§ 42. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Давление газа — результат ударов молекул о стенки сосуда. При столкновении молекула меняет импульс, то есть произведение массы на скорость, а стенка получает импульс противоположного направления. Именно передача импульса при множестве ударов объясняет, почему газ давит на стенки.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, V — объём газа. В СИ концентрацию измеряют в м⁻³. Она нужна, чтобы учитывать не просто общее число частиц, а то, насколько плотно они находятся в газе.

Средняя квадратичная скорость — это величина, квадрат которой равен среднему значению квадратов скоростей молекул: vкв = √⟨v²⟩. Угловые скобки обозначают усреднение по всем молекулам. Такая скорость характеризует движение частиц в среднем и позволяет связать их скорости с давлением.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление с массой одной молекулы, концентрацией и средним квадратом скорости: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Здесь m₀ — масса одной молекулы. Формула позволяет объяснить наблюдаемое давление через движение и свойства частиц газа.

Как это устроено

Для вывода уравнения рассматривают идеальный газ: его молекулы движутся хаотически, а их собственным объёмом и взаимодействием на расстоянии пренебрегают. Молекулы сталкиваются со стенками сосуда; столкновения считают упругими, то есть суммарная кинетическая энергия до и после удара сохраняется. Такая модель помогает выделить главную причину давления — изменение импульса частиц при ударах.

Когда молекула ударяется о стенку, её импульс меняется, поэтому стенка получает импульс. Чем чаще происходят столкновения и чем больше изменение импульса при каждом из них, тем сильнее действие на стенку за единицу времени. Давление — это сила, приходящаяся на единицу площади, поэтому частота и сила ударов вместе определяют его значение.

Для одной молекулы при подсчёте ударов о выбранную стенку важна только составляющая скорости, перпендикулярная стенке. Параллельные составляющие не заставляют молекулу отскакивать от этой стенки и не меняются при идеальном упругом отражении. Поэтому вклад частицы в давление связан с квадратом её перпендикулярной составляющей скорости.

В газе нет выделенного направления: молекулы движутся хаотически, и средние квадраты скоростей по трём взаимно перпендикулярным направлениям одинаковы. Полный квадрат скорости равен сумме квадратов этих трёх составляющих, поэтому каждая в среднем составляет треть ⟨v²⟩. Отсюда в уравнении появляется множитель ⅓: давление на выбранную стенку определяется только одной из трёх равноправных составляющих.

Суммирование вкладов всех молекул даёт основное уравнение: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. В нём концентрация учитывает количество частиц в объёме, а m₀⟨v²⟩ — их среднее движение с учётом массы. Если кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна Eк = m₀⟨v²⟩/2, ту же зависимость можно записать как p = ⅔ n⟨Eк⟩. Следовательно, давление связано с движением молекул, а не только с тем, сколько газа помещено в сосуд.

Величины и формы основного уравнения МКТ

Сначала определите, какие величины известны и в какой форме дано уравнение: через скорость или через энергию. Затем проверьте единицы: результат для давления должен быть в паскалях. Если требуется найти неизвестную величину, выразите её из подходящей записи уравнения.

Разбор задач

Найти давление по параметрам молекул

Концентрация молекул газа равна n, масса одной молекулы — m₀, средний квадрат скорости — ⟨v²⟩. Требуется найти давление газа. Поскольку известны все величины, входящие в основное уравнение, достаточно подставить их в формулу. При вычислении важно использовать именно средний квадрат скорости.

1. Записываем основное уравнение МКТ: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩.
2. Подставляем значения n, m₀ и ⟨v²⟩ в единицах СИ и перемножаем их, включая коэффициент ⅓.
3. Проверяем единицы: м⁻³ · кг · м²/с² = кг/(м·с²), а это паскаль.

Ответ: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Чтобы получить численное значение, нужно подставить данные задачи; без них давление можно указать только в виде формулы.

Выразить среднюю квадратичную скорость

Известны давление и концентрация идеального газа; масса молекулы m₀ также должна быть задана, чтобы получить значение скорости. Нужно выразить среднюю квадратичную скорость и подставить числовые данные. Начинаем с уравнения, где неизвестная входит как ⟨v²⟩, а не как ⟨v⟩. Для численного результата единицы всех величин переводим в СИ.

