§ 44. Измерение скоростей молекул газа

Определения и обозначения

Молекулярный пучок — поток молекул, движущихся преимущественно в одном направлении и проходящих через узкие отверстия. Отдельные частицы газа обычно летят хаотично, поэтому щели отбирают нужные направления. Это позволяет связать положение следа с движением молекул.

Опыт Штерна — экспериментальный метод измерения скоростей молекул по смещению следа молекулярного пучка на вращающейся поверхности. Пучок направляют от источника к приёмнику, который поворачивается во время полёта частиц. По изменению места осаждения восстанавливают время движения и скорость.

Скорость молекулы — величина, которую в опыте Штерна находят по пройденному молекулой пути и времени движения: v = l/t. Здесь l — путь, а t — время полёта. Поэтому нужно измерить или вычислить обе эти величины, а не только положение следа.

Средняя скорость молекул — среднее значение модулей скоростей множества молекул. В опыте результат относится к частицам, образующим наблюдаемый след, а не к абсолютно всем молекулам газа. Это связано с тем, что скорости частиц распределены и не совпадают.

Как это устроено

Нагревание вещества увеличивает энергию движения его частиц, и часть атомов покидает поверхность, испаряясь. Однако испарившиеся атомы летят в разных направлениях, поэтому такой поток нельзя напрямую использовать для измерения скорости вдоль одной линии. Узкие щели пропускают только частицы, летящие в подходящих направлениях, и образуют более упорядоченный молекулярный пучок.

В опыте Штерна пучок проходит от источника к приёмнику внутри вращающегося цилиндра. Приёмник нужен для того, чтобы атомы оставили заметный след в месте попадания, а цилиндр создаёт изменяющуюся систему отсчёта. Если бы частицы двигались мгновенно, поворот цилиндра не успел бы повлиять на результат.

Пока атомы летят, цилиндр поворачивается на некоторый угол. Поэтому поверхность приёмника перемещается относительно траектории частиц, и атомы осаждаются в стороне от положения, соответствующего неподвижному цилиндру. Чем дольше длится полёт, тем больше успевает повернуться цилиндр и тем заметнее может быть смещение следа.

Угловая скорость цилиндра показывает, какой угол он проходит за единицу времени: ω = φ/t. Измерив угол поворота φ и зная ω, находят время полёта t = φ/ω. Затем по геометрии установки определяют путь атома l и вычисляют скорость по формуле v = l/t.

Не все атомы имеют одинаковую скорость, потому что тепловое движение является хаотичным, а столкновения постоянно изменяют скорости частиц. Поэтому быстрые и медленные атомы за одно и то же время попадают в разные места или по-разному формируют след. Измерение характеризует группу частиц, связанную с наблюдаемой областью приёмника, а не единственную скорость всего газа.

Величины, по которым измеряют скорость молекул в опыте Штерна

Сначала определяют величины, относящиеся к вращению: угол поворота и угловую скорость. Затем по ним находят время полёта, а по геометрии и смещению следа — путь атомов. После этого используют формулу v = l/t; смещение s не всегда равно пути l.

Разбор задач

Задача 1

Пучок атомов проходит расстояние 0,20 м за 0,001 с. Требуется найти скорость атомов. Здесь уже известны путь и время, поэтому дополнительных сведений об установке не требуется.

1. Записываем формулу скорости: v = l/t.
2. Подставляем значения: v = 0,20 м / 0,001 с.
3. Получаем v = 200 м/с.

Ответ: скорость атомов равна 200 м/с.

Задача 2

Цилиндр вращается с угловой скоростью 80 рад/с и за время полёта атомов поворачивается на 0,16 рад. Нужно найти продолжительность полёта. Используем связь между углом, угловой скоростью и временем, потому что частицы движутся, пока цилиндр успевает повернуться.

1. Выражаем время: t = φ/ω.
2. Подставляем данные: t = 0,16 рад / 80 рад/с.
3. Радианы сокращаются, и получаем t = 0,002 с.

Ответ: время полёта атомов равно 0,002 с.

Задача 3

В опыте известны радиус приёмника, угловая скорость цилиндра и смещение следа. Требуется определить скорость атомов и объяснить, как использовать смещение. Одного значения s недостаточно: нужно перевести его в путь атома с помощью геометрии конкретной установки.

1. По радиусу и смещению находят угол, соответствующий сдвигу, или непосредственно вычисляют путь l по схеме приёмника.
2. По углу поворота цилиндра φ и угловой скорости находят время: t = φ/ω.
3. Подставляют найденные величины в формулу v = l/t.

Ответ: скорость находят как отношение геометрически определённого пути атома к времени его полёта; само смещение следа путём считать нельзя.

Типичные ошибки

Одинаковая скорость всех молекул. Так считают, потому что в задаче часто приводится одно значение скорости. На самом деле частицы имеют распределение скоростей; проверьте, относится ли результат к группе атомов, образовавших данный след.

Путаница скорости цилиндра и скорости молекул. Обе величины связаны с движением, поэтому их иногда смешивают. У цилиндра угловая скорость ω, а у атома линейная скорость v; проверьте единицы: рад/с и м/с.

Смещение принимают за путь атома. Ошибка возникает, когда не учитывают, что след сдвигается из-за вращения приёмника. Сначала восстановите путь по геометрии установки, а уже затем используйте v = l/t.

Угол берут в градусах без перевода. Если угловая скорость дана в рад/с, подстановка градусов нарушает согласованность единиц. Переведите угол в радианы или выразите угловую скорость в градусах за секунду.

Связь с другими темами

Для понимания опыта нужны формулы равномерного движения: скорость равна отношению пути ко времени, v = l/t. Эти знания позволяют перейти от наблюдаемого движения атомов к количественному результату.

Также используется равномерное вращение. Угловая скорость связана с углом поворота и временем формулой ω = φ/t, поэтому по вращению цилиндра определяют продолжительность полёта частиц.

Измерение скоростей молекул связано с молекулярно-кинетической теорией. Оно помогает изучать тепловое движение и распределение молекул газа по скоростям.

Что запомнить

• Направленный молекулярный пучок получают с помощью узких отверстий.
• В опыте Штерна скорость молекул находят по смещению следа.
• Смещение возникает потому, что приёмник вращается во время полёта атомов.
• Время полёта определяют по повороту цилиндра и его угловой скорости.
• Скорость находят как отношение пути молекулы ко времени полёта.
• Молекулы газа имеют разные скорости.