"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории объясняет, как движение отдельных молекул создаёт давление газа. Оно связывает измеряемое давление с массой и концентрацией молекул, а также со средним квадратом их скоростей. По этой формуле можно находить давление, если известны микроскопические характеристики газа, или определять среднюю кинетическую энергию молекул по давлению и концентрации. Ключевая идея: давление зависит от передачи импульса стенкам сосуда.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Концентрация молекул n — число молекул N в единице объёма V: n = N/V. Она показывает, сколько частиц в среднем находится в каждом кубическом метре газа, и измеряется в м⁻³. Эта величина нужна, чтобы связать количество молекул с объёмом и учесть, насколько часто они сталкиваются со стенками.
Средний квадрат скорости ⟨v²⟩ — среднее по всем молекулам значение квадратов их скоростей. Сначала скорость каждой молекулы возводят в квадрат, затем полученные значения усредняют. Это не то же самое, что квадрат средней скорости ⟨v⟩², поэтому в расчётах по уравнению МКТ используют именно ⟨v²⟩.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы ⟨Eₖ⟩ — среднее значение энергии, связанной с перемещением молекул в пространстве. Если масса одной молекулы равна m₀, то ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Эта запись позволяет вместо скоростей описывать движение газа через энергию частиц.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа записывают так: p = (1/3)m₀n⟨v²⟩ = (2/3)n⟨Eₖ⟩. Здесь p — давление газа, m₀ — масса одной молекулы, а n и ⟨v²⟩ имеют указанные выше значения. Две формы уравнения равнозначны: первая использует скорости молекул, вторая — их среднюю кинетическую энергию.
Газ оказывает давление на стенки не потому, что молекулы неподвижно «давят» на них, а из-за непрерывных столкновений. При ударе молекула меняет импульс, то есть величину, связанную с её массой и скоростью. Изменение импульса молекулы означает, что стенка получает импульс в противоположном направлении. Миллиарды ударов за короткое время создают действующую на стенку силу, а сила на единицу площади и есть давление.
Чтобы понять зависимость давления от движения частиц, можно рассмотреть молекулы, летящие к стенке перпендикулярно ей. Чем больше масса молекулы и чем выше квадрат её скорости в направлении стенки, тем больше изменение импульса при отражении. Чем больше молекул находится в единице объёма, тем больше частиц за одинаковое время достигает участка стенки. Поэтому давление растёт с массой молекулы, концентрацией и средней величиной квадратов скоростей.
Для отдельного направления важна не вся скорость молекулы, а её составляющая перпендикулярно стенке. Но в газе молекулы движутся хаотично, и направления равноправны: нет причины, по которой движение вдоль одной оси в среднем было бы сильнее движения вдоль другой. Полный квадрат скорости складывается из квадратов трёх составляющих, поэтому на каждую ось приходится треть среднего квадрата полной скорости. Именно отсюда в уравнении появляется коэффициент 1/3.
Полученный подсчётом ударов результат выражается формулой p = (1/3)m₀n⟨v²⟩. Чтобы перейти к энергии, используем определение ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2, откуда m₀⟨v²⟩ = 2⟨Eₖ⟩. Подстановка этой связи в исходное уравнение даёт p = (2/3)n⟨Eₖ⟩. Так давление оказывается связанным не только со скоростями, но и со средней энергией движения молекул.
Уравнение соединяет две стороны описания газа. Давление p измеряют как макроскопическую характеристику всего газа, а массу одной молекулы, концентрацию и средние скорости относят к микроскопическим характеристикам частиц. Такая связь позволяет объяснить наблюдаемое давление через движение молекул и решать обратную задачу: по измеренным параметрам газа находить свойства их движения.
| Величина | Обозначение | Физический смысл | Связь и единица СИ |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Сила ударов молекул на единицу площади стенки | p = (1/3)m₀n⟨v²⟩; Па |
| Масса молекулы | m₀ | Масса одной частицы газа | кг |
| Концентрация молекул | n | Число молекул в единице объёма | n = N/V; м⁻³ |
| Средний квадрат скорости | ⟨v²⟩ | Среднее значение квадратов скоростей молекул | м²/с² |
| Средняя кинетическая энергия поступательного движения | ⟨Eₖ⟩ | Средняя энергия перемещения одной молекулы | ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2; Дж |
| Основное уравнение МКТ | — | Связь давления с движением молекул | p = (1/3)m₀n⟨v²⟩ = (2/3)n⟨Eₖ⟩ |
Для вычисления давления выбери форму уравнения, в которой известны все входящие величины. Если задана масса газа и его объём, сначала найди число молекул N = M/m₀, а затем концентрацию n = N/V. Перед подстановкой проверь единицы: давление получится в паскалях, если использовать величины в СИ.
