"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Распределение Максвелла показывает, как молекулы идеального газа распределены по скоростям при тепловом равновесии. Оно объясняет, почему у частиц одного газа нет единой скорости: одни движутся медленно, другие быстро, но большинство имеет скорости около наиболее вероятной. Закон связывает форму распределения с температурой и массой молекул, позволяет находить долю частиц в заданном диапазоне скоростей и сравнивать движение разных газов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределение Максвелла — закон, описывающий, какая доля молекул идеального газа имеет скорости разных значений при тепловом равновесии. Он нужен, чтобы вместо одной условной скорости описывать реальное движение огромного числа частиц. Распределение связывает движение молекул с температурой и их массой.
Функция распределения по скоростям — функция f(v), по которой находят долю молекул со скоростями в небольшом интервале. Доля частиц со скоростями от v до v + dv равна f(v)dv. По графику этой функции можно сравнивать, какие скорости встречаются чаще.
Наиболее вероятная скорость — значение скорости, при котором функция распределения достигает максимума. Это не скорость каждой молекулы, а центр наиболее многочисленной группы частиц. Она помогает быстро оценить характерную скорость газа.
Средняя квадратичная скорость — скорость, связанная со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Она определяется через среднее значение квадрата скорости и особенно удобна в формулах давления и энергии газа. Поэтому её не следует путать с обычным средним арифметическим скоростей.
Распределение Максвелла применяют к идеальному газу, в котором очень много хаотически движущихся молекул. Предполагается, что газ находится в тепловом равновесии: столкновения успевают перераспределить энергию между частицами. Кроме того, нет выделенного направления движения, поэтому газ в целом не движется как единое целое.
Распределение задаётся не одной скоростью, потому что молекулы сталкиваются и обмениваются энергией. После столкновения одна частица может ускориться, а другая — замедлиться. Поэтому одновременно существуют медленные, средние и быстрые молекулы, а закон показывает долю каждой группы.
В функции распределения есть множитель v². Причина в том, что скорость задаётся не только числом, но и направлением в пространстве скоростей. Для большей скорости существует больше наборов направлений, поэтому число возможных состояний сначала растёт пропорционально квадрату скорости.
Однако очень большие скорости встречаются всё реже. Кинетическая энергия такой молекулы равна mv²/2 и быстро увеличивается с ростом v. Вероятность состояния с большой энергией уменьшается экспоненциально, поэтому спад графика в правой части в конце концов пересиливает рост множителя v².
На графике наиболее вероятную скорость находят по абсциссе вершины кривой. Площадь под кривой между v₁ и v₂ равна доле молекул со скоростями в этом интервале, а вся площадь от нуля до бесконечности равна единице. При нагревании максимум смещается вправо, кривая расширяется и становится ниже; при увеличении массы при той же температуре характерные скорости уменьшаются.
В таблице собраны основные величины распределения и формулы для них. Сначала определите, какую именно скорость или долю частиц требует задача. Затем подставьте температуру в кельвинах, массу одной молекулы в килограммах и постоянную Больцмана k.
| Характеристика | Формула или способ определения | Физический смысл | Зависимость от температуры и массы |
|---|---|---|---|
| Функция распределения по скоростям | f(v) = 4π(m/(2πkT))3/2v² exp(−mv²/(2kT)) | Определяет долю молекул в интервале скоростей от v до v + dv | При повышении температуры график расширяется и смещается к большим скоростям |
| Наиболее вероятная скорость | vвер = √(2kT/m) | Скорость, при которой функция распределения максимальна | Растёт как √T и уменьшается как 1/√m |
| Средняя скорость | vср = √(8kT/(πm)) | Среднее арифметическое значений скоростей молекул | Всегда больше наиболее вероятной скорости |
| Средняя квадратичная скорость | vкв = √(3kT/m) | Характеризует среднюю кинетическую энергию движения молекул | Больше средней и наиболее вероятной скоростей |
| Нормировка распределения | ∫f(v)dv по всем положительным v равен 1 | Все молекулы распределены по некоторым значениям скорости | Не зависит от выбора температуры и массы при правильной нормировке |
Условие. Определить наиболее вероятную скорость молекул азота при температуре T, если известна масса одной молекулы m. Пусть T = 300 К, m = 4,65 · 10⁻²⁶ кг, k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К. Требуется получить скорость в метрах в секунду.
Ответ: vвер ≈ 423 м/с. Проверка здравого смысла: при комнатной температуре скорость молекул газа должна быть порядка сотен метров в секунду.
Условие. Сравнить распределения скоростей молекул одного газа при температурах 100 К и 900 К. Нужно определить, при какой температуре доля быстрых молекул больше, и учесть, что речь идёт о скоростях, лежащих правее характерного максимума.
Ответ: при 900 К доля быстрых молекул больше. Полные площади обеих кривых одинаковы, поскольку описывают одно и то же общее число молекул.
Условие. Сравнить скорости молекул водорода и азота при одинаковой температуре. Масса молекулы водорода меньше массы молекулы азота, поэтому нужно установить, какой газ имеет большие наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости.
Ответ: молекулы водорода в среднем движутся быстрее молекул азота. Это не означает большей средней энергии: при одинаковой температуре средняя кинетическая энергия определяется температурой, а меньшая масса компенсируется большей скоростью.
Одна общая скорость. Ошибка возникает, когда среднюю или наиболее вероятную скорость принимают за скорость каждой частицы. Проверьте себя: у распределения всегда есть ненулевой диапазон скоростей, а не одна точка.
Скорость и вектор скорости. Скорость не может быть отрицательной, потому что это модуль вектора. Отрицательным может быть направление проекции, но в распределении Максвелла рассматривают неотрицательное значение v.
Отождествление трёх скоростей. Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости вычисляются по разным правилам. Проверка проста: при одной температуре должно выполняться vвер < vср < vкв.
Рост полной площади при нагревании. Более высокий график не означает большее число молекул. При изменении температуры меняются форма и положение кривой, но площадь под ней остаётся равной единице.
Для понимания распределения нужны кинетическая энергия, температура, постоянная Больцмана, модель идеального газа и смысл средней скорости. Эти понятия позволяют связать микроскопическое движение частиц с измеряемой температурой.
Тема опирается на связь температуры со средней кинетической энергией и на вероятностное описание большого числа частиц. Отдельную молекулу предсказать трудно, но для газа можно надёжно определить доли молекул с разными скоростями.
Распределение используют при изучении давления газа, диффузии, испарения, эффузии и скоростей химических реакций. Во всех этих явлениях важно, сколько частиц обладает достаточной скоростью или энергией.
Почему у молекул одного газа не может быть одной общей скорости?
Молекулы постоянно сталкиваются и обмениваются энергией, поэтому их скорости всё время меняются. В состоянии равновесия устанавливается не одна скорость, а определённое распределение молекул по скоростям.
Чем наиболее вероятная скорость отличается от средней скорости?
Наиболее вероятная скорость соответствует вершине графика: около неё находится больше всего молекул. Средняя скорость получается усреднением скоростей всех молекул, поэтому она немного больше наиболее вероятной.
Почему при нагревании максимум распределения смещается вправо?
При повышении температуры увеличивается средняя кинетическая энергия молекул. Поэтому характерные скорости становятся больше, и максимум графика перемещается к большим значениям скорости.
Почему лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых при одинаковой температуре?
При одной температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения одинакова для разных газов. Из равенства энергии ½mv² следует: при меньшей массе для той же энергии нужна большая скорость.
Как по графику распределения определить долю молекул в заданном диапазоне скоростей?
Нужно найти площадь под графиком между двумя заданными скоростями. Эта площадь, если распределение нормировано, равна доле молекул с такими скоростями.
§ 4.6. Распределение Максвелла
