"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Идеальный газ — удобная физическая модель, описывающая вещество как множество быстро и хаотично движущихся молекул. Размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, учитывая только столкновения. Давление объясняется ударами молекул о стенки сосуда, а температура связана со средней кинетической энергией их поступательного движения. Главный результат темы — основное уравнение МКТ: p = ⅓mn⟨v²⟩.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размеры молекул пренебрежимо малы, а взаимодействием между ними вне столкновений пренебрегают. Между ударами молекулы движутся почти свободно и равномерно. Такая модель позволяет связать наблюдаемые давление и температуру с движением частиц.
Концентрация молекул — число молекул в единице объёма. Она обозначается n и вычисляется по формуле n = N/V, где N — число молекул, а V — объём газа. Концентрация показывает, насколько часто частицы могут сталкиваться со стенками и друг с другом.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул — среднее значение энергии движения частиц в выбранном направлении или во всех направлениях поступательного движения. Её обозначают ⟨Eк⟩ и связывают с температурой. Эта величина нужна, чтобы описывать движение огромного числа молекул одним средним значением.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с концентрацией молекул, их массой и движением. Для идеального газа оно имеет вид p = ⅓mn⟨v²⟩. Формула позволяет по микроскопическими характеристикам частиц находить давление газа.
Идеальный газ удобен тем, что реальные молекулы во многих условиях очень малы по сравнению с расстояниями между ними. Силы притяжения и отталкивания заметно действуют в основном во время коротких столкновений. Поэтому между столкновениями можно считать, что каждая молекула движется свободно, а её скорость не изменяется.
Молекулы газа непрерывно и беспорядочно движутся во всех направлениях. При ударе о стенку молекула изменяет импульс, то есть произведение массы на скорость. Стенка получает противоположное изменение импульса, а множество таких передач импульса за единицу времени проявляется как сила, действующая на стенку, и создаёт давление.
Давление одинаково по всем направлениям не потому, что отдельная молекула движется одинаково во все стороны, а потому, что молекул очень много. Среди них есть частицы с разными направлениями и значениями скоростей. При усреднении случайные различия компенсируются, поэтому вклады движения вдоль трёх координатных осей оказываются одинаковыми.
Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси x. При упругом ударе изменение импульса молекулы по этой оси связано с её скоростью до удара, а число ударов за время зависит от концентрации и нормальной составляющей скорости. Суммирование по всем молекулам и усреднение дают p = mn⟨vₓ²⟩. Так как ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3, получаем основное уравнение МКТ: p = ⅓mn⟨v²⟩.
Кинетическая энергия отдельной молекулы равна Eк = ½mv², поэтому средняя энергия равна ⟨Eк⟩ = ½m⟨v²⟩. Из основного уравнения следует p = ⅔n⟨Eк⟩, а из уравнения состояния идеального газа p = nkT. Приравнивая выражения для давления, получаем ⟨Eк⟩ = 3kT/2: температура показывает среднюю интенсивность хаотического движения частиц.
| Величина или соотношение | Обозначение | Физический смысл | Формула | Единица СИ |
|---|---|---|---|---|
| Число молекул | N | Общее количество частиц | N | 1 |
| Объём газа | V | Пространство, занимаемое газом | V | м³ |
| Концентрация молекул | n | Число молекул в единице объёма | n = N/V | м⁻³ |
| Масса одной молекулы | m | Масса отдельной частицы | m | кг |
| Средняя квадратичная скорость | vкв | Характерная скорость хаотического движения | vкв = √⟨v²⟩ | м/с |
| Давление идеального газа | p | Сила действия газа на единицу площади | p = ⅓mn⟨v²⟩ | Па |
| Средняя кинетическая энергия молекулы | ⟨Eк⟩ | Средняя энергия поступательного движения | ⟨Eк⟩ = ½m⟨v²⟩ | Дж |
| Связь средней кинетической энергии с температурой | T, k | Зависимость энергии частицы от абсолютной температуры | ⟨Eк⟩ = 3kT/2 | Дж |
Сначала определите, какие величины даны и в каких единицах они измерены. Затем выберите формулу, связывающую известные данные с искомой величиной, и проверьте размерность результата. Для перехода от средней квадратичной скорости к формуле МКТ используйте ⟨v²⟩ = vкв².
Условие: концентрация молекул газа n = 2,0 · 10²⁵ м⁻³, масса молекулы m = 4,0 · 10⁻²⁶ кг, средняя квадратичная скорость vкв = 300 м/с. Найти давление газа. Все данные уже приведены к единицам СИ.
Ответ: давление газа равно 2,4 · 10⁴ Па. При увеличении концентрации или средней квадратичной скорости давление возрастало бы.
Условие: давление газа p = 1,0 · 10⁵ Па, концентрация n = 2,5 · 10²⁵ м⁻³, масса молекулы m = 4,0 · 10⁻²⁶ кг. Найти среднюю квадратичную скорость. Неизвестную скорость нужно выразить из основного уравнения.
Ответ: средняя квадратичная скорость примерно равна 550 м/с. При извлечении корня выбираем положительное значение, поскольку скорость характеризует модуль движения.
Условие: два идеальных газа имеют одинаковую температуру, но концентрации n₁ = 2,0 · 10²⁵ м⁻³ и n₂ = 5,0 · 10²⁵ м⁻³. Массы их молекул различны: m₁ и m₂. Сравнить давления газов. Массы нужны для сравнения скоростей, но не должны остаться в формуле давления.
Ответ: давление второго газа в 2,5 раза больше давления первого. При одинаковой температуре средние кинетические энергии одинаковы, а средние скорости зависят от масс: более лёгкие молекулы движутся быстрее.
Путать концентрацию n с количеством вещества или числом молекул N. Концентрация учитывает ещё и объём: n = N/V. Проверьте себя по единице измерения: у n должна быть единица м⁻³, а не просто число.
Использовать среднюю скорость вместо средней квадратичной. В уравнение входит среднее значение квадрата скорости ⟨v²⟩, которое связано с vкв². Перед подстановкой замените vкв² на ⟨v²⟩ и не возводите в квадрат уже усреднённую величину без основания.
Считать, что давление создают только молекулы, летящие перпендикулярно стенке. Учитывается нормальная составляющая скорости каждой молекулы, сталкивающейся со стенкой. Если частица летит под углом, её касательная составляющая не меняет импульс вдоль нормали, но нормальная составляющая действует.
Забывать множитель 1/3. Он появляется потому, что движение равноправно распределено по трём координатным направлениям. Полезная проверка — вывести формулу через ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3 и убедиться, что множитель не потерян.
Для понимания вывода нужны импульс тела, второй закон Ньютона, механическая работа и кинетическая энергия. Эти понятия объясняют, как удар молекулы передаёт импульс стенке и почему энергия связана со скоростью.
Основное уравнение МКТ служит микроскопическим основанием уравнения состояния идеального газа и газовых законов. Оно показывает, как давление возникает из движения отдельных частиц.
Связь ⟨Eк⟩ = 3kT/2 используется при изучении внутренней энергии, теплообмена и термодинамики. Через неё температура связывается с энергетическим состоянием вещества.
Почему газ называют идеальным, если в природе таких газов нет?
Идеальный газ — не конкретное вещество, а модель, в которой упрощают описание реального газа. Она хорошо работает при небольших плотностях, когда размеры молекул и их взаимодействие между столкновениями почти не влияют на результат.
Чем средняя квадратичная скорость отличается от средней скорости?
Средняя скорость получают усреднением самих скоростей, а среднюю квадратичную скорость — извлечением корня из среднего значения квадратов скоростей: vкв = √⟨v²⟩. В основном уравнении МКТ используется именно ⟨v²⟩, а не квадрат средней скорости.
Почему давление газа не зависит от направления?
Молекулы движутся хаотично, поэтому ни одно направление не является преимущественным. В среднем движение вдоль каждой из трёх взаимно перпендикулярных осей даёт одинаковый вклад в давление.
Откуда в основном уравнении МКТ появляется множитель 1/3?
Квадрат скорости молекулы складывается из квадратов её составляющих по трём осям. При хаотическом движении средний вклад каждой составляющей равен одной трети ⟨v²⟩, поэтому в формуле давления появляется множитель 1/3.
Почему при одинаковой температуре молекулы разных газов имеют разные скорости?
При одной температуре средняя кинетическая энергия молекул одинакова, но она равна ½mv². Поэтому более лёгкие молекулы движутся в среднем быстрее, а более тяжёлые — медленнее.
§ 4.2. Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории
