§ 4.7. Измерение скоростей молекул газа

Определения и обозначения

Молекулярный пучок — поток молекул, вылетающих из отверстия почти в одном направлении. Узкий пучок позволяет задать траекторию частиц и измерить время их пролёта по изменению положения следа. Это не означает, что молекулы летят строго параллельно: речь идёт о небольшом разбросе направлений.

Опыт Штерна — экспериментальный метод измерения скоростей молекул по смещению следа пучка на вращающемся экране. Пока частицы летят, экран успевает повернуться, поэтому след сдвигается относительно исходного положения. Измеренное смещение помогает восстановить время движения и скорость.

Средняя квадратичная скорость — величина, связанная с температурой газа формулой vкв = √(3kT/m), где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, а m — масса молекулы. Она характеризует движение множества молекул, а не скорость каждой из них. Формула позволяет оценить типичный масштаб скоростей по температуре и массе частиц.

Наиболее вероятная скорость — скорость, которой соответствует максимум числа молекул в распределении по скоростям. Это значит, что вблизи неё движется больше частиц, чем вблизи других значений скорости. Она нужна для описания распределения и не совпадает со средней квадратичной скоростью.

Как это устроено

Отдельную молекулу нельзя измерить привычным способом: она слишком мала, а её движение меняется при столкновениях с другими частицами. Поэтому опыт строят так, чтобы множество молекул оставило общий след, который можно наблюдать и измерять. Положение этого следа несёт сведения о движении частиц, хотя ни одну из них прибор не отслеживает по отдельности. Чем точнее удаётся выделить пучок и измерить след, тем надёжнее результат.

Вещество нагревают, чтобы часть его молекул получила достаточно энергии для выхода из источника. Из отверстия они разлетаются в разные стороны, поэтому за ним ставят узкую щель: она пропускает частицы лишь в небольшом диапазоне направлений. Так образуется молекулярный пучок с известным направлением движения. Щель не задаёт скорость молекул, а лишь делает их путь удобным для измерения.

Пучок направляют на цилиндр или диск, который вращается вокруг оси. За время пролёта от источника до экрана поверхность успевает сместиться, поэтому молекулы оставляют след не там, где он появился бы на неподвижной установке. Сравнение положений следа при вращении и без него даёт смещение x. Оно превращает короткое время полёта, которое трудно измерить непосредственно, в доступную измерению длину.

Связь смещения со скоростью получается из движения по окружности. За время t поверхность поворачивается на угол ωt, а точка на радиусе R проходит расстояние x = ωRt; значит, t = x/(ωR). Молекулы проходят расстояние L за то же время, поэтому v = L/t = LωR/x. Здесь L — расстояние пролёта, ω — угловая скорость вращения, R — радиус, x — смещение следа; результат выражается в метрах в секунду.

Молекулы одного газа движутся с разными скоростями, поэтому след складывается из вкладов частиц с неодинаковым временем пролёта и разными смещениями. Измерения дают не одну скорость для всего газа, а картину распределения: сколько молекул соответствует разным значениям. Это распределение сравнивают с теоретическим, зависящим от температуры и массы молекул. Средняя квадратичная скорость vкв = √(3kT/m) служит одной из характеристик такого движения, но её не следует путать с наиболее вероятной скоростью, соответствующей максимуму распределения.

Величины и этапы измерения скорости молекул методом Штерна

Сначала определите, какие величины заданы, и приведите их к согласованным единицам: метрам, секундам и радианам в секунду. Затем найдите время по смещению следа или сразу используйте итоговую формулу для скорости. Температуру и массу применяйте при сравнении эксперимента с теоретической оценкой, а не вместо измеренного смещения.

Разбор задач

Задача 1. Для установки заданы L = 0,10 м, R = 0,05 м, ω = 200 рад/с и смещение следа x = 0,020 м. Требуется определить скорость молекул. Все расстояния уже выражены в метрах, а угловая скорость — в радианах в секунду, поэтому можно подставлять значения в формулу v = LωR/x.

1. Запишем формулу: v = LωR/x.
2. Подставим данные: v = 0,10 · 200 · 0,05 / 0,020.
3. Вычислим: числитель равен 1, а 1 / 0,020 = 50 м/с.

Ответ: скорость молекул равна 50 м/с. Проверка единиц даёт м · (1/с) · м / м = м/с, как и должно быть для скорости. Значит, подстановка согласована с физическим смыслом величины.

Задача 2. Известны скорость молекул v, расстояние пролёта L, радиус цилиндра R и угловая скорость ω; нужно найти смещение следа. Здесь удобно не угадывать зависимость, а начать с времени движения: t = L/v. Затем использовать связь смещения с поворотом цилиндра x = ωRt.

1. Выразим время пролёта: t = L/v.
2. Подставим его в формулу следа: x = ωR(L/v).
3. Получим искомую зависимость: x = LωR/v.

Ответ: смещение равно LωR/v. При неизменных L, ω и R увеличение скорости уменьшает смещение, потому что молекулы проводят в пути меньше времени. Это позволяет проверить направление зависимости, прежде чем подставлять числа.

Задача 3. По измеренной скорости атомов серебра и их массе требуется оценить температуру источника и сравнить оценку со средней квадратичной скоростью. Если измеренная скорость считается наиболее вероятной, нельзя без оговорки подставлять её в формулу для средней квадратичной скорости. Для оценки сначала укажем, какую именно характерную скорость связываем с температурой.

1. Если измеренная скорость vпр — наиболее вероятная, используем vпр = √(2kT/m), откуда T = mvпр²/(2k).
2. Для средней квадратичной скорости применяем данную в теме связь vкв = √(3kT/m), откуда T = mvкв²/(3k).
3. Если известна только vпр, а нужна оценка через vкв, используем отношение vкв/vпр = √(3/2), полученное из этих формул для одного газа при одной температуре.

Ответ: температуру оценивают по формуле, соответствующей смыслу измеренной скорости; для наиболее вероятной скорости T = mvпр²/(2k). Затем результат сопоставляют с оценкой по средней квадратичной скорости, учитывая, что она больше наиболее вероятной. Для численного ответа нужны значения массы атома и измеренной скорости, которых в условии нет.

Типичные ошибки

Считать, что все молекулы газа имеют одну скорость, неверно: скорости распределены, и частицы движутся по-разному. Такое упрощение возникает, когда характерную скорость принимают за точную скорость каждой молекулы. Проверьте себя вопросом, описывает ли найденное значение одну частицу или группу молекул; опыт показывает распределение.

Путать смещение следа x с расстоянием пролёта L нельзя: первое возникает из-за вращения, второе молекулы проходят от источника к экрану. Обе величины измеряются длиной, поэтому их легко смешать, но в формуле они занимают разные места: v = LωR/x. Самопроверка проста: при большем L скорость при прочих равных должна быть больше, а при большем x — меньше.

Подстановка частоты вращения вместо угловой скорости без пересчёта даёт неверный результат. Частота ν показывает число оборотов в секунду, а в формуле нужна ω в радианах в секунду; между ними связь ω = 2πν. Если в условии даны герцы или обороты в секунду, сначала выполните переход и проверьте единицы.

Нельзя сравнивать наиболее вероятную скорость со средней квадратичной как с одной и той же величиной. Их путают, потому что обе характеризуют движение молекул, но максимум распределения и среднее квадратичное значение определяются по-разному. Проверьте название скорости в условии и используемую формулу: vкв = √(3kT/m), а наиболее вероятная скорость для распределения Максвелла равна √(2kT/m).

Связь с другими темами

Для понимания опыта нужны основное уравнение молекулярно-кинетической теории и связь температуры со средней кинетической энергией: они объясняют, почему температура связана с движением частиц. Движение по окружности помогает понять, как вращение экрана превращается в измеримое смещение. Эти идеи соединяют описание газа на уровне молекул с наблюдаемым результатом эксперимента.

Измерения Штерна подготавливают изучение распределения Максвелла и экспериментальной проверки молекулярно-кинетической теории. Опыт показывает, что теоретическое распределение можно сопоставить с реальными наблюдениями, а не только вывести математически. Это также пример того, как устройство измерения выбирают под свойства исследуемого объекта.

Общий принцип — определять время пролёта частицы по её пространственному смещению — встречается и в других методах исследования. В частности, он связан с масс-спектрометрией, где измеряют характеристики частиц по их движению в заданных условиях. Такие методы позволяют изучать объекты, которые невозможно наблюдать напрямую обычными приборами.

Что запомнить

• Скорости молекул измеряют не по движению одной молекулы, а по суммарному следу большого числа молекул.
• Узкая щель формирует направленный молекулярный пучок.
• В опыте Штерна вращение установки создаёт смещение следа молекул.
• Чем меньше скорость молекул, тем больше время пролёта и тем больше смещение следа.
• Скорость находят по геометрии установки, угловой скорости вращения и измеренному смещению: v = LωR/x.
• Молекулы одного газа при одной температуре имеют разные скорости.
• Экспериментальные результаты подтверждают кинетическую теорию газов и распределение молекул по скоростям.