"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории объясняет, как движение отдельных молекул создаёт давление газа. Оно связывает давление с концентрацией частиц, массой одной молекулы и средней квадратичной скоростью. Из этой формулы можно выразить также среднюю кинетическую энергию молекул или плотность газа. Уравнение помогает перейти от микроскопической картины газа к измеряемым величинам и решать задачи о его свойствах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное уравнение МКТ имеет вид p = ⅓·n·m₀·⟨v²⟩. Оно связывает давление идеального газа с числом молекул в объёме, массой одной молекулы и характером её движения. Формула нужна, чтобы объяснить измеряемое давление через свойства частиц газа.
Концентрация молекул n — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, а V — объём. Её единица измерения в СИ — м⁻³. Эта величина показывает, сколько частиц участвует в создании давления в каждом кубическом метре газа.
Средняя квадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей: vкв = √⟨v²⟩. Сначала квадраты скоростей усредняют, и только потом извлекают корень. Это не среднее арифметическое скоростей; такая величина нужна, поскольку давление зависит от квадратов скоростей молекул.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Здесь учитывается именно энергия движения молекулы как целого, а не энергия вращения или колебаний её частей. Через эту величину удобно описывать, насколько интенсивно в среднем движутся молекулы газа.
Молекулы газа движутся беспорядочно и постоянно сталкиваются со стенками сосуда. При столкновении молекула меняет импульс, то есть величину, связанную с её массой и скоростью. Стенка получает противоположное изменение импульса, поэтому на неё действует сила; сумма множества ударов за время создаёт давление на площадь стенки.
Чтобы получить количественную связь, представим молекулы в кубическом сосуде и рассмотрим удары о одну его стенку. При упругом ударе о стенку меняется составляющая скорости, направленная перпендикулярно ей, тогда как параллельные составляющие не меняются. Для молекулы с перпендикулярной составляющей скорости vₓ изменение импульса по модулю связано с 2m₀vₓ. Между ударами молекула пересекает сосуд и снова возвращается к той же стенке, поэтому можно оценить среднюю передачу импульса за время.
Движение молекул хаотично: в среднем ни одно направление не выделено. Поэтому средние квадраты составляющих скорости по трём осям одинаковы, а сумма этих трёх средних равна ⟨v²⟩. На перпендикулярную выбранной стенке ось приходится треть суммы, то есть ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3. Именно это усреднение и даёт коэффициент ⅓ в основном уравнении.
Итоговая формула p = ⅓·n·m₀·⟨v²⟩ показывает, от чего зависит давление. Если в том же объёме больше молекул, то стенка получает больше ударов; если молекулы движутся быстрее, каждый удар в среднем сильнее. Поэтому увеличение концентрации или среднего квадрата скорости повышает давление при прочих равных условиях.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения равна ⟨Eₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2, откуда m₀⟨v²⟩ = 2⟨Eₖ⟩. Подстановка в уравнение даёт p = ⅔·n·⟨Eₖ⟩. Эта форма говорит, что давление определяется числом молекул в единице объёма и энергией их поступательного движения в среднем.
Если газ имеет массу M и молярную массу μ, можно перейти к плотности — массе газа в единице объёма. Масса одной молекулы равна m₀ = μ/Nₐ, а концентрация — n = N/V, где Nₐ — постоянная Авогадро. Поэтому произведение n·m₀ = (N/V)·(M/N) = M/V = ρ, и уравнение принимает вид p = ⅓·ρ·⟨v²⟩.
| Форма записи | Используемые величины | Физический смысл |
|---|---|---|
| p = ⅓·n·m₀·⟨v²⟩ | Концентрация n, масса молекулы m₀, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ | Связь давления с движением отдельных молекул |
| p = ⅔·n·⟨Eₖ⟩ | Концентрация n, средняя кинетическая энергия ⟨Eₖ⟩ | Давление определяется концентрацией и средней энергией поступательного движения |
| p = ⅓·ρ·⟨v²⟩ | Плотность газа ρ, средний квадрат скорости ⟨v²⟩ | Связь давления с макроскопической плотностью газа и движением молекул |
Выбирай строку по тем данным, которые известны в задаче: микроскопические величины, энергия или плотность. Все три записи выражают одно и то же уравнение, поэтому при необходимости можно перейти от одной формы к другой. Проверь, что обозначение скорости означает среднеквадратичную величину, если в формуле вместо ⟨v²⟩ записано vкв².
