"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Скорость отдельной молекулы постоянно меняется при столкновениях, поэтому газ описывают средними характеристиками движения. Среднее значение модуля скорости показывает, насколько быстро в среднем движутся молекулы, а средняя квадратичная скорость связывает их движение с температурой. Главные выводы: скорость растёт как √T, уменьшается с ростом молярной массы и не определяется отдельно давлением или объёмом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость теплового движения молекулы — мгновенная векторная величина, у которой направление и модуль постоянно изменяются из-за столкновений. Она описывает движение одной частицы в данный момент, но не даёт устойчивой характеристики всего газа. Поэтому для газа используют усреднение.
Среднее значение скорости теплового движения молекул — среднее арифметическое модулей скоростей большого числа молекул: сумму |vᵢ| делят на число молекул N, то есть ⟨v⟩ = Σ|vᵢ|/N. Модули берут положительными, поэтому эта величина показывает реальную интенсивность хаотического движения. Она удобна для описания газа в целом.
Среднее значение вектора скорости — векторное среднее скоростей молекул, ⟨v⃗⟩ = Σv⃗ᵢ/N. В состоянии равновесия оно равно нулю: движения в противоположных направлениях взаимно компенсируются. Эта величина характеризует направленное движение газа, а не быстроту беспорядочного движения.
Средняя квадратичная скорость — корень из среднего значения квадратов скоростей: vкв = √⟨v²⟩. Возведение в квадрат устраняет влияние противоположных направлений и сильнее учитывает быстрые молекулы. Через неё особенно просто связать движение частиц с температурой.
Молекулы газа движутся беспорядочно, поэтому для любого направления найдутся частицы, летящие примерно противоположно. При сложении их векторов вклады компенсируются, и в равновесии ⟨v⃗⟩ = 0. Это не означает остановку молекул: складываются направления и величины векторов, а не их модули.
Чтобы найти среднее значение скорости, складывают модули скоростей выбранных молекул и делят сумму на их число: ⟨v⟩ = Σ|vᵢ|/N. Одна или несколько частиц могут двигаться необычно быстро или медленно, поэтому их значения случайно искажают результат. Большое число молекул сглаживает такие отклонения и даёт устойчивую макроскопическую характеристику газа.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид p = ⅓mn₀vкв², где m — масса молекулы, n₀ — концентрация, а vкв — средняя квадратичная скорость. Из уравнения идеального газа p = n₀kT следует p = n₀kT. Приравнивая правые части, получают ⅓mvкв² = kT, или vкв = √(3kT/m). Если использовать молярную массу M и постоянную R, результат записывается как vкв = √(3RT/M).
Молекулы имеют разные скорости, и их количество описывает распределение Максвелла. Поэтому среднее значение модуля не совпадает со средней квадратичной скоростью: для распределения Максвелла ⟨v⟩ = √(8RT/(πM)), а vкв = √(3RT/M). Их связь такова: ⟨v⟩ = √(8/(3π))vкв, поэтому средняя скорость немного меньше средней квадратичной.
| Характеристика | Обозначение | Формула | Физический смысл | Зависимость от температуры и молярной массы |
|---|---|---|---|---|
| Среднее значение вектора скорости | ⟨v⃗⟩ | ⟨v⃗⟩ = Σv⃗ᵢ/N | Среднее направление и скорость движения; в равновесии равно нулю | В равновесии не характеризуется ростом с T; равно 0 |
| Среднее значение модуля скорости | ⟨v⟩ | ⟨v⟩ = √(8RT/(πM)) | Средняя быстрота хаотического движения молекул | Растёт как √T и уменьшается как 1/√M |
| Средняя квадратичная скорость | vкв | vкв = √(3RT/M) | Скорость, связанная со средним квадратом скоростей | Растёт как √T и уменьшается как 1/√M |
| Связь средней скорости со средней квадратичной скоростью | ⟨v⟩ и vкв | ⟨v⟩ = √(8/(3π))vкв | Показывает, почему две средние характеристики различаются | Коэффициент связи постоянен для равновесного идеального газа |
Сначала определите, какую именно характеристику спрашивают: векторное среднее, среднее значение модуля или среднюю квадратичную скорость. Затем проверьте единицы: T должна быть в кельвинах, а M — в килограммах на моль. Таблица также позволяет быстро сравнить газы при одинаковой температуре.
Найти ⟨v⟩ при T = 300 К и M = 0,028 кг/моль. Используем формулу среднего значения модуля скорости, а не формулу средней квадратичной скорости. Все величины уже выражены в нужных единицах.
Ответ: средняя скорость молекул азота примерно 476 м/с. Это не скорость каждой молекулы, а усреднённая характеристика их распределения по скоростям.
Температура газов одинакова, поэтому в формуле ⟨v⟩ = √(8RT/(πM)) одинаковы R, T и π. При сравнении достаточно оставить зависимость ⟨v⟩ ∝ 1/√M. Возьмём M(H₂) = 0,002 кг/моль и M(O₂) = 0,032 кг/моль.
Ответ: ⟨v⟩H₂ = 4⟨v⟩O₂. Меньшая масса молекулы водорода компенсирует не скорость столкновений, а именно приводит к большей средней скорости при той же температуре.
Пусть средняя скорость равна v, а молярная масса газа известна. Нужно выразить температуру из формулы v = √(8RT/(πM)). Квадрат скорости пропорционален температуре, поэтому сначала возводим обе части в квадрат.
Ответ: температуру находят по формуле T = πMv²/(8R). После вычисления можно проверить результат: при увеличении скорости в два раза температура должна вырасти в четыре раза.
Смешивать среднее значение вектора и среднее значение модуля. Ошибка возникает из-за одинакового слова «среднее», хотя операции разные: векторное среднее в равновесии равно нулю, а среднее модулей положительно. Проверка проста: спросите себя, сохраняются ли направления в складываемых величинах.
Подставлять формулу vкв вместо формулы ⟨v⟩. Обе величины имеют размерность скорости и похожий вид, но коэффициенты под корнем различаются: 3 и 8/π. Сверяйте не только обозначение, но и смысл величины в условии.
Использовать граммы на моль или градусы Цельсия. Так нарушаются единицы формулы: молярная масса должна быть в кг/моль, температура — в кельвинах. Перед вычислением отдельно выпишите переводы M = … кг/моль и T = t + 273,15.
Считать скорость прямо пропорциональной температуре. В формулах стоит квадратный корень: ⟨v⟩ ∝ √T. Проверить себя можно на простом изменении: при увеличении T в четыре раза скорость возрастает только в два раза.
Для вывода формул нужны основное уравнение молекулярно-кинетической теории, уравнение идеального газа и понятие абсолютной температуры. Они связывают давление и температуру с движением отдельных частиц. Без перехода к кельвинам количественные зависимости будут неверными.
Средняя скорость помогает связать микроскопическую картину с макроскопическими свойствами газа. Давление объясняется ударами молекул о стенки, температура — интенсивностью их движения, а внутренняя энергия зависит от энергии этих движущихся частиц. Поэтому средние скорости нужны для понимания сразу нескольких характеристик газа.
Распределение скоростей Максвелла уточняет простую картину, показывая, сколько молекул имеют разные скорости. Знание средней скорости подготавливает к изучению этого распределения и его влияния на свойства газа. Далее можно объяснить процессы, в которых особенно быстрые молекулы играют заметную роль.
Почему средняя скорость молекул не равна нулю, если молекулы движутся во всех направлениях?
Нулю равно среднее значение вектора скорости: противоположно направленные векторы взаимно компенсируются. Среднее значение модуля скорости складывает не направления, а длины векторов, поэтому оно положительно.
Чем среднее значение скорости отличается от средней квадратичной скорости?
Среднее значение скорости находят как среднее арифметическое модулей скоростей. Средняя квадратичная скорость равна корню из среднего квадратов скоростей и всегда больше средней скорости.
Почему в формуле используется температура в кельвинах?
Формулы молекулярно-кинетической теории используют абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля. Поэтому значение в градусах Цельсия сначала переводят: T = t + 273,15.
Зависит ли средняя скорость молекул от давления газа?
При заданной температуре и для определённого газа средняя скорость от давления отдельно не зависит. Давление может изменяться из-за изменения концентрации молекул, тогда как их средняя скорость определяется температурой и молярной массой.
Как изменится средняя скорость молекул при повышении температуры?
Она увеличится, но не прямо пропорционально температуре. Средняя скорость пропорциональна √T, поэтому для роста скорости в два раза абсолютную температуру нужно увеличить в четыре раза.
§ 4.3. Среднее значение скорости теплового движения молекул
