрацию молекул со всем их числом в сосуде.
Задача 1. В сосуде объёмом 2,0 л находится 5,0·10²² молекул газа. Найдём концентрацию молекул. Поскольку n = N/V, перед делением необходимо перевести объём в кубические метры.
Ответ: n = 2,5·10²⁵ м⁻³. Проверка единицы проста: число молекул делится на объём, поэтому получается величина на кубический метр.
Задача 2. Концентрация молекул газа равна 2,0·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы — 4,8·10⁻²⁶ кг, средняя квадратичная скорость — 500 м/с. Требуется найти давление. Используем p = (1/3)mnvкв², так как известны все входящие в неё величины.
Ответ: p ≈ 8,0·10⁴ Па. Здесь концентрация задаёт число частиц в объёме, а скорость влияет на давление через квадрат.
Задача 3. Давление газа в закрытом сосуде при неизменной концентрации увеличилось в 1,5 раза. Нужно определить, во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость. Масса молекул также остаётся неизменной, поэтому из формулы давления следует пропорциональность p ∝ vкв².
Ответ: средняя квадратичная скорость увеличилась примерно в 1,22 раза. Она возрастает не в 1,5 раза, поскольку давление зависит от квадрата скорости.
Ошибочно считать молекулы газа неподвижными и объяснять давление только их наличием в сосуде. Такой вывод возникает, если забыть о хаотическом движении частиц. Проверьте себя: в объяснении давления должны присутствовать столкновения молекул со стенками и передача ими импульса.
Среднюю квадратичную скорость иногда путают со средним значением модулей скоростей. Это происходит потому, что обе величины называют средними, хотя вычисляются они по-разному. Для проверки запишите определение: vкв = √⟨v²⟩; именно квадрат средней квадратичной скорости входит в формулу давления.
Подстановка общего числа молекул N вместо концентрации n — ещё одна распространённая ошибка. В формуле p = (1/3)mn⟨v²⟩ учитывается число частиц в единице объёма, а не только их количество. Сначала найдите n = N/V и убедитесь, что в ответе на задачу о концентрации получаются м⁻³.
Если забыть квадрат скорости или множитель 1/3, вычисление даст неверный результат. Множитель связан с распределением хаотического движения по трём направлениям, а квадрат скорости следует из зависимости импульса от скорости. Проверка размерности выявит забытый квадрат: выражение mnvкв² должно иметь единицу давления — Па.
Для изучения темы нужны понятия силы, давления, импульса тела и кинетической энергии, а также умение переводить величины в СИ. Молекулярно-кинетическая теория даёт исходное представление о хаотическом движении частиц и их столкновениях. Формулу p = (2/3)n⟨Eк⟩ используют дальше при изучении основного уравнения молекулярно-кинетической теории и уравнения состояния идеального газа. Так микроскопические свойства молекул связываются с измеряемыми характеристиками газа.
Почему газ оказывает давление на стенки сосуда?
Молекулы газа хаотически движутся и сталкиваются со стенками. При каждом столкновении они передают стенке импульс, а множество таких ударов создаёт действующую на неё силу. Отношение этой силы к площади стенки и есть давление.
Что именно предполагает модель идеального газа?
Размером молекул по сравнению с расстояниями между ними пренебрегают. Считают также, что молекулы не взаимодействуют друг с другом между столкновениями, а столкновения происходят очень быстро.
Чем средняя квадратичная скорость отличается от средней скорости?
Средняя квадратичная скорость равна квадратному корню из среднего квадрата скоростей: vкв = √⟨v²⟩. Простая средняя скорость находится усреднением модулей скоростей, поэтому эти величины обычно не совпадают. В формулу давления входит именно средняя квадратичная скорость.
Почему в формуле давления появляется множитель 1/3?
Движение молекул хаотично и не имеет преимущественного направления. В среднем на каждое из трёх взаимно перпендикулярных направлений приходится треть среднего квадрата скорости. Поэтому при выводе формулы для давления возникает множитель 1/3.
Как изменится давление, если при неизменной концентрации увеличить среднюю квадратичную скорость молекул?
При неизменных концентрации и массе молекулы давление пропорционально квадрату средней квадратичной скорости: p ∝ vкв². Поэтому, если скорость увеличить в k раз, давление увеличится в k² раз.
34. Идеальный газ. Давление газа. Средняя скорость движения молекул газа