Концентрация молекул равна 2,0·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы — 4,0·10⁻²⁶ кг, средняя квадратичная скорость — 500 м/с. Нужно найти давление газа. Все данные уже выражены в единицах СИ, поэтому можно сразу использовать микроскопическую форму уравнения.
Ответ: давление газа приблизительно равно 6,7·10⁴ Па. При проверке размерностей произведение концентрации и массы молекулы даёт кг/м³, а после умножения на м²/с² получается кг/(м·с²), то есть паскаль.
Давление газа равно 1,0·10⁵ Па, концентрация — 2,5·10²⁵ м⁻³. Требуется определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Масса отдельной молекулы в условии не дана, поэтому удобнее взять форму уравнения, в которой энергия уже выделена.
Ответ: средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна 6,0·10⁻²¹ Дж. Единица получается в джоулях, поскольку давление, делённое на концентрацию, имеет размерность энергии.
Плотность газа равна 0,80 кг/м³, давление — 1,2·10⁵ Па. Нужно найти среднюю квадратичную скорость молекул. В условии даны макроскопические величины, поэтому сразу применяем форму уравнения через плотность, не вводя массу одной молекулы и концентрацию.
Ответ: средняя квадратичная скорость молекул приблизительно равна 670 м/с. Перед извлечением корня полезно проверить, что в правой части получились квадратные метры в секунду, а итоговая скорость выражена в м/с.
Подмена средней квадратичной скорости средней скоростью. Так делают, потому что обе величины характеризуют скорость движения, но в уравнении присутствует ⟨v²⟩. В общем случае ⟨v²⟩ не равно ⟨v⟩²: проверь, что ты сначала учёл квадрат скорости, а корень извлекаешь только в конце.
Потеря множителя ⅓ или замена его на ½. Можно спутать этот коэффициент с множителями из формулы кинетической энергии. Здесь ⅓ появляется при распределении движения по трём осям, а ½ относится к энергии. Для самопроверки выведи, какая часть среднего квадрата скорости приходится на одну ось.
Вместо массы молекулы подставляют массу всего газа. Это происходит из-за одинакового обозначения словом «масса», однако микроскопическая формула содержит именно m₀. Сверь единицы и смысл данных: массу газа можно использовать при переходе к плотности ρ, но не вместо массы одной частицы.
Ошибки с единицами и квадратным корнем. Если концентрация дана не в м⁻³ или скорость не в м/с, подстановка без перевода меняет результат; при извлечении корня легко забыть его единицу. Переведи величины в СИ до вычисления и проверь, что давление получилось в паскалях, а скорость — в м/с.
Для вывода уравнения нужны импульс тела, изменение импульса при упругом ударе и определение давления как силы на единицу площади. Также используются понятия идеального газа, хаотического теплового движения, концентрации и средней кинетической энергии молекул. Основное уравнение МКТ связывает микроскопическое описание газа с уравнением его состояния и помогает понять, почему температура связана со средней кинетической энергией молекул.
Почему молекулы газа создают давление на стенки сосуда?
Молекулы непрерывно и хаотично движутся и сталкиваются со стенками. При каждом ударе их импульс изменяется, поэтому стенка получает импульс и на неё действует сила. Сила, приходящаяся на единицу площади, и есть давление.
Откуда в основном уравнении МКТ появляется коэффициент 1/3?
Молекулы движутся во всех направлениях, и в среднем движение одинаково распределено по трём взаимно перпендикулярным осям. На одну выбранную ось приходится треть среднего квадрата скорости. Поэтому при вычислении давления появляется множитель 1/3.
Чем средняя квадратичная скорость отличается от средней скорости?
Среднюю квадратичную скорость находят так: сначала возводят скорости молекул в квадрат, затем усредняют и извлекают квадратный корень. Это не среднее арифметическое скоростей. В уравнении МКТ используется именно средний квадрат скорости, а не квадрат средней скорости.
Как связаны давление газа и средняя кинетическая энергия его молекул?
Связь задаётся формулой p = ⅔·n·⟨Eₖ⟩, где n — концентрация молекул, а ⟨Eₖ⟩ — их средняя кинетическая энергия поступательного движения. При неизменной концентрации давление тем больше, чем больше средняя энергия молекул.
Можно ли использовать основное уравнение МКТ, если молекулы движутся не хаотично?
В стандартном виде уравнение предполагает хаотическое движение, при котором направления молекулярных скоростей равноправны в среднем. Если у газа есть упорядоченное движение, например общий поток, его нужно отделить от теплового движения. Формулу применяют к хаотической составляющей движения.
§ 42. Основное уравнение МКТ
