"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Давление газа объясняется ударами молекул о стенки сосуда. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает это давление с массой молекул, их концентрацией и средней величиной квадрата скорости: p = ⅓m₀n⟨v²⟩. Оно помогает перейти от движения отдельных частиц к измеримому свойству газа. Уравнение можно записать также через среднюю кинетическую энергию молекул и использовать для решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории записывается так: p = ⅓m₀n⟨v²⟩. Оно связывает давление газа p с массой одной молекулы m₀, концентрацией молекул n и средним квадратом их скоростей ⟨v²⟩. Формула нужна, чтобы объяснить наблюдаемое давление через движение частиц.
Концентрация молекул n — это число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число частиц, а V — объём газа. Её единица измерения — м⁻³. Зная концентрацию, можно сравнивать, насколько плотно молекулы заполняют разные объёмы.
Средняя квадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей: vкв = √⟨v²⟩. В уравнении МКТ используется именно ⟨v²⟩, а не квадрат средней скорости, потому что давление зависит от изменения импульса при ударах, а оно связано с квадратом скорости. Эта величина учитывает скорости всех молекул газа.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы обозначается ⟨Eₖ⟩ и равна ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Она характеризует энергию движения молекул как целых частиц. Эта запись позволяет выражать давление не через скорость, а через энергию.
Молекулы газа непрерывно и хаотично движутся, поэтому сталкиваются со стенками сосуда. При ударе скорость молекулы меняется, а вместе с ней меняется и импульс; по закону взаимодействия импульс получает стенка. Множество таких ударов за время приводит к силе, действующей на стенку, а сила, приходящаяся на единицу площади, и есть давление. Поэтому давление зависит от того, как часто происходят удары и насколько сильно каждая молекула толкает стенку.
Стенка ориентирована определённым образом, поэтому для её давления важна составляющая скорости, направленная перпендикулярно стенке. Удобно разложить скорость каждой молекулы на три проекции по взаимно перпендикулярным осям. Поскольку движение хаотично и газ не выделяет какое-либо направление, средние квадраты этих проекций одинаковы: ⟨vx²⟩ = ⟨vy²⟩ = ⟨vz²⟩. Сумма трёх проекций квадратов даёт ⟨v²⟩, значит, на одну из них приходится треть общей величины.
При подсчёте передачи импульса стенке именно эта треть среднего квадрата скорости определяет вклад движения по нормали к ней. Поэтому из массы молекулы, числа молекул в единице объёма и их движения получается p = ⅓m₀n⟨v²⟩. Множитель 1/3 не означает, что движется только треть молекул: он учитывает равное распределение движения по трём направлениям. Если молекулы движутся быстрее, их удары в среднем сильнее, и давление становится больше.
Среднюю кинетическую энергию поступательного движения определяют формулой ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Отсюда m₀⟨v²⟩ = 2⟨Eₖ⟩; подстановка в основное уравнение даёт p = ⅔n⟨Eₖ⟩. Эта форма особенно удобна, когда в задаче известны концентрация и энергия молекул, а скорости не даны. Она также показывает, что давление пропорционально средней энергии частиц при неизменной концентрации.
Из уравнения следуют зависимости давления от параметров газа. Если концентрация и масса молекул неизменны, увеличение ⟨v²⟩ увеличивает давление; средняя квадратичная скорость при этом тоже возрастает. Если средний квадрат скорости остаётся тем же, рост концентрации означает больше молекул в единице объёма и больше ударов о стенку за одинаковое время. В обоих случаях речь идёт о прямой пропорциональности при фиксированных остальных величинах.
| Форма уравнения | Запись | Что показывает |
|---|---|---|
| Через массу молекулы и средний квадрат скорости | p = ⅓m₀n⟨v²⟩ | Связь давления с массой и движением молекул |
| Через концентрацию и среднюю кинетическую энергию | p = ⅔n⟨Eₖ⟩ | Связь давления с числом частиц в единице объёма и их энергией |
| Через плотность газа и средний квадрат скорости | p = ⅓ρ⟨v²⟩, где ρ = m₀n | Связь давления с плотностью и движением частиц |
| Обозначения и единицы величин | p — Па; m₀ — кг; n — м⁻³; v — м/с; ⟨Eₖ⟩ — Дж; ρ — кг/м³ | Единицы для подстановки величин в формулы СИ |
Выбирай форму уравнения по тем величинам, которые известны в условии: например, для энергии удобна запись p = ⅔n⟨Eₖ⟩. Если даны масса одной молекулы и скорость, используй первую форму, предварительно найдя концентрацию при необходимости. Плотность ρ заменяет произведение m₀n, но обозначает массу газа в единице объёма, а не массу отдельной молекулы.
В сосуде объёмом 2 м³ находится 6·10²⁵ молекул газа. Требуется найти концентрацию. Здесь известны число частиц и объём, поэтому применяем определение n = N/V. Объём уже дан в кубических метрах, значит, перевод единиц не нужен.
Записываем данные: N = 6·10²⁵, V = 2 м³.
Подставляем в формулу: n = N/V = (6·10²⁵)/2.
Выполняем деление: n = 3·10²⁵ м⁻³.
Ответ: n = 3·10²⁵ м⁻³.
Для газа известны масса одной молекулы m₀, концентрация n и средняя квадратичная скорость vкв. Нужно определить давление. Формула содержит средний квадрат скорости, поэтому сначала возводим данную среднюю квадратичную скорость в квадрат: ⟨v²⟩ = vкв². Подставлять численные значения можно только после перевода всех величин в СИ.
Записываем уравнение: p = ⅓m₀n⟨v²⟩.
Заменяем ⟨v²⟩ квадратом средней квадратичной скорости: p = ⅓m₀n vкв².
Подставляем значения m₀ в килограммах, n в м⁻³ и vкв в м/с, затем вычисляем произведение.
Проверяем единицы: кг·м⁻³·м²/с² = кг/(м·с²) = Па.
Ответ: p = ⅓m₀n vкв²; численное значение получают подстановкой данных задачи.
Известны давление газа p и концентрация молекул n. Требуется найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Удобно взять форму уравнения p = ⅔n⟨Eₖ⟩, так как в ней непосредственно присутствуют искомая энергия и данные задачи. При преобразовании нужно разделить обе части равенства на коэффициент при ⟨Eₖ⟩.
Записываем исходную формулу: p = ⅔n⟨Eₖ⟩.
Умножаем обе части на 3 и делим на 2n: ⟨Eₖ⟩ = 3p/(2n).
Подставляем p в паскалях и n в м⁻³. Проверяем единицу: Па/(м⁻³) = Дж.
Ответ: ⟨Eₖ⟩ = 3p/(2n) Дж.
Подмена ⟨v²⟩ величиной ⟨v⟩². Это разные способы усреднения: сначала усреднить квадраты скоростей — не то же самое, что возвести в квадрат среднюю скорость. Ошибку допускают, когда не замечают, что скорость в формуле уже стоит под знаком среднего и в квадрате. Проверь запись по исходному уравнению и, если дана средняя квадратичная скорость, используй ⟨v²⟩ = vкв².
Потеря множителя 1/3 или 2/3. Без этого коэффициента формула не учитывает распределение хаотичного движения по трём направлениям. При преобразовании через энергию коэффициент 1/3 вместе с множителем 2 из формулы энергии даёт 2/3. Сверь итоговую запись с таблицей и проверь, какая форма уравнения подходит к данным.
Использование массы всего газа вместо m₀. В уравнении m₀ — масса одной молекулы, а не масса всех частиц в сосуде. Путаница возникает из-за того, что обе величины обозначают массу, но относятся к разным объектам. Проверь единицы и условие: если дана общая масса, её нельзя подставить вместо m₀ без дополнительных преобразований.
Подстановка числа молекул N вместо концентрации n. Число частиц само по себе не показывает, как плотно они распределены, потому что не учитывает объём. Поэтому сначала вычисли n = N/V, причём объём вырази в м³. Самопроверка проста: в уравнении должна стоять величина с единицей м⁻³, а не безразмерное число молекул.
Для понимания давления важно знать, что оно равно силе, приходящейся на единицу площади, а также понимать импульс и его изменение при взаимодействии. Вывод уравнения опирается на модель хаотического движения молекул, их массу и среднюю кинетическую энергию. Позже это уравнение поможет связать температуру газа со средней кинетической энергией молекул. Оно также применяется при решении задач молекулярной физики, где требуется перейти от микроскопического движения частиц к давлению газа.
Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
Основное уравнение МКТ: p = ⅓m₀n⟨v²⟩.
Концентрация молекул равна n = N/V и измеряется в м⁻³.
Средняя кинетическая энергия молекулы связана со скоростью формулой ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2.
Через среднюю кинетическую энергию уравнение записывается как p = ⅔n⟨Eₖ⟩.
Давление увеличивается при росте концентрации молекул или средней кинетической энергии их движения.
Почему давление газа зависит от скорости молекул?
При ударе о стенку молекула изменяет свой импульс и передаёт стенке его часть. Чем больше скорость, тем значительнее изменение импульса при ударе и тем сильнее воздействие молекул на стенку.
Что означает множитель 1/3 в основном уравнении МКТ?
Множитель 1/3 появляется потому, что молекулы хаотично движутся по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Вклад в давление на выбранную стенку даёт только движение вдоль перпендикуляра к ней, а средние квадраты трёх проекций скорости одинаковы.
Чем средняя квадратичная скорость отличается от средней скорости?
Средняя скорость получают усреднением самих скоростей, а среднюю квадратичную — извлечением корня из среднего значения квадратов скоростей. В уравнение МКТ входит ⟨v²⟩, а не квадрат средней скорости ⟨v⟩².
Как связаны средняя кинетическая энергия молекул и давление газа?
Средняя кинетическая энергия поступательного движения равна ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Поэтому основное уравнение можно записать как p = ⅔n⟨Eₖ⟩: давление растёт, если увеличивается концентрация или средняя энергия молекул.
Какие единицы нужно использовать для концентрации молекул?
Концентрацию выражают в м⁻³ — это число молекул в одном кубическом метре. Чтобы получить её, число молекул N делят на объём V, выраженный в кубических метрах.
35. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