Концентрация газа n = 2,0·10²⁵ м⁻³, масса молекулы m₀ = 4,0·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ = 1,5·10⁵ м²/с². Нужно найти давление. Все данные уже заданы в единицах СИ, поэтому используем основное уравнение без дополнительных переводов.
Ответ: давление газа равно 4,0·10⁴ Па.
Давление газа p = 1,0·10⁵ Па, концентрация n = 2,5·10²⁵ м⁻³. Требуется найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы. Здесь задана концентрация, поэтому удобнее воспользоваться энергетической формой уравнения МКТ.
Ответ: ⟨Eₖ⟩ = 6,0·10⁻²¹ Дж.
Идеальный газ занимает объём V = 0,020 м³ и имеет массу M = 0,040 кг. Масса одной молекулы m₀ = 6,6·10⁻²⁶ кг, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ = 1,2·10⁵ м²/с². В уравнении МКТ нужна концентрация, поэтому её сначала определим по массе всего газа и объёму.
Ответ: давление газа приблизительно равно 7,9·10⁴ Па.
Путаница между ⟨v²⟩ и ⟨v⟩² меняет физический смысл вычисления: в первом случае усредняют квадраты скоростей, во втором сначала усредняют скорости. Ошибку легко допустить, потому что обозначения похожи. Проверь порядок действий: в уравнение МКТ подставляется среднее квадратов, а не квадрат среднего.
Если забыть коэффициент 1/3, давление получится втрое больше правильного значения. Его часто теряют при переписывании формулы, не связывая с распределением движения по трём осям. Проверка простая: сравни свою запись с полной формой p = (1/3)m₀n⟨v²⟩, а не с произведением величин без коэффициента.
В формулу входит масса одной молекулы m₀, а не масса всего газа M. Эти значения можно спутать, если в условии даны обе массы, но масса газа используется для нахождения числа частиц N = M/m₀. Проверь единицы и этапы: сначала получи N, затем n = N/V, и только потом подставляй в уравнение.
При неизменной концентрации давление зависит не только от массы молекул, но и от среднего квадрата скорости. Иногда массу считают единственной характеристикой частиц, хотя формула содержит сразу m₀ и ⟨v²⟩. Чтобы проверить рассуждение, проследи, какие параметры меняются: при большей скорости удары передают стенке больший импульс, значит, давление тоже может измениться.
Для вывода основного уравнения нужны понятия давления, импульса и изменения импульса при ударе, а также представление о хаотическом тепловом движении молекул. Они помогают перейти от столкновений отдельных частиц к силе, действующей на стенку. Дальше это уравнение связывает микроскопическую картину газа с макроскопическими параметрами и подготавливает к изучению уравнения состояния идеального газа. Оно также помогает понять связь температуры со средней кинетической энергией молекул.
Почему газ оказывает давление на стенки сосуда?
Молекулы газа непрерывно и хаотично движутся и сталкиваются со стенками. При ударе молекула передаёт стенке импульс, а множество таких ударов создаёт силу, приходящуюся на единицу площади, то есть давление.
Почему в основном уравнении МКТ появляется коэффициент 1/3?
Движение молекул хаотично, поэтому ни одно из трёх взаимно перпендикулярных направлений не является предпочтительным. В среднем на каждое направление приходится треть среднего квадрата полной скорости, а давление на стенку связано со скоростью перпендикулярно ей.
Чем средний квадрат скорости отличается от квадрата средней скорости?
Средний квадрат скорости ⟨v²⟩ получают, сначала возводя скорость каждой молекулы в квадрат, а затем усредняя результаты. Квадрат средней скорости ⟨v⟩² — это квадрат уже усреднённой скорости; в общем случае эти величины не равны.
Как связаны давление газа и средняя кинетическая энергия молекул?
Основное уравнение МКТ можно записать как p = (2/3)n⟨Eₖ⟩. Значит, при одинаковой концентрации увеличение средней кинетической энергии молекул приводит к увеличению давления.
Какие величины нужно знать, чтобы вычислить давление газа по основному уравнению МКТ?
В записи p = (1/3)m₀n⟨v²⟩ нужны масса одной молекулы m₀, концентрация молекул n и средний квадрат их скорости ⟨v²⟩. Все величины следует подставлять в единицах СИ.
§ 63. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
