"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Температура характеризует тепловое состояние тела и показывает, насколько велика средняя кинетическая энергия хаотического движения его молекул. Для идеального газа эта связь выражается формулой 〈Eₖ〉 = 3/2 kT, где T — абсолютная температура, а k — постоянная Больцмана. Формула относится не к отдельной молекуле, а к среднему значению по множеству частиц. Поэтому при одинаковой температуре разные газы имеют одинаковую среднюю энергию, но могут двигаться с разными скоростями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Температура — физическая величина, характеризующая тепловое состояние системы и её тепловое равновесие. На молекулярном уровне она связана со средней кинетической энергией хаотического движения частиц. Поэтому температура позволяет описывать огромное число молекул одной измеряемой величиной.
Абсолютная температура T — температура, отсчитываемая от абсолютного нуля и измеряемая в кельвинах (К). Нулевая точка этой шкалы связана с минимально возможным уровнем теплового движения в идеализированной модели. Кельвины нужны потому, что формула энергии использует именно абсолютную, а не относительную шкалу.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы 〈Eₖ〉 — среднее значение энергии хаотического перемещения множества молекул. Это не энергия одной выбранной частицы: у разных молекул она может быть больше или меньше. Такая величина нужна, чтобы связать микроскопическое движение с наблюдаемой температурой.
Постоянная Больцмана k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К — коэффициент пропорциональности между абсолютной температурой и средней кинетической энергией. Для идеального газа 〈Eₖ〉 = 3/2 kT. Она переводит температуру, измеренную в кельвинах, в энергию одной молекулы.
В газе молекулы движутся беспорядочно и сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. После столкновений скорость отдельной частицы меняется, поэтому молекулы в один и тот же момент имеют разные энергии. Для описания газа используют среднюю кинетическую энергию, поскольку именно устойчивое среднее определяет его макроскопические свойства.
Рассмотрим идеальный газ, молекулы которого малы по сравнению с расстояниями между ними, а их взаимодействием вне столкновений можно пренебречь. При ударах о стенки молекулы изменяют импульс, и множество таких ударов создаёт давление. Расчёт показывает: p = 1/3 nm〈v²〉, где n — концентрация молекул, m — их масса, а 〈v²〉 — средний квадрат скорости.
Умножим это выражение на объём V. Так как nV = N, где N — число молекул, получим pV = 1/3 Nm〈v²〉. Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна m v²/2, поэтому её среднее значение 〈Eₖ〉 = m〈v²〉/2. Подстановка даёт важное соотношение: pV = 2/3 N〈Eₖ〉.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид pV = NkT. Левая часть в обоих выражениях одинакова, значит, 2/3 N〈Eₖ〉 = NkT. После сокращения на N получаем 〈Eₖ〉 = 3/2 kT.
Результат означает, что при одинаковой абсолютной температуре средняя энергия поступательного движения молекул любого идеального газа одинакова. Однако скорости не обязаны совпадать: при той же энергии лёгкая молекула движется быстрее тяжёлой. Поэтому температура характеризует среднюю энергию, а не одну определённую скорость.
| Величина или связь | Обозначение и формула | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Абсолютная температура | T | К | Мера теплового состояния системы |
| Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы | 〈Eₖ〉 = m〈v²〉/2 | Дж | Средняя энергия хаотического перемещения молекул |
| Связь средней энергии с температурой | 〈Eₖ〉 = 3/2 kT | Дж | Средняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре |
| Связь давления с кинетической энергией молекул | pV = 2/3 N〈Eₖ〉 | Дж | Давление возникает из-за ударов молекул о стенки |
Сначала определите, какая величина известна, а затем выберите строку с нужной формулой. Следите, чтобы температура была в кельвинах, число молекул было безразмерным, а энергия выражалась в джоулях. Таблица также показывает переход от микроскопического описания молекул к измеряемым давлению и температуре.
Условие. Идеальный газ имеет температуру T = 300 К. Требуется найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Используем k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.
Ответ: 〈Eₖ〉 ≈ 6,2 · 10⁻²¹ Дж. Полученное значение относится к среднему по молекулам, а не к каждой частице.
Условие. Средняя кинетическая энергия молекулы равна E. Нужно найти абсолютную температуру. Численное значение E не задано, поэтому ответ выражаем через него.
Ответ: T = 2E/(3k) К, если E подставлено в джоулях. Нельзя подставлять температуру в градусах Цельсия, поскольку искомая величина является абсолютной температурой.
Условие. Два идеальных газа имеют одинаковую температуру, но массы их молекул различны: m₁ ≠ m₂. Требуется сравнить средние энергии и средние квадраты скоростей молекул.
Ответ: средние кинетические энергии одинаковы, а средние квадраты скоростей различны. Газ с более лёгкими молекулами имеет большее среднее значение квадрата скорости.
Температура в градусах Цельсия. В формулу подставляют число градусов Цельсия, потому что им привычно измерять температуру. Но нулевая точка этой шкалы не является абсолютным нулём. Переведите значение: T = t + 273,15 К.
Энергия каждой молекулы. Формулу воспринимают как точное значение для любой частицы. В действительности столкновения создают распределение энергий. Проверка проста: если речь идёт о множестве молекул, ищите знак среднего 〈 〉.
Путаница средней энергии и средней скорости. Иногда считают, что из равенства температур следует равенство скоростей. Энергия зависит от среднего квадрата скорости: 〈Eₖ〉 = m〈v²〉/2. Поэтому сначала определите, какая именно величина сравнивается.
Одинаковые скорости у разных газов. Ошибка возникает, если забыть о массе молекул. При равной энергии лёгкие частицы движутся быстрее тяжёлых. Сравните массы в формуле 〈v²〉 = 2〈Eₖ〉/m.
Для понимания темы нужны модель идеального газа, понятие давления, уравнение состояния и формула кинетической энергии тела. Полученная связь используется при изучении уравнения Менделеева — Клапейрона, внутренней энергии идеального газа и процессов изменения его состояния. Она показывает, как свойства отдельных молекул объясняют наблюдаемые параметры газа.
Почему температуру связывают со средней, а не с энергией отдельной молекулы?
Молекулы газа постоянно сталкиваются, поэтому их скорости и кинетические энергии различаются. Средняя энергия большого числа молекул остаётся устойчивой и именно она связана с измеряемой температурой.
Почему в формуле средней кинетической энергии температура должна быть выражена в кельвинах?
Кельвинская шкала начинается от абсолютного нуля, при котором прекращается тепловое движение в идеализированной модели. Только абсолютная температура прямо пропорциональна средней кинетической энергии: 〈Eₖ〉 = 3/2 kT.
Одинакова ли средняя кинетическая энергия молекул разных газов при одной температуре?
Да, для идеальных газов при одинаковой абсолютной температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одинакова. Она определяется только температурой и постоянной Больцмана, а не массой молекулы.
Означает ли одинаковая температура, что молекулы движутся с одинаковой скоростью?
Нет. При одной температуре одинаковы средние кинетические энергии, но скорость зависит и от массы молекулы. Более лёгкие молекулы в среднем движутся быстрее тяжёлых.
Как из уравнения состояния идеального газа получить формулу 〈Eₖ〉 = 3/2 kT?
Из молекулярно-кинетической теории получают pV = 2/3 N〈Eₖ〉, а из уравнения состояния — pV = NkT. Приравнивая правые части, находят 〈Eₖ〉 = 3/2 kT.
§ 4.5. Температура — мера средней кинетической энергии молекул
