§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Давление газа — величина, характеризующая действие газа на стенки сосуда. Оно возникает из-за многочисленных ударов молекул о стенки и определяется передаваемым ими импульсом. Чем чаще и сильнее происходят удары, тем больше давление.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V. Она измеряется в м⁻³ и показывает, насколько много частиц находится в каждом кубическом метре газа. В уравнении МКТ концентрация учитывает общее число ударяющихся молекул.

Средняя квадратичная скорость связана со средним квадратом скоростей ⟨v²⟩: vкв = √⟨v²⟩. Это не то же самое, что обычная средняя скорость, поскольку сначала возводят скорости в квадрат, а затем усредняют. В формулу давления входит именно средний квадрат скорости.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид p = ⅓mn⟨v²⟩. Здесь m — масса одной молекулы, n — концентрация, а ⟨v²⟩ — средний квадрат её скорости. Формула связывает наблюдаемое давление с движением невидимых частиц.

Как это устроено

Молекулы газа движутся беспорядочно и постоянно сталкиваются со стенками сосуда. При каждом ударе молекула изменяет импульс, а стенка получает противоположное изменение импульса. За большое число ударов возникает направленная средняя сила, действующая на стенку, хотя движение каждой отдельной молекулы хаотично.

Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси x. При упругом ударе составляющая скорости молекулы вдоль этой оси меняет знак, поэтому изменение её импульса по модулю равно 2mvₓ. Чем больше масса и перпендикулярная составляющая скорости, тем больше импульс, переданный стенке за один удар.

За определённое время к стенке прилетает много молекул, поэтому среднюю силу находят как суммарное изменение импульса, делённое на время. Сначала получается давление, связанное со скоростями вдоль одной оси: p = mn⟨vₓ²⟩. Это выражение учитывает только удары о стенки, перпендикулярные выбранному направлению.

В реальном газе нет выделенного направления: движения по осям x, y и z в среднем равноправны. Поэтому ⟨vₓ²⟩ = ⟨vᵧ²⟩ = ⟨vᶻ²⟩, а сумма трёх средних квадратов равна ⟨v²⟩. Значит, средний квадрат скорости по одному направлению равен ⅓⟨v²⟩, откуда и появляется множитель ⅓.

Чтобы учесть весь газ, складывают импульсы, переданные стенке всеми молекулами. Число частиц в выбранном объёме выражают через концентрацию n, а вклад каждой частицы содержит массу m и квадрат скорости. В результате получают p = ⅓mn⟨v²⟩: давление растёт, если частиц больше, они тяжелее или движутся быстрее.

Связь с энергией получают заменой части выражения. Для одной молекулы ⟨Eкин⟩ = ½m⟨v²⟩, поэтому m⟨v²⟩ = 2⟨Eкин⟩. Подстановка даёт p = ⅔n⟨Eкин⟩, то есть давление определяется также концентрацией и средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

Величины основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Таблица помогает быстро определить, какую величину искать и какие единицы использовать. Для первой формы уравнения нужны m, n и ⟨v²⟩, а для энергетической формы — n и ⟨Eкин⟩. Если одна из величин меняется, направление изменения давления можно установить по последнему столбцу.

Например, при неизменных массе и концентрации увеличение ⟨v²⟩ в два раза приводит к такому же увеличению давления. Все подстановки перед расчётом нужно привести к единицам СИ.

Разбор задач

Задача 1. Нахождение давления

Условие: концентрация молекул газа n = 2·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы m = 4·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ = 9·10⁴ м²/с². Найти давление газа.

1. Записываем основное уравнение: p = ⅓mn⟨v²⟩.
2. Подставляем значения: p = ⅓ · 4·10⁻²⁶ · 2·10²⁵ · 9·10⁴ Па.
3. Сначала перемножаем коэффициенты и степени десяти: 4·2·9·10⁻¹ = 7,2. Деление на 3 даёт p = 2,4 Па.

Ответ: p = 2,4 Па. Ход решения показывает, что отдельно проверять нужно и коэффициенты, и степени десяти.

Задача 2. Сравнение давлений

Условие: два газа имеют одинаковые концентрацию и средний квадрат скорости, но масса молекул второго газа в 3 раза больше массы молекул первого. Сравнить давления.

1. Для каждого газа записываем p₁ = ⅓m₁n⟨v²⟩ и p₂ = ⅓m₂n⟨v²⟩.
2. Делим второе выражение на первое: p₂/p₁ = m₂/m₁, потому что одинаковые множители сокращаются.
3. Подставляем условие m₂ = 3m₁ и получаем p₂/p₁ = 3.

Ответ: давление второго газа в 3 раза больше. Численные значения концентрации и скорости здесь не нужны, так как сравниваются одинаковые условия.

Задача 3. Нахождение энергии и скорости

Условие: давление газа равно p, а концентрация — n. Найти среднюю кинетическую энергию молекулы и среднюю квадратичную скорость, если масса молекулы m известна.

1. Из энергетической формы p = ⅔n⟨Eкин⟩ выражаем энергию: ⟨Eкин⟩ = 3p/(2n).
2. Из связи ⟨Eкин⟩ = ½m⟨v²⟩ выражаем средний квадрат скорости: ⟨v²⟩ = 2⟨Eкин⟩/m.
3. Подставляем найденную энергию: ⟨v²⟩ = 3p/(mn), затем находим среднюю квадратичную скорость: vкв = √(3p/(mn)).

Ответ: ⟨Eкин⟩ = 3p/(2n), vкв = √(3p/(mn)). При численном решении давление, концентрацию и массу сначала переводят в единицы СИ.

Типичные ошибки

Подмена средней квадратичной скорости средней скоростью. Эти величины получают разными способами: в уравнении стоит ⟨v²⟩, а не ⟨v⟩². Ошибку допускают, когда механически переносят знакомое обозначение; проверка — проследить, возводились ли скорости в квадрат до усреднения.

Потеря множителя ⅓. Он учитывает распределение движения по трём направлениям, поэтому запись p = mn⟨v²⟩ неверна. Чтобы проверить формулу, вспомните равенство ⟨vₓ²⟩ = ⅓⟨v²⟩.

Неверное понимание концентрации. n — это число молекул в единице объёма, а не общее число частиц N. Если в условии дано N, нужно использовать n = N/V.

Использование массы всего газа. В формуле p = ⅓mn⟨v²⟩ величина m — масса одной молекулы. Массу газа можно применять только после перехода к другой форме записи с количеством вещества или плотностью.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны понятия импульса, силы, давления, плотности и кинетической энергии. Импульс объясняет передачу действия при ударе, а сила и давление связывают это действие с измеряемой величиной.

Основное уравнение МКТ служит основой для вывода уравнения состояния идеального газа. Вместе со связью температуры и средней кинетической энергии оно объясняет, как макроскопические свойства газа связаны с движением молекул.

Формулу применяют в задачах на давление, концентрацию, скорость и энергию частиц. Она позволяет переходить от характеристик отдельных молекул к свойствам всего газа.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами хаотически движущихся молекул о стенки сосуда.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓mn⟨v²⟩.
• Давление прямо пропорционально концентрации молекул.
• При неизменных остальных величинах давление прямо пропорционально массе молекулы.
• Давление прямо пропорционально среднему квадрату скорости молекул.
• Связь с энергией: p = ⅔n⟨Eкин⟩.
• В энергетической форме используется средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.