"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Идеальный газ — модель, которая позволяет описывать свойства газа с помощью нескольких величин: давления, объёма, температуры и количества вещества. Их связывает уравнение Менделеева — Клапейрона pV = νRT. Оно помогает находить неизвестную величину и понимать, как меняется состояние газа при нагревании, сжатии или расширении. Для расчётов температуру обязательно выражают в кельвинах, а остальные единицы согласуют с выбранным значением газовой постоянной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель, в которой собственным объёмом молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, а столкновения молекул считают упругими. Это не описание любого газа во всех условиях, а удобное приближение: оно хорошо работает, когда молекулы расположены далеко друг от друга. Модель помогает применять простые формулы и объяснять наблюдаемые изменения давления, объёма и температуры.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём и абсолютную температуру при заданном количестве вещества. Давление показывает, насколько интенсивно газ действует на стенки сосуда, а объём и температура характеризуют состояние газа с других сторон. По уравнению можно вычислить одну величину, если известны остальные и количество газа не меняется.
Уравнение Менделеева — Клапейрона записывают так: pV = νRT. Здесь p — давление, V — объём, T — абсолютная температура, ν — количество вещества, а R — универсальная газовая постоянная. Эта запись удобна тем, что сразу связывает характеристики газа на макроскопическом уровне и позволяет решать задачи на нахождение неизвестной величины.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент пропорциональности в уравнении состояния; её значение около 8,31 Дж/(моль·К). Она одинакова для разных идеальных газов и задаёт связь между давлением, объёмом, количеством вещества и температурой. Это значение используют, когда величины подставляют в согласованных единицах СИ.
Вывод уравнения начинается с основного уравнения молекулярно-кинетической теории: давление связано с концентрацией молекул и их средней кинетической энергией. Концентрация показывает, сколько молекул приходится на единицу объёма. Температура характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул, поэтому при нагревании молекулы в среднем движутся быстрее и сильнее действуют на стенки. В результате давление зависит и от числа частиц в единице объёма, и от температуры.
Концентрацию можно выразить через общее число молекул N и объём V: n = N/V. Если то же количество молекул распределить в большем объёме, концентрация станет меньше, а значит, при той же температуре давление уменьшится. Если объём уменьшить, молекулы чаще сталкиваются со стенками, и давление возрастает. Так микроскопическое описание через молекулы связывается с измеряемыми величинами.
Число молекул связано с количеством вещества: N = νNA, где NA — постоянная Авогадро, показывающая число частиц в одном моле. Подставив эту связь в выражение для концентрации и затем в формулу давления, получают зависимость, в которой участвуют ν, V и T. Постоянные коэффициенты объединяют в универсальную газовую постоянную R. Так получают уравнение состояния pV = νRT, называемое уравнением Менделеева — Клапейрона.
При неизменном количестве газа уравнение описывает связь между изменениями давления, объёма и температуры. Например, если газ нагревают в жёстком закрытом сосуде, объём и количество вещества остаются прежними, поэтому растёт давление. Если давление поддерживают постоянным, нагревание сопровождается увеличением объёма. В общем случае изменение одной величины должно сопровождаться изменением хотя бы одной из двух других, чтобы равенство pV = νRT сохранялось.
В уравнение подставляют только абсолютную температуру в кельвинах, потому что формула связывает температуру с энергией движения молекул, отсчитываемой от абсолютного нуля. Давление выражают в паскалях, объём — в кубических метрах, количество вещества — в молях. Тогда значение R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) согласуется с единицами остальных величин. Если в условии даны литры, килопаскали или градусы Цельсия, их сначала переводят в эти единицы.
| Величина | Обозначение | Единица СИ | Смысл |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Па | Сила действия газа на единицу площади стенки |
| Объём газа | V | м³ | Пространство, занимаемое газом |
| Абсолютная температура | T | К | Мера средней кинетической энергии молекул |
| Количество вещества | ν | моль | Мера числа частиц газа |
| Универсальная газовая постоянная | R | Дж/(моль·К) | Коэффициент в уравнении состояния |
| Уравнение состояния | pV = νRT | — | Связывает параметры газа при заданном количестве вещества |
Перед подстановкой выпиши известные величины и сверь их единицы со столбцом «Единица СИ». По смыслу обозначений можно определить, какую величину требуется выразить из уравнения. Если условия задачи задают постоянными отдельные параметры, это также следует отметить до вычислений.
Газ количеством 2 моль находится при температуре 300 К в сосуде объёмом 0,05 м³. Найти давление. Количество вещества, объём и температура уже заданы в подходящих единицах, поэтому достаточно выразить давление из уравнения состояния. Используем R = 8,31 Дж/(моль·К).
Ответ: p = 99 720 Па ≈ 99,7 кПа.
В баллоне объёмом 10 л находится газ при давлении 200 кПа и температуре 27 °C. Найти количество вещества. Сначала переводим данные в единицы СИ: иначе результат не будет согласован с R. Затем выражаем ν из уравнения Менделеева — Клапейрона.
Ответ: количество вещества газа примерно равно 0,80 моль.
Газ в закрытом сосуде нагрели от 300 К до 450 К. Начальное давление равно 100 кПа, объём сосуда не меняется. Закрытый сосуд содержит ту же массу газа, поэтому количество вещества постоянно; объём также постоянен. Сравним уравнение состояния для начального и конечного состояний.
Ответ: конечное давление равно 150 кПа.
Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов даёт неправильный результат, потому что нулевая точка шкалы Цельсия не соответствует отсутствию теплового движения. Так ошибаются, когда переписывают данные из условия без проверки формулы. Перед расчётом найди T по правилу T = t + 273,15.
Литры и килопаскали нельзя напрямую подставлять вместе с R = 8,31 Дж/(моль·К): это значение рассчитано для единиц СИ. Ошибку легко пропустить, если числа выглядят удобными и вычисление выполняется быстро. Проверь единицы и переведи литры в м³, а килопаскали — в Па.
Иногда уравнение считают связью только двух величин, забывая, что в нём есть и количество вещества ν. Такое упрощение допустимо при сравнении состояний одной и той же массы газа, поскольку ν тогда постоянно и сокращается. Чтобы проверить рассуждение, запиши исходное уравнение полностью и укажи, какое условие позволяет убрать ν.
При переходе между состояниями можно ошибочно принять объём или давление неизменными без основания. Это происходит, если считать, что сосуд всегда жёсткий или газ всегда находится под постоянным давлением. Проверь условие задачи: постоянство объёма следует из указания на закрытый жёсткий сосуд, а постоянство давления должно быть задано отдельно.
Для вывода уравнения нужны основное уравнение молекулярно-кинетической теории, понятия давления и температуры, а также связь количества вещества с числом молекул. Представление о температуре как характеристике средней энергии движения частиц объясняет микроскопическое происхождение формулы. Уравнение состояния применяют при изучении изопроцессов — изменений состояния газа при постоянной температуре, давлении или объёме. Оно также помогает решать задачи, где требуется сравнить начальное и конечное состояния газа.
Почему в уравнение нельзя подставлять температуру в градусах Цельсия?
Уравнение использует абсолютную температуру: её отсчёт начинается от абсолютного нуля, а не от точки замерзания воды. Переведи градусы Цельсия в кельвины по формуле T = t + 273,15.
Как понять, какое значение универсальной газовой постоянной использовать?
Значение R выбирают так, чтобы единицы давления и объёма соответствовали единицам в уравнении. Для давления в паскалях и объёма в кубических метрах используют R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
Можно ли применять уравнение состояния, если количество газа меняется?
Да, уравнение pV = νRT применимо и тогда, когда количество вещества ν меняется, но его нужно знать или находить. При сравнении двух состояний без учёта количества газа формула с сокращением ν подходит только для одной и той же массы газа.
Как получить уравнение связи давления и температуры при постоянном объёме?
Запиши уравнение pV = νRT для начального и конечного состояний одной и той же массы газа. При постоянных V и ν отношение давления к абсолютной температуре не меняется: p₁/T₁ = p₂/T₂.
Почему в задачах нужно переводить литры в кубические метры?
Значение R ≈ 8,31 Дж/(моль·К) согласовано с единицами СИ, где объём выражают в кубических метрах, а давление — в паскалях. Если подставить литры без перевода, расчёт даст неверный результат.
§ 41. Уравнение состояния идеального газа
