"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Внутренняя энергия идеального газа — это энергия хаотического движения его молекул. В модели идеального газа их взаимодействием пренебрегают, поэтому для одноатомного газа энергию можно найти по температуре: U = 3νRT/2. Та же величина выражается через число молекул или, с помощью уравнения состояния, через давление и объём. Знание этих связей помогает рассчитывать, как меняется энергия газа при нагревании и охлаждении, и применять её при изучении тепловых процессов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренняя энергия идеального газа — суммарная кинетическая энергия хаотического движения его молекул; потенциальной энергией их взаимодействия пренебрегают. Иначе говоря, в этой модели учитывают энергию движения частиц, а не их притяжения или отталкивания. Такое упрощение позволяет связать внутреннюю энергию с температурой.
Одноатомный идеальный газ — модель газа, молекулы которого состоят из одного атома и имеют три степени свободы поступательного движения. Это значит, что атом может перемещаться вдоль трёх независимых направлений. Именно для такого газа получают простую формулу U = 3νRT/2.
Число степеней свободы — количество независимых способов, которыми молекула может двигаться или вращаться и запасать энергию. Например, поступательное движение в пространстве связано с тремя направлениями. Понятие нужно, чтобы учитывать, сколько видов движения вносит вклад во внутреннюю энергию.
В формулах используют R — универсальную газовую постоянную, k — постоянную Больцмана, а ν — количество вещества. Постоянная k связывает температуру со средней энергией одной молекулы, а R — температуру с энергией количества вещества. Эти обозначения помогают перейти от описания отдельных молекул к описанию всего газа.
Реальные молекулы взаимодействуют друг с другом, но в модели идеального газа их считают точечными частицами, а взаимодействие учитывают только во время столкновений. Если молекулы далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия мала по сравнению с кинетической энергией движения. Поэтому при вычислении внутренней энергии идеального газа достаточно сложить энергии движения молекул. Это упрощение делает связь энергии с температурой прямой.
Температура характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического движения частиц: чем быстрее в среднем движутся молекулы, тем выше температура. Для поступательного движения в трёх измерениях средняя энергия одной молекулы равна ε̄ = 3kT/2. Число 3 связано с тремя независимыми направлениями движения, а множитель 1/2 возникает при расчёте энергии движения по каждому направлению. В формуле T обязательно выражают в кельвинах.
Энергия всего газа получается сложением энергий всех его молекул. Если их N, то для одноатомного газа U = Nε̄ = 3NkT/2. Количество вещества ν связано с числом молекул соотношением N = νNₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро, а R = Nₐk. Поэтому ту же формулу можно записать как U = 3νRT/2. Такой переход позволяет считать энергию по количеству вещества, не находя число каждой молекулы.
В полученном выражении для заданного количества газа есть только температура и постоянные величины. Объём и давление могут меняться, но сами по себе они не задают внутреннюю энергию: при неизменной температуре энергия одноатомного идеального газа остаётся той же. Если состояние газа описано через давление и объём, температуру можно найти из уравнения pV = νRT. Тогда формула энергии принимает вид U = 3pV/2, но это не означает, что энергия зависит от p и V независимо от состояния газа.
У молекул, состоящих из нескольких атомов, могут быть дополнительные способы движения: вращение и колебания. Каждый учитываемый независимый способ движения добавляет вклад в энергию, поэтому трёх степеней свободы поступательного движения уже недостаточно. В простом случае, когда учитываются f степеней свободы, внутренняя энергия равна U = fνRT/2. Значение f зависит от вида молекул и условий, поэтому формулу одноатомного газа нельзя автоматически применять к любому газу.
| Случай или величина | Формула | Что означает |
|---|---|---|
| Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы | ε̄ = 3kT/2 | Энергия движения одной молекулы в среднем |
| Внутренняя энергия одноатомного идеального газа | U = 3νRT/2 | Энергия движения молекул заданного количества газа |
| Выражение через число молекул | U = 3NkT/2 | Формула, если известно число молекул N |
| Выражение через количество вещества | U = 3νRT/2 | Формула, если известно количество вещества ν |
| Зависимость внутренней энергии от температуры | ΔU = 3νRΔT/2 | Изменение энергии при изменении температуры |
Выбирай строку по тем величинам, которые известны в условии: например, N для числа молекул или ν для количества вещества. Для расчёта изменения энергии используй изменение температуры ΔT, а не конечную температуру отдельно. В формулах с R количество вещества указывают в молях, температуру — в кельвинах.
Условие. Найдите внутреннюю энергию 2 моль одноатомного идеального газа при температуре 300 °C. Используйте R = 8,31 Дж/(моль·К). Сначала нужно перевести температуру, потому что формула применима только к абсолютной температуре.
Ответ: U ≈ 1,43 · 10⁴ Дж. При подстановке важно не оставлять температуру в градусах Цельсия, иначе энергия будет рассчитана неверно.
Условие. Температура 3 моль одноатомного газа повысилась на 20 К. Найдите изменение его внутренней энергии, если R = 8,31 Дж/(моль·К). Для изменения энергии важна разность температур, а не начальная или конечная температура по отдельности.
Ответ: ΔU ≈ +748 Дж. Если бы температура уменьшилась на 20 К, величина изменения имела бы такой же модуль, но отрицательный знак.
Условие. Одноатомный идеальный газ занимает объём 0,020 м³ при давлении 1,0 · 10⁵ Па. Найдите внутреннюю энергию. Количество вещества не задано, поэтому напрямую подставить его в U = 3νRT/2 нельзя.
Ответ: U = 3,0 · 10³ Дж. Формулу U = 3pV/2 применяют здесь именно для одноатомного идеального газа.
Первая ошибка — считать, что внутренняя энергия идеального газа включает потенциальную энергию взаимодействия молекул. Такое представление возникает из-за того, что у реальных веществ взаимодействие частиц действительно существует. Но в модели идеального газа им пренебрегают; проверь себя: в используемом выражении энергии должны учитываться движения молекул.
Вторая ошибка — подставлять температуру в градусах Цельсия. Она кажется привычной, но формулы молекулярной физики используют абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля. Перед расчётом проверь единицы: T = t + 273, где t задана в градусах Цельсия, а T — в кельвинах.
Третья ошибка — применять U = 3νRT/2 к любому газу. Формула учитывает только три поступательные степени свободы и подходит одноатомному газу. Для многоатомных молекул могут добавляться вращение и колебания; проверь, какой газ указан в условии и сколько степеней свободы нужно учитывать.
Четвёртая ошибка — считать, что любое изменение объёма обязательно изменяет внутреннюю энергию. Объём может изменяться при постоянной температуре, а для идеального газа фиксированного количества вещества энергия определяется именно температурой. Поэтому проверь, изменилась ли температура: если нет, внутренняя энергия не изменилась.
Для изучения внутренней энергии нужны идеи молекулярно-кинетической теории: газ состоит из частиц, которые хаотически движутся. Также важно уметь находить количество вещества, связывать его с числом молекул и пользоваться абсолютной температурой. Уравнение состояния идеального газа позволяет перейти от температуры к давлению и объёму.
Внутренняя энергия и её изменение понадобятся при изучении первого начала термодинамики. Оно описывает, как теплота и работа связаны с изменением энергии системы. Поэтому формула ΔU = 3νRΔT/2 помогает рассчитывать энергетическую часть тепловых процессов в одноатомном идеальном газе.
Почему у идеального газа не учитывают потