§ 61. Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель газа, в которой собственным объёмом молекул пренебрегают, а их взаимодействие учитывают только во время столкновений. Иначе говоря, молекулы считаются маленькими по сравнению с промежутками между ними и почти не влияют друг на друга на расстоянии. Такая модель позволяет объяснять свойства реальных разреженных газов простыми законами.

Концентрация молекул n — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, V — объём газа. Она показывает, насколько много частиц находится в заданном объёме, и измеряется в м⁻³. Концентрация нужна, чтобы связать микроскопическое движение молекул с измеряемым давлением.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) имеет вид p = (1/3)nm⟨v²⟩. Здесь p — давление, m — масса одной молекулы, а ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости молекул. Формула показывает, от каких характеристик частиц зависит давление газа.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы обозначается ⟨Eₖ⟩ и связана с давлением формулой p = (2/3)n⟨Eₖ⟩. Она характеризует энергию движения молекул в среднем, без учёта их движения как целого тела. Эта запись удобна, когда в задаче дана энергия или требуется понять, как она влияет на давление.

Как это устроено

Модель идеального газа особенно полезна для разреженных газов. В разреженном газе промежутки между молекулами намного больше размеров самих частиц, поэтому их собственный объём почти не влияет на общий объём газа. Силы притяжения и отталкивания заметно действуют главным образом вблизи столкновения. Благодаря этим упрощениям поведение газа можно описать через движение молекул, не рассчитывая сложные силы между каждой парой частиц.

Молекулы газа хаотично движутся и сталкиваются со стенками сосуда. При ударе молекула меняет импульс, то есть величину, характеризующую её движение; стенка получает соответствующее воздействие. Отдельный удар очень мал, но молекул чрезвычайно много, и за короткое время они совершают множество столкновений. Поэтому суммарное действие ударов проявляется как устойчивая сила, приходящаяся на единицу площади стенки, — давление.

Чтобы получить основное уравнение МКТ, рассматривают перенос импульса молекулами к стенкам. На давление влияет движение частиц вдоль направления, перпендикулярного стенке: именно такая составляющая скорости определяет изменение импульса при ударе. В хаотическом газе нет выделенного направления, поэтому при усреднении вклад поровну распределяется между тремя направлениями пространства. Отсюда появляется множитель 1/3, и получается p = (1/3)nm⟨v²⟩.

В уравнение входит средний квадрат скорости, а не квадрат средней скорости. Скорости молекул направлены хаотично, так что их направленные вклады могут взаимно компенсироваться при обычном усреднении. Давление же связано с изменениями импульса и зависит от квадратов составляющих скоростей, которые не становятся отрицательными из-за направления движения. Поэтому сначала возводят скорости в квадрат, а затем находят среднее значение ⟨v²⟩.

Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы выражается формулой Eₖ = mv²/2. Для среднего значения это даёт ⟨Eₖ⟩ = m⟨v²⟩/2, поскольку масса молекул одного газа одинакова. Если подставить это выражение в основное уравнение и заменить m⟨v²⟩ на 2⟨Eₖ⟩, получится p = (2/3)n⟨Eₖ⟩. Такая форма сразу показывает: при одной и той же концентрации рост средней энергии молекул приводит к росту давления.

Величины и соотношения в молекулярно-кинетической теории идеального газа

Сначала определите, какие величины даны и какую нужно найти, затем выберите строку с подходящим соотношением. Проверьте единицы: давление должно получиться в паскалях, энергия — в джоулях. Если вместо концентрации известны число молекул и объём, сначала найдите n = N/V.

Разбор задач

В сосуде концентрация молекул азота n = 2,0·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы m = 4,7·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ = 6,0·10⁵ м²/с². Найдём давление газа. Все данные уже выражены в единицах СИ, поэтому можно сразу использовать основное уравнение МКТ.

1. Запишем формулу: p = (1/3)nm⟨v²⟩.
2. Подставим значения: p = (1/3)·2,0·10²⁵·4,7·10⁻²⁶·6,0·10⁵ Па.
3. Сначала перемножим числа и степени десяти: nm = 0,94 кг/м³, затем p = (1/3)·0,94·6,0·10⁵ ≈ 1,9·10⁵ Па.

