"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Уравнение Клапейрона—Менделеева описывает состояние заданной порции идеального газа и связывает его давление, объём, температуру и количество вещества. Оно помогает находить неизвестный параметр, если остальные известны, а также служит основой для изучения газовых процессов. Главная формула — pV = νRT; если дана масса газа, количество вещества находят как ν = m/M. Температуру подставляют в кельвинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, для которой взаимодействием молекул вне столкновений и их собственным объёмом пренебрегают. Это не утверждение, что реальные молекулы совсем не взаимодействуют: столкновения в модели сохраняются. Такое упрощение позволяет описывать поведение газа компактным уравнением и применять его к реальным газам как приближение.
Количество вещества ν характеризует число частиц в порции вещества и измеряется в молях. Если известны масса газа m и его молярная масса M, количество вещества находят по формуле ν = m/M. Эта связь нужна, когда в условии задачи указана масса, а уравнение состояния требует количество вещества.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент, связывающий параметры идеального газа в уравнении состояния; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она называется универсальной, потому что имеет одно и то же значение для любых идеальных газов. Её значение вместе с выбранными единицами помогает согласованно связать давление, объём, количество вещества и температуру.
Уравнение Клапейрона—Менделеева связывает давление p, объём V, абсолютную температуру T и количество вещества ν идеального газа: pV = νRT. Оно описывает состояние определённой порции газа, а не отдельное свойство вроде одного только давления. Зная три параметра и количество вещества, можно вычислить четвёртый.
Состояние газа задают макроскопические параметры: давление p, объём V и температура T. Давление показывает, с какой силой газ действует на единицу площади стенок, объём — какую область он занимает, а температура характеризует тепловое состояние. Но одинаковые p, V и T могут относиться к разному количеству газа, поэтому для заданной порции нужно учитывать ещё ν.
Молекулярно-кинетическая теория объясняет давление ударами молекул о стенки сосуда. Основное уравнение этой теории имеет вид p = ⅔nEₖ, где n — концентрация молекул, то есть их число в единице объёма, а Eₖ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы. Причина связи давления с этими величинами в том, что более частые столкновения и более сильные удары увеличивают действие газа на стенки.
Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа пропорциональна абсолютной температуре: Eₖ = 3/2 kT, где k — постоянная Больцмана. Если подставить это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теории, получится p = nkT. Так микроскопические характеристики молекул связываются с измеряемыми параметрами газа; умножение обеих частей на объём даёт pV = NkT, где N — число молекул.
Число молекул N связано с количеством вещества соотношением N = νNₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро. Кроме того, произведение kNₐ равно универсальной газовой постоянной R. Поэтому после подстановки N = νNₐ выражение pV = NkT превращается в pV = νRT. Так получается уравнение состояния: оно переносит связь между движением молекул на уровень параметров, которые можно измерить в опыте.
Если вместо ν известна масса газа, используют формулу ν = m/M. Подстановка в уравнение состояния даёт pV = (m/M)RT; эта запись удобна в задачах, где дана масса и можно определить молярную массу вещества. Запись pV = νRT проще, когда количество вещества уже известно. Обе формы описывают одну и ту же связь, поэтому выбирать следует ту, для которой доступны исходные данные.
Для решения задачи сначала выясняют, какой параметр требуется найти, и выражают его из уравнения, например p = νRT/V. Затем переводят исходные величины в согласованные единицы: литры — в кубические метры, граммы — в килограммы, а градусы Цельсия — в кельвины. После подстановки полезно проверить размерность результата и оценить, правдоподобно ли его значение. Если температура задана в градусах Цельсия, её переводят по формуле T = t + 273,15.
| Величина | Обозначение | Единица СИ | Смысл |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Па | Сила действия газа на единицу площади |
| Объём газа | V | м³ | Пространство, занимаемое газом |
| Абсолютная температура | T | К | Температура по шкале Кельвина |
| Количество вещества | ν | моль | Мера числа частиц |
| Масса газа и молярная масса | m, M | кг; кг/моль | Используются для вычисления ν = m/M |
| Универсальная газовая постоянная | R | Дж/(моль·К) | R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) |
| Запись уравнения состояния | pV = νRT | — | Связывает параметры одного состояния газа |
Перед подстановкой сверьте единицы каждого параметра с таблицей: это помогает заметить необходимость перевода величин. Если в условии дана масса, сначала найдите количество вещества через молярную массу. Значение R в единицах СИ соответствует давлению в паскалях, объёму в кубических метрах и температуре в кельвинах.
В сосуде объёмом 0,020 м³ находится 1,0 моль идеального газа при температуре 300 К. Найдите давление. Объём, количество вещества и температура уже даны в единицах, подходящих для использования R в СИ. Значит, можно сразу выразить давление из уравнения состояния.
Ответ: давление газа приблизительно равно 1,25·10⁵ Па. При оценке проверяем порядок величины: один моль газа при таком объёме и температуре даёт давление около атмосферного. Небольшое отличие от стандартного атмосферного давления объясняется заданными значениями объёма и температуры.
Найдите температуру 4,0 г кислорода в сосуде объёмом 2,0 л, если давление равно 1,0·10⁵ Па. Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль. Здесь сначала нужно перейти от массы к количеству вещества, поскольку именно ν входит в основную запись уравнения.
Ответ: температура составляет примерно 193 К. В этом решении масса не подставляется в уравнение напрямую: сначала её преобразуют в количество вещества. Если дополнительно нужен ответ в градусах Цельсия, из кельвинов вычитают 273,15.
В баллоне объёмом 10 л находится 16 г кислорода при температуре 27 °C. Найдите давление газа. В условии даны масса и температура в неудобных для прямой подстановки единицах. Поэтому сначала переведём их в килограммы и кельвины, а литры — в кубические метры.
Ответ: давление равно приблизительно 1,25·10⁵ Па. Значение температуры использовано в кельвинах, а не в градусах Цельсия. В задаче можно было сразу применить форму p = (m/M)RT/V, но предварительный расчёт ν делает ход решения нагляднее.
Температуру иногда подставляют в градусах Цельсия, потому что именно так она часто указана в условии. Но уравнение использует абсолютную температуру в кельвинах, поэтому такой ответ будет неверным. Перед вычислением проверьте обозначение T и переведите значение по формуле T = t + 273,15.
Массу газа путают с количеством вещества: обе величины описывают порцию газа, но измеряются по-разному. Массу нельзя подставить вместо ν, поскольку в уравнении они связаны через молярную массу: ν = m/M. Проверьте единицы и убедитесь, что в формуле стоит число молей, а не число граммов или килограммов.
Литры, граммы и килопаскали могут остаться без перевода, хотя значение R взято в единицах СИ. Это часто происходит, когда величины подставляют сразу из условия, не проверив размерности. Сверьте их с таблицей: нужны м³, кг (для массы), Па и К; после вычисления оцените и единицу, и порядок результата.
Уравнение иногда считают точным для любой порции газа, потому что оно называется уравнением состояния газа. Однако оно выведено для идеальной модели, а реальные молекулы имеют собственный объём и взаимодействуют. Проверьте, есть ли в условии указание на идеальный газ; для реального газа считайте результат приближённым, если не дана другая модель.
Для работы с уравнением нужны понятия количества вещества и молярной массы, а также связь ν = m/M. Необходимо уметь переводить единицы давления, объёма и температуры — иначе подстановка может дать ошибочный результат. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории объясняет, почему параметры газа связаны с движением его молекул.
Уравнение состояния используют при изучении изопроцессов — изменений состояния газа, при которых одна из величин остаётся постоянной. С его помощью решают задачи на изменение давления, объёма и температуры. Поэтому тема соединяет микроскопическое описание газа молекулами с макроскопическими законами, проверяемыми измерениями.
Почему температуру в уравнении нужно выражать в кельвинах?
В уравнение входит абсолютная температура, отсчитываемая от абсолютного нуля. Шкала Кельвина подходит для связи температуры со средней кинетической энергией молекул. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.
Как выбрать между записями pV = νRT и pV = (m/M)RT?
Выбирайте запись по данным задачи. Если известно количество вещества ν, удобна формула pV = νRT. Если дана масса m и молярная масса M, используйте ν = m/M и подставьте их в уравнение.
Что делать, если в задаче дана масса газа, а не количество вещества?
Найдите количество вещества по формуле ν = m/M. Массу и молярную массу предварительно приведите к согласованным единицам, например кг и кг/моль. Затем подставьте ν в уравнение состояния.
В каких единицах нужно подставлять давление и объём?
Если используется R = 8,31 Дж/(моль·К), давление подставляют в паскалях, объём — в кубических метрах, а температуру — в кельвинах. Литры переводят в м³, а килопаскали — в Па. В согласованных единицах результат получается без лишних коэффициентов.
Можно ли применять уравнение Клапейрона—Менделеева к реальному газу?
Уравнение точно описывает идеальный газ — модель, в которой учитывают столкновения молекул, но пренебрегают их собственным объёмом и взаимодействием вне столкновений. Для реальных газов оно служит приближением. Обычно оно хорошо работает при достаточно низкой плотности и не слишком низкой температуре.
§ 43. Уравнение Клапейрона-Менделеева
