"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Молекулы газа движутся хаотично, поэтому скорость каждой из них меняется и отличается от скорости других. Чтобы описать движение всего множества частиц, используют средний квадрат скорости и связанную с ним среднюю квадратичную скорость. Эти величины входят в основное уравнение молекулярно-кинетической теории: оно связывает давление газа с концентрацией, массой и движением молекул. Через температуру можно сравнивать скорости разных газов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Средний квадрат скорости ⟨v²⟩ — среднее арифметическое квадратов скоростей всех молекул газа. Для каждой молекулы скорость возводят в квадрат, а затем складывают полученные значения и делят на число молекул. Такое усреднение позволяет описывать множество частиц, даже если скорости отдельных молекул различаются.
Средняя квадратичная скорость vкв — квадратный корень из среднего квадрата скорости: vкв = √⟨v²⟩. Она показывает характерную скорость молекул с учётом разброса их скоростей. В отличие от среднего квадрата, её единица измерения совпадает с единицей скорости.
Концентрация молекул n — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, а V — объём газа. В СИ концентрация измеряется в м⁻³. Она нужна, чтобы связать количество частиц в сосуде с давлением газа.
Основное уравнение МКТ связывает давление с концентрацией и движением молекул: p = (1/3)nm₀⟨v²⟩. Здесь m₀ — масса одной молекулы, а p — давление газа. По формуле можно найти средний квадрат скорости, если известны давление, концентрация и масса частицы.
Молекулы газа движутся непрерывно и хаотично: они имеют разные скорости, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Скорость одной выбранной молекулы не характеризует весь газ, потому что в следующий момент она может измениться, а остальные частицы движутся иначе. Поэтому используют среднюю величину, рассчитанную по множеству молекул. Квадраты скоростей берут, в частности, потому, что они связаны с кинетической энергией и не компенсируются при усреднении из-за противоположных направлений движения.
Хаотичность означает, что в среднем нет выделенного направления: молекулы одинаково часто летят вдоль каждой из трёх взаимно перпендикулярных осей. Полную скорость можно разложить на проекции vx, vy и vz, причём v² = vx² + vy² + vz². После усреднения средние квадраты проекций одинаковы: ⟨vx²⟩ = ⟨vy²⟩ = ⟨vz²⟩. Их сумма равна ⟨v²⟩, поэтому средний квадрат каждой проекции составляет одну треть ⟨v²⟩.
Давление возникает потому, что молекулы ударяются о стенку сосуда и передают ей импульс. При упругом ударе меняется направление перпендикулярной стенке составляющей скорости, поэтому молекула передаёт стенке импульс; множество таких ударов создаёт силу. Давление — это сила, приходящаяся на единицу площади стенки. Подсчёт суммарного переноса импульса молекулами даёт вклад, пропорциональный концентрации n, массе m₀ и среднему квадрату перпендикулярной проекции скорости. Подставляя ⟨vx²⟩ = ⟨v²⟩/3, получают p = (1/3)nm₀⟨v²⟩.
Выразим средний квадрат скорости из основного уравнения МКТ: умножим обе части на 3 и разделим на nm₀. Получим ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀). Значит, при фиксированных концентрации и массе молекулы средний квадрат скорости растёт с давлением. Если же давление одинаково, увеличение концентрации или массы одной молекулы приводит к меньшему ⟨v²⟩.
Температура идеального газа связана со средней кинетической энергией поступательного движения одной молекулы: Eк = (3/2)kT, где k — постоянная Больцмана. С другой стороны, средняя энергия равна (1/2)m₀⟨v²⟩; приравнивая выражения, получаем vкв = √(3kT/m₀). Если использовать молярную массу M, формула принимает вид vкв = √(3RT/M), где R — универсальная газовая постоянная. При одной температуре лёгким молекулам нужна большая скорость, чтобы их кинетическая энергия была такой же, как у тяжёлых.
| Величина | Обозначение | Связь с другими величинами | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Средний квадрат скорости | ⟨v²⟩ | ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀) | м²/с² |
| Средняя квадратичная скорость | vкв | vкв = √⟨v²⟩ | м/с |
| Концентрация молекул | n | n = N/V | м⁻³ |
| Давление газа по основному уравнению МКТ | p | p = (1/3)nm₀⟨v²⟩ | Па |
Сначала выберите в таблице величину, которую требуется найти, а затем — формулу, где она выражена через известные данные. Проверяйте, что единицы согласованы: например, массу молекулы подставляют в килограммах. Если требуется именно скорость, после нахождения среднего квадрата извлеките квадратный корень.
Задача 1. Газ содержит N молекул в объёме V. Запишите его концентрацию и выразите средний квадрат скорости через давление, массу одной молекулы и концентрацию. Нужно сначала определить число частиц в единице объёма, а затем преобразовать основное уравнение МКТ. Не подменяйте массу одной молекулы молярной массой.
Ответ: n = N/V; ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀) = 3pV/(Nm₀). Размерность последнего выражения должна быть м²/с², как и положено для квадрата скорости. Если в задаче дана масса молекулы, сразу подставляйте её в формулу с n.
Задача 2. Найдите среднюю квадратичную скорость газа, если его давление равно p, плотность равна ρ, а молярная масса равна M. В задаче уже дана плотность, поэтому удобнее объединить концентрацию и массу молекулы в одну величину. Молярная масса отдельно для этого способа вычисления не требуется.
Ответ: vкв = √(3p/ρ). Значения p и ρ подставляют в единицах СИ, тогда результат получится в м/с. Молярная масса понадобилась бы, если бы скорость находили по температуре через vкв = √(3RT/M).
Задача 3. Сравните средние квадратичные скорости двух идеальных газов при одинаковой температуре, если их молярные массы равны M₁ и M₂. Здесь важно сравнивать скорости, а не средний квадрат скорости, и учесть, что температура у газов одна. Формула через молярную массу позволяет сразу получить отношение.
Ответ: vкв₁/vкв₂ = √(M₂/M₁). Скорости обратно пропорциональны квадратным корням из молярных масс. Например, при увеличении молярной массы в четыре раза скорость при той же температуре уменьшается в два раза.
Подмена среднего квадрата скорости квадратом средней скорости. Эти выражения описывают разные действия: сначала усреднить v² или сначала усреднить v. Путаница возникает из-за похожих обозначений, но равенство для произвольного набора скоростей не выполняется. Проверьте порядок действий по определению: для ⟨v²⟩ квадрат возводят до усреднения.
Пропуск множителя 1/3 в уравнении МКТ. Его иногда забывают, считая, что давление связано со всей скоростью молекулы напрямую. Однако стенку толкает составляющая импульса перпендикулярно ей, а средний квадрат такой проекции равен трети среднего квадрата полной скорости. Проверка: из формулы с правильным множителем должно следовать ⟨v²⟩ = 3p/(nm₀).
Путаница между средним квадратом и средней квадратичной скоростью. Средний квадрат имеет единицу м²/с², а скорость — м/с. Ошибку допускают, когда после преобразования формулы считают ⟨v²⟩ ответом о скорости. Проверьте, что для получения vкв вы извлекли квадратный корень.
Смешение массы молекулы и молярной массы. m₀ относится к одной частице, а M — к одному молю вещества; это разные величины и разные единицы. В формуле с концентрацией n нужна масса одной молекулы, тогда как выражение через температуру может использовать M вместе с R. Проверьте согласованность формулы и данных: при переходе между массами используют M = m₀Nₐ.
Для применения уравнения МКТ нужны понятия массы молекулы, концентрации, плотности и давления, а для связи скорости с состоянием газа — температура идеального газа. Если известна плотность, удобно пользоваться равенством ρ = nm₀ и формулой p = (1/3)ρ⟨v²⟩. Температурная связь опирается на среднюю кинетическую энергию молекул. Она пригодится при изучении внутренней энергии и тепловых процессов, где рассматривают изменение энергии частиц при нагревании и охлаждении.
Почему в формуле для давления появляется множитель 1/3?
Движение молекул хаотично и равноправно по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому на каждое направление приходится в среднем треть среднего квадрата полной скорости. Давление на стенку связано только с проекцией скорости перпендикулярно этой стенке.
Чем средний квадрат скорости отличается от квадрата средней скорости?
Средний квадрат скорости — это среднее значение величин v², вычисленных для всех молекул. Квадрат средней скорости — квадрат среднего значения v. Обычно эти величины не равны: при усреднении сначала возводят в квадрат или сначала находят среднее — это разные действия.
Как найти среднюю квадратичную скорость по давлению и плотности газа?
Используйте уравнение p = (1/3)ρ⟨v²⟩, откуда ⟨v²⟩ = 3p/ρ. Средняя квадратичная скорость равна корню из среднего квадрата, поэтому vкв = √(3p/ρ). Подставляйте давление в паскалях, а плотность — в кг/м³.
Почему при одной температуре лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых?
При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одинакова и равна 3kT/2. Поскольку энергия зависит от произведения массы на квадрат скорости, меньшая масса соответствует большей средней квадратичной скорости. Она обратно пропорциональна корню из массы молекулы.
В каких единицах измеряются средний квадрат скорости и средняя квадратичная скорость?
Средний квадрат скорости измеряется в м²/с², потому что скорость возводится в квадрат. Средняя квадратичная скорость имеет те же единицы, что и обычная скорость, — м/с.
§ 62. Среднее значение квадрата скорости молекул