Ответ: давление азота примерно равно 1,9·10⁵ Па. Единица получилась верной: (кг/м³)·(м²/с²) = кг/(м·с²), то есть паскаль. Такая проверка помогает заметить ошибку, если при подстановке потерялась степень десяти или единица.

Газ плотностью ρ = 1,2 кг/м³ оказывает давление p = 1,0·10⁵ Па. Нужно найти ⟨v²⟩. В исходном уравнении есть концентрация n и масса молекулы m, но отдельно они не даны; их произведение равно плотности: nm = ρ.

1. Заменим nm на ρ: p = (1/3)ρ⟨v²⟩.
2. Выразим неизвестное: ⟨v²⟩ = 3p/ρ.
3. Подставим числа: ⟨v²⟩ = 3·1,0·10⁵/1,2 ≈ 2,5·10⁵ м²/с².

Ответ: средний квадрат скорости молекул равен примерно 2,5·10⁵ м²/с². Здесь нельзя подменять его средней скоростью: искомая величина уже имеет размерность квадрата скорости. Использование плотности сэкономило шаги и избавило от необходимости отдельно находить массу молекулы и концентрацию.

Концентрация газа n = 2,4·10²⁵ м⁻³, давление p = 1,0·10⁵ Па. Определим среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. В условии известны именно давление и концентрация, поэтому удобнее применить уравнение через энергию.

1. Запишем связь: p = (2/3)n⟨Eₖ⟩.
2. Выразим среднюю энергию: ⟨Eₖ⟩ = 3p/(2n).
3. Подставим значения: ⟨Eₖ⟩ = 3·1,0·10⁵/(2·2,4·10²⁵) ≈ 6,25·10⁻²¹ Дж.

Ответ: ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,3·10⁻²¹ Дж. Единица результата — джоуль, поскольку Па/м⁻³ эквивалентно Дж. Перед вычислением полезно выразить неизвестную величину из формулы, чтобы не перепутать множители 2 и 3.

Типичные ошибки

Подстановка средней скорости вместо среднего квадрата скорости даёт неправильный результат: это разные величины. Путаница возникает потому, что обе характеризуют движение молекул, но давление зависит от ⟨v²⟩. Проверьте обозначение и единицу в условии: средний квадрат скорости измеряется в м²/с².

Число молекул N и концентрация n — не одно и то же. N показывает, сколько частиц всего, а n — сколько их приходится на единицу объёма; при переходе нужно использовать n = N/V. Чтобы проверить себя, посмотрите, указан ли объём и соответствует ли единица концентрации м⁻³.

Если забыть множитель 1/3 в основном уравнении, давление окажется втрое больше правильного значения. Его пропускают, когда запоминают только зависимость давления от скорости и концентрации. Проверьте запись p = (1/3)nm⟨v²⟩ и вспомните, что движение распределено по трём равноправным направлениям.

Неверно считать, что молекулы идеального газа вообще не взаимодействуют. Такое представление появляется из-за упрощённого описания: модель исключает заметные силы между столкновениями, но столкновения молекул друг с другом и со стенками сохраняются. Спросите себя, откуда тогда берётся перенос импульса и давление: без столкновений с границами этого объяснения не было бы.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия давления, объёма, массы и импульса, а также смысл средней величины. Они помогают понять, как отдельные столкновения частиц приводят к измеряемому давлению. Полезно уверенно переводить физические величины в единицы СИ.

Молекулярно-кинетическое объяснение опирается на представления о тепловом движении и строении вещества. Частицы вещества непрерывно движутся, а их движение связано с наблюдаемыми свойствами тела. Модель идеального газа применяет эти представления к газу.

Основное уравнение МКТ связывает микроскопические характеристики молекул с давлением, которое можно измерить. Эта связь понадобится при изучении температуры, уравнения состояния идеального газа и газовых законов. В дальнейшем она поможет переходить от движения частиц к свойствам газа как целого.

Что запомнить

• Идеальный газ — модель, а не утверждение о полном отсутствии взаимодействия молекул.
• Концентрация молекул равна числу молекул, делённому на объём: n = N/V.
• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Основное уравнение МКТ: p = (1/3)nm⟨v²⟩.
• Связь давления со средней кинетической энергией: p = (2/3)n⟨Eₖ⟩.
• При одинаковой концентрации давление тем больше, чем больше средняя кинетическая энергия молекул.