36. Экспериментальное определение скорости движения молекул. Опыт Штерна

Определения и обозначения

Опыт Штерна — экспериментальный способ оценить скорости молекул по смещению следа, оставленного пучком на вращающемся цилиндре. В установке частицы летят от источника к экрану, пока цилиндр поворачивается. Измерения позволяют связать движение частиц со временем их полёта. Такой опыт показывает, как свойства невидимых атомов можно определять по наблюдаемому следу.

Молекулярный пучок — поток частиц, движущихся преимущественно в одном направлении. Его получают с помощью щели, которая пропускает лишь часть атомов от источника. Пучок нужен, чтобы частицы попадали на экран в ограниченную область и их след можно было измерить. В разреженном пространстве он меньше отклоняется при столкновениях.

Средняя квадратичная скорость — величина, характеризующая скорости молекул газа через их среднюю кинетическую энергию. Она относится к совокупности частиц, а не описывает скорость одной выбранной молекулы. Отдельные молекулы движутся с разными скоростями, поэтому скорость конкретного атома может отличаться от средней квадратичной. Эта величина нужна, чтобы говорить о движении газа в целом.

Угловая скорость цилиндра показывает, на какой угол цилиндр поворачивается за единицу времени; её обозначают ω. Если за время t цилиндр поворачивается на угол φ, то φ = ωt. Угловая скорость относится к экрану, а не к молекулам. Она нужна, чтобы по повороту цилиндра определить время полёта частиц.

Как это устроено

Опыт проводят в разреженном пространстве, потому что столкновения могут менять направление и скорость частиц. Если атом пучка столкнётся с молекулой остаточного газа, он уже не обязательно долетит до экрана по первоначальной траектории. Такие отклонения затруднили бы связь между расстоянием, временем полёта и следом. При низкой плотности газа столкновений мало, поэтому пучок движется почти без помех.

В установке нагревают источник, от которого вылетают атомы, например атомы серебра. Узкая щель пропускает частицы, летящие в близких направлениях, и формирует молекулярный пучок. На пути пучка расположена цилиндрическая поверхность, служащая экраном: попавшие на неё атомы оседают и оставляют след. Расстояние L от источника до экрана задаёт путь, который частицы проходят за время полёта.

Когда цилиндр неподвижен, частицы оседают в положении, соответствующем направлению пучка. Во время опыта цилиндр вращается, но частицы не движутся вместе с ним: они летят от источника к экрану. За время полёта поверхность успевает повернуться, поэтому к моменту попадания напротив пучка оказывается уже другое её место. Так возникает смещение следа относительно исходного положения.

Чтобы найти скорость, сначала по геометрии установки определяют угол поворота цилиндра. Если смещение следа вдоль поверхности равно s, а радиус цилиндра равен R, то угол поворота в радианах φ = s/R. При угловой скорости ω время полёта t = φ/ω = s/(Rω), а скорость частицы v = L/t = LRω/s. Значит, в расчёт входят расстояние L, радиус R, угловая скорость ω и смещение s; вместо R и s можно использовать непосредственно измеренный угол φ.

След получается размытым, потому что атомы одного пучка не имеют одинаковых скоростей. Более быстрые частицы долетают раньше, а медленные проводят в пути больше времени. При одной и той же угловой скорости цилиндр за это время поворачивается на разные углы, поэтому атомы оседают в разных местах. Ширина следа показывает разброс скоростей частиц, а не одну скорость для всех атомов.

Величины и элементы опыта Штерна

Сначала проверьте, какие величины измерены непосредственно, а какие нужно вычислить. Если дано смещение s, для нахождения угла поворота понадобится радиус цилиндра R. Затем по углу и ω находят t, а по расстоянию L и времени — скорость.

Разбор задач

В задачах ниже считаем, что частица движется от источника к экрану равномерно, а цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Обозначим расстояние до экрана через L, радиус цилиндра через R, угловую скорость через ω, смещение следа через s. Смещение измеряем вдоль поверхности, поэтому соответствующий угол в радианах равен φ = s/R. Эти обозначения позволяют последовательно перейти от наблюдаемого следа к скорости.

1. Какие измерения нужны, чтобы найти время полёта?

Цилиндр вращается с известной угловой скоростью. Нужно понять, что ещё измерить, если установка описана и на экране можно отметить исходное положение следа. Само значение ω не задаёт время: оно сообщает только, как быстро меняется угол. Время можно восстановить, если знать угол, на который цилиндр успел повернуться.