1. Записываем p = ⅓ n m₀⟨v²⟩ и умножаем обе части на 3.
2. Делим на n m₀: ⟨v²⟩ = 3p/(n m₀).
3. Извлекаем квадратный корень: vкв = √(3p/(n m₀)), затем подставляем заданные значения.
4. Проверяем размерность: выражение под корнем имеет единицу м²/с², значит скорость выражается в м/с.

Ответ: vкв = √(3p/(n m₀)); численное значение определяется подстановкой данных. Нельзя заменять ⟨v²⟩ на ⟨v⟩²: это разные величины для набора скоростей.

Сравнить давления в двух состояниях

В двух состояниях концентрация газа и масса одной молекулы одинаковы, а средняя квадратичная скорость во втором состоянии вдвое больше. Требуется сравнить давления. При одинаковых n и m₀ в уравнении меняется только средний квадрат скорости. Поэтому сравнивать нужно квадраты скоростей, а не сами скорости.

1. Записываем отношения: p₁ = ⅓ n m₀vкв₁² и p₂ = ⅓ n m₀vкв₂².
2. Делим второе выражение на первое: p₂/p₁ = vкв₂²/vкв₁², так как одинаковые n, m₀ и множитель ⅓ сокращаются.
3. Подставляем vкв₂ = 2vкв₁: p₂/p₁ = (2vкв₁)²/vкв₁² = 4.

Ответ: во втором состоянии давление в четыре раза больше, чем в первом. Причина — зависимость давления от квадрата средней квадратичной скорости при неизменных концентрации и массе молекул.

Типичные ошибки

Подстановка средней скорости вместо средней квадратичной приводит к неверному давлению. Эту ошибку допускают, принимая среднее значение скорости за характеристику, которая стоит в уравнении без изменений. Проверка простая: в формуле должна быть величина ⟨v²⟩, а средняя квадратичная скорость определяется как √⟨v²⟩. В общем случае ⟨v²⟩ не равно ⟨v⟩².

Если забыть множитель ⅓, давление получится завышенным втрое. Его пропускают, когда не учитывают, что движение распределено по трём равноправным направлениям, а на выбранную стенку влияет только одна составляющая скорости. Перед вычислениями проверьте, что формула записана полностью: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. При переходе к энергии коэффициент тоже меняется, и запись становится p = ⅔ n⟨Eк⟩.

Концентрацию n иногда путают с общим числом молекул N. Тогда в формулу подставляют число частиц без учёта объёма, хотя требуется n = N/V. Такая ошибка возникает, если при чтении условия не различить число молекул и число частиц в единице объёма. Проверьте единицу: для концентрации это м⁻³, а для N единица измерения отсутствует.

Неверно считать, что давление создают только быстрые молекулы или частицы, летящие в одном направлении. Так рассуждают, забывая о хаотическом движении и о том, что в давление вносят вклад удары всех молекул. Проверка: в уравнении участвуют концентрация и средний квадрат скорости всего газа, а не отдельной группы частиц. Направления движения влияют на вклад в одну стенку через соответствующие составляющие скорости.

Связь с другими темами

Для объяснения давления нужен импульс тела и правило его изменения при упругом столкновении: без этого нельзя понять, как удар молекулы действует на стенку. Также необходима модель идеального газа, понятия числа молекул и объёма, чтобы определить концентрацию n = N/V. Формула кинетической энергии поступательного движения позволяет перейти от записи через скорости к записи p = ⅔ n⟨Eк⟩.

Основное уравнение МКТ используют при изучении связи макроскопических параметров газа с температурой. Оно помогает решать задачи, в которых по давлению находят концентрацию или характеристики движения молекул, и наоборот. При этом нужно сопоставлять известные величины с подходящей формой уравнения.

Что запомнить

• Давление газа обусловлено ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна числу молекул в единице объёма.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩.
• То же уравнение можно записать как p = ⅔ n⟨Eк⟩.
• Средний квадрат скорости нельзя заменять квадратом средней скорости.
• При неизменной концентрации давление пропорционально среднему квадрату скорости молекул.