"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Температура газа связана со средней кинетической энергией хаотически движущихся молекул: чем она выше, тем в среднем быстрее движутся частицы. Для идеального одноатомного газа эта связь выражается формулой ⟨Eк⟩ = 3/2 kT, где T измеряется в кельвинах, а k — постоянная Больцмана. Формула помогает находить энергию молекул и температуру, а также сравнивать тепловое движение частиц в разных состояниях газа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Температура — мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул; её обозначают T и измеряют в кельвинах (К). Температура показывает, насколько интенсивно в среднем движутся частицы вещества. Поэтому она описывает состояние множества молекул, а не движение какой-то одной из них.
Абсолютная температура — температура, отсчитываемая по шкале Кельвина. С температурой Цельсия t она связана соотношением T = t + 273,15. Эта величина нужна в формулах молекулярно-кинетической теории: нулю шкалы Кельвина соответствует абсолютный нуль.
Средняя кинетическая энергия — среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, обозначаемое ⟨Eк⟩. Скобки означают усреднение по большому числу молекул. Средняя величина удобна потому, что скорости частиц не одинаковы, а состояние газа описывают целиком.
Постоянная Больцмана — коэффициент k, связывающий среднюю энергию одной молекулы с абсолютной температурой. Её значение приблизительно равно 1,38·10⁻²³ Дж/К. Благодаря этой постоянной температуру можно выразить через энергию частиц, а энергию — через температуру.
Молекулы газа непрерывно движутся и сталкиваются между собой и со стенками сосуда. Направления их движения меняются беспорядочно, поэтому движение называют хаотическим. После столкновений скорость каждой частицы может измениться, и в один и тот же момент молекулы имеют разные скорости и кинетические энергии.
Если следить за одной молекулой, её энергия будет зависеть от её текущей скорости и столкновений. Но газ состоит из огромного числа частиц, и отдельная молекула не представляет его состояние в целом. Усреднение сглаживает случайные различия и позволяет связать температуру с характерной энергией частиц всего газа.
В модели идеального газа взаимодействием молекул пренебрегают, а их движение рассматривают как поступательное. По каждому из трёх взаимно перпендикулярных направлений в среднем приходится энергия ½ kT. Складывая вклады по направлениям, получаем ⟨Eк⟩ = ½ kT + ½ kT + ½ kT = 3/2 kT. Так возникает зависимость средней кинетической энергии поступательного движения от абсолютной температуры.
При нагревании газа средняя кинетическая энергия молекул возрастает, поэтому возрастает и их средняя скорость. Однако это не означает, что каждая частица движется одинаково быстро: одни молекулы в данный момент быстрее, другие медленнее. Для молекул одного и того же газа средняя квадратичная скорость пропорциональна √T, то есть при увеличении температуры в четыре раза она возрастает в два раза.
В формуле ⟨Eк⟩ = 3/2 kT температура должна быть выражена в кельвинах, поскольку шкала Кельвина начинается с абсолютного нуля и прямо связана с энергией теплового движения. Градусы Цельсия имеют другой нуль, поэтому подстановка числа в °C даёт неверную энергию. Абсолютный нуль равен 0 K, или −273,15 °C; в классической модели идеального газа при нём средняя энергия поступательного движения равна нулю.
| Величина | Обозначение | Единица измерения | Физический смысл | Связь с другими величинами |
|---|---|---|---|---|
| Абсолютная температура | T | К | Температура по шкале Кельвина | Входит в формулу ⟨Eк⟩ = 3/2 kT |
| Температура по шкале Цельсия | t | °C | Температура относительно нуля шкалы Цельсия | T = t + 273,15 |
| Средняя кинетическая энергия молекул | ⟨Eк⟩ | Дж | Среднее значение энергии поступательного движения частиц | ⟨Eк⟩ = 3/2 kT |
| Постоянная Больцмана | k | Дж/К | Коэффициент связи температуры с энергией одной молекулы | k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К |
| Связь температурных шкал | T, t | К, °C | Перевод из одной шкалы в другую | T = t + 273,15 |
| Зависимость средней энергии от температуры | ⟨Eк⟩, T | Дж, К | При росте T средняя энергия растёт в той же пропорции | ⟨Eк⟩ ∝ T |
Сначала определите, какая величина дана и в каких единицах она выражена. Если температура указана в градусах Цельсия, переведите её в кельвины, прежде чем находить энергию. Для сравнения состояний достаточно помнить, что средняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре.
