§ 39. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Концентрация молекул — это число молекул в единице объёма: n = N/V. В СИ она измеряется в м⁻³. Эта величина показывает, сколько частиц приходится на каждый кубический метр газа, и нужна для учёта числа ударов о стенки.

Средний квадрат скорости обозначается ⟨v²⟩ и равен среднему арифметическому квадратов скоростей всех молекул. Сначала возводят в квадрат скорость каждой частицы, а затем находят среднее значение. Это не квадрат средней скорости, поэтому символы ⟨v²⟩ и ⟨v⟩² в общем случае различаются.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид p = ⅓nm₀⟨v²⟩. Оно связывает давление газа p с концентрацией молекул n, массой одной молекулы m₀ и средним квадратом скорости. Формула позволяет рассчитывать макроскопическое давление через характеристики отдельных частиц.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул обозначается ⟨Eₖ⟩ и равна ½m₀⟨v²⟩. Она характеризует среднюю энергию перемещения частиц как целого. Через неё основное уравнение становится более наглядным: давление связано с энергией движения молекул.

Как это устроено

Газ можно представить как огромное число молекул, движущихся беспорядочно во всех направлениях. Между столкновениями они летят почти свободно, а при ударе о стенку меняют направление и импульс. Стенка получает противоположное изменение импульса, поэтому на неё действует сила.

Сила удара отдельной молекулы действует очень короткое время, но столкновения происходят непрерывно. За некоторый промежуток времени складываются изменения импульса от множества молекул, и возникает средняя сила. Давление равно силе, приходящейся на единицу площади: p = F/S, поэтому результат ударов можно связать с измеряемым давлением.

Молекулы движутся хаотически, поэтому ни одно направление не выделяется. Средние значения квадратов компонент скорости вдоль осей x, y и z одинаковы. Поскольку v² = vₓ² + vᵧ² + vᵧ² заменяется правильным выражением v² = vₓ² + vᵧ² + vᵤ², средний квадрат скорости вдоль одной оси равен ⅓⟨v²⟩.

При подсчёте ударов о стенку учитывается движение молекул перпендикулярно этой стенке. Изменение импульса и частота столкновений зависят от квадрата соответствующей компоненты скорости, а её среднее значение равно ⅓⟨v²⟩. В результате суммирования ударов получается формула p = ⅓nm₀⟨v²⟩.

В этой формуле концентрация определяет число молекул, участвующих в столкновениях, а масса одной молекулы — изменение импульса при движении. Средний квадрат скорости показывает, насколько интенсивно движутся частицы: при его увеличении удары становятся сильнее и чаще. Используя ⟨Eₖ⟩ = ½m₀⟨v²⟩, получаем p = ⅔n⟨Eₖ⟩, поэтому давление характеризует движение молекул.

Величины и формы основного уравнения МКТ

Таблица помогает выбрать нужную форму уравнения по известным данным. Если даны масса молекулы и скорость, используют первую форму, а если известна средняя кинетическая энергия — вторую. Перед подстановкой проверьте, что величины выражены в единицах СИ.

Разбор задач

Задача 1. Нахождение давления

Пусть концентрация газа n = 2 · 10²⁵ м⁻³, масса молекулы m₀ = 5 · 10⁻²⁶ кг, а средний квадрат скорости ⟨v²⟩ = 9 · 10⁴ м²/с². Требуется найти давление. Все данные уже записаны в единицах СИ.

1. Записываем основное уравнение: p = ⅓nm₀⟨v²⟩.
2. Подставляем значения: p = ⅓ · 2 · 10²⁵ · 5 · 10⁻²⁶ · 9 · 10⁴.
3. Сначала перемножаем коэффициенты и степени: 2 · 5 · 9 · 10³ = 90 · 10³, затем делим на 3.

Получаем p = 3 · 10⁴ Па. Давление увеличилось бы при росте концентрации, массы молекулы или среднего квадрата скорости.

Задача 2. Нахождение среднего квадрата скорости

Пусть давление газа p = 1,2 · 10⁵ Па, концентрация n = 3 · 10²⁵ м⁻³, масса молекулы m₀ = 4 · 10⁻²⁶ кг. Нужно определить ⟨v²⟩. Искомую величину сначала выражаем из формулы, чтобы не перепутать множители.

1. Из p = ⅓nm₀⟨v²⟩ получаем ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀).
2. Вычисляем знаменатель: nm₀ = 3 · 10²⁵ · 4 · 10⁻²⁶ = 1,2.
3. Подставляем данные: ⟨v²⟩ = 3 · 1,2 · 10⁵ / 1,2 = 3 · 10⁵ м²/с².

Ответ: ⟨v²⟩ = 3 · 10⁵ м²/с². Единица м²/с² получается потому, что это квадрат скорости, а не сама скорость.

Задача 3. Сравнение давлений

Два газа имеют одинаковую концентрацию, но средние кинетические энергии их молекул равны ⟨Eₖ₁⟩ = 2 · 10⁻²⁰ Дж и ⟨Eₖ₂⟩ = 3 · 10⁻²⁰ Дж. Нужно сравнить давления. Форма p = ⅔n⟨Eₖ⟩ позволяет не находить каждое давление отдельно.

1. Записываем отношение: p₁/p₂ = (⅔n⟨Eₖ₁⟩)/(⅔n⟨Eₖ₂⟩).
2. При одинаковой концентрации сокращаем ⅔n: p₁/p₂ = ⟨Eₖ₁⟩/⟨Eₖ₂⟩.
3. Получаем p₁/p₂ = 2/3.

Ответ: p₂ = 1,5p₁, то есть второй газ оказывает давление в 1,5 раза больше. Причина — его молекулы в среднем обладают большей кинетической энергией.

Типичные ошибки

Средний квадрат скорости иногда заменяют квадратом средней скорости. Так происходит, когда не учитывают порядок действий при усреднении. Проверьте себя: в ⟨v²⟩ сначала квадратичной операции подвергается каждая скорость, а знак ⟨ ⟩ относится ко всему результату усреднения.

Другая ошибка — потеря множителя ⅓ в формуле p = ⅓nm₀⟨v²⟩. Его пропускают, если забывают, что движение распределено по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Для проверки вспомните: на одну стенку действует только соответствующая компонента движения.

Нельзя подставлять в формулу массу всего газа вместо массы одной молекулы. Число частиц уже учтено через концентрацию n, а в формуле используется именно m₀. Проверьте обозначения и размерность: масса должна быть выражена в килограммах и относиться к одной частице.

Иногда считают, что давление зависит только от массы молекул. На самом деле в формуле присутствуют также концентрация и средний квадрат скорости. Если изменяется хотя бы одна из этих величин, давление может измениться, поэтому сравнивайте все множители.

Связь с другими темами

Для вывода основного уравнения нужны понятия давления, импульса тела и второго закона Ньютона. Изменение импульса при ударах позволяет перейти от движения отдельных молекул к силе, а затем к давлению газа.

Тема связывает микроскопическую картину вещества с макроскопическими свойствами газа. Она подготавливает изучение температуры, поскольку температура связана со средней кинетической энергией частиц, и уравнения состояния идеального газа.

Что запомнить

• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна числу молекул в единице объёма: n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓nm₀⟨v²⟩.
• Средний квадрат скорости не следует путать с квадратом средней скорости.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения равна ⟨Eₖ⟩ = ½m₀⟨v²⟩.
• Через среднюю кинетическую энергию основное уравнение записывается как p = ⅔n⟨Eₖ⟩.