1. Измерьте радиус цилиндра R и смещение следа s вдоль его поверхности. Эти величины дают угол поворота: φ = s/R.
2. Используйте связь угловой скорости с углом и временем: φ = ωt. Отсюда t = φ/ω = s/(Rω).
3. Если угол поворота φ уже измерен напрямую, достаточно знать его и угловую скорость ω; измерять s и R отдельно не требуется.

Ответ: нужны угловая скорость и угол поворота за время полёта; чтобы получить угол по смещению, дополнительно нужны смещение следа и радиус цилиндра.

2. Как найти скорость частиц по данным опыта?

Известны расстояние от источника до экрана L, угловая скорость цилиндра ω и смещение следа s. Для перевода смещения в угол также учитываем радиус цилиндра R, указанный в описании установки. Сначала найдём, сколько времени частицы находились в пути, и только после этого вычислим скорость. Такой порядок не позволяет спутать движение цилиндра с движением атомов.

1. Обозначим φ = s/R, где s измерено вдоль поверхности, а R — радиус цилиндра.
2. Из φ = ωt получаем время полёта: t = s/(Rω).
3. Подставляем время в формулу равномерного движения: v = L/t. Следовательно, v = LRω/s.

Ответ: скорость частиц v = LRω/s. Все длины должны быть выражены в одинаковых единицах, а угол φ при расчёте через радиус — в радианах; если напрямую измерен угол, используйте v = Lω/φ.

3. В каком опыте частицы двигались быстрее?

Два опыта проведены при одинаковых расстоянии до экрана, радиусе цилиндра и угловой скорости. Смещения следов различаются. Нужно сравнить скорости, не зная численных значений: достаточно установить, как связаны смещение и время полёта при неизменных условиях. Это покажет, в каком опыте частицы проходили путь быстрее.

1. При одинаковом R большее смещение s означает больший угол поворота φ = s/R.
2. Поскольку ω одинакова, из t = φ/ω следует: большему углу соответствует большее время полёта.
3. Расстояние L в обоих опытах одно и то же, а v = L/t. Значит, большее время означает меньшую скорость.

Ответ: быстрее двигались частицы в опыте с меньшим смещением следа. При равных геометрии и угловой скорости меньший сдвиг соответствует меньшему времени полёта.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что след смещается потому, что частицы движутся по окружности вместе с цилиндром. Такое объяснение смешивает два движения: атомы летят к экрану, а цилиндр вращается отдельно. Смещение появляется из-за поворота поверхности за время полёта. Для проверки представьте, что цилиндр остановили: частицы всё равно летят к экрану, но поворота и связанного с ним сдвига не будет.

Ошибка: путать угловую скорость цилиндра со скоростью молекул. Обе величины описывают движение, но ω измеряют в радианах в секунду, а скорость частицы — в метрах в секунду. Их связывают через время и геометрию установки, а не приравнивают. Проверьте обозначения и единицы перед подстановкой в формулы.

Ошибка: подставлять смещение s как угол φ или, наоборот, использовать угол вместо длины. Смещение измеряется в единицах длины, а угол — в радианах; они связаны выражением s = Rφ. Путаница возникает, потому что обе величины описывают один поворот. Самопроверка: в формуле φ = s/R результат должен быть безразмерным.

Ошибка: считать, что опыт определяет скорость каждой молекулы газа. В опыте исследуют частицы пучка, а размытый след показывает, что их скорости различаются. Результат нельзя без оговорок приписать всем молекулам газа или одной выбранной частице. Проверяйте, относится ли вывод к отдельной частице, пучку или совокупности молекул.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны формулы равномерного движения v = L/t и вращения φ = ωt. Опыт также опирается на молекулярно-кинетическую теорию: частицы непрерывно и хаотически движутся, а столкновения могут менять их движение. Поэтому важно учитывать разреженность среды. Позже эти представления пригодятся при изучении распределения молекул по скоростям и связи средней кинетической энергии с температурой.

Что запомнить

• В опыте Штерна скорость частиц определяют экспериментально по смещению следа.
• Молекулярный пучок должен пройти от источника до экрана с минимальным числом столкновений.
• Цилиндр поворачивается, пока частицы летят к экрану.
• При неизменной угловой скорости большее время полёта означает больший угол поворота цилиндра.
• Скорость находят, связывая геометрию установки, смещение следа и время полёта.
• Размытый след отражает разброс скоростей частиц.