Найдём среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального одноатомного газа при T = 300 К. Используем k = 1,38·10⁻²³ Дж/К и формулу ⟨Eк⟩ = 3/2 kT. Температура уже дана в кельвинах, поэтому переводить её не требуется.
Ответ: средняя кинетическая энергия равна 6,21·10⁻²¹ Дж.
Пусть средняя кинетическая энергия молекул равна 4,14·10⁻²¹ Дж. Требуется определить температуру газа. Поскольку энергия дана для одной молекулы в среднем, используем ту же связь для идеального одноатомного газа и выразим из неё T.
Ответ: температура газа равна 200 К. Единица получается в кельвинах, так как Дж делится на Дж/К.
Сравним средние энергии и средние квадратичные скорости молекул одного и того же газа при температурах 250 К и 500 К. Температура во втором случае вдвое выше. Для энергии используем прямую пропорциональность T, а для средней квадратичной скорости — пропорциональность √T.
Ответ: энергии относятся как 2:1, скорости — как √2:1.
Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов приводит к неверному результату, потому что формула связывает энергию с абсолютной температурой. Так ошибаются, когда не замечают различия между шкалами. Перед вычислением проверь единицу температуры и при необходимости используй T = t + 273,15.
Отождествление температуры со скоростью или энергией одной молекулы смешивает среднюю характеристику газа с параметром отдельной частицы. Ошибка возникает из-за привычки представлять вещество через одну частицу. Проверь себя: в формуле стоит ⟨Eк⟩, то есть среднее значение по множеству молекул.
Если забыть множитель 3/2 и записать ⟨Eк⟩ = kT, получится неправильный вклад от поступательного движения по трём направлениям. Часто помнят постоянную Больцмана и температуру, но упускают число степеней свободы. Проверь вывод: складываются три вклада по ½ kT, поэтому коэффициент равен 3/2.
Нельзя утверждать, что все молекулы при данной температуре имеют одинаковую кинетическую энергию. Молекулы движутся хаотически и сталкиваются, поэтому их скорости в каждый момент различаются. Проверь смысл найденного значения: формула даёт среднюю энергию, а не энергию каждой отдельной частицы.
Для понимания темы нужны представления о строении вещества, модели идеального газа и кинетической энергии, а также умение переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины. Связь средней энергии частиц с температурой помогает объяснить давление идеального газа и вывести основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Позже она пригодится при изучении уравнения состояния, тепловых процессов и распределения молекул по скоростям.
Почему температура не равна кинетической энергии одной молекулы?
Скорости молекул газа различаются и постоянно меняются при столкновениях. Поэтому температуру связывают со средней кинетической энергией множества молекул, а не с энергией одной частицы.
Можно ли подставлять в формулу температуру в градусах Цельсия?
Нет, в формуле ⟨Eк⟩ = 3/2 kT нужна абсолютная температура в кельвинах. Переведите градусы Цельсия по формуле T = t + 273,15.
Почему в формуле средней кинетической энергии появляется множитель 3/2?
Поступательное движение молекулы возможно вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений. На каждое направление в среднем приходится энергия ½ kT, поэтому сумма равна 3/2 kT.
Что происходит со средней кинетической энергией молекул при абсолютном нуле?
В рамках классической модели идеального газа при T = 0 K средняя кинетическая энергия поступательного движения равна нулю. Абсолютный нуль — нижний предел температуры в этой модели; реальные квантовые системы могут сохранять остаточную энергию.
Одинакова ли кинетическая энергия у всех молекул газа при одной температуре?
Нет, молекулы имеют разные скорости, а значит, и разные кинетические энергии. Формула задаёт среднюю энергию большого числа частиц, а не значение для каждой из них.
§ 43. Температура и средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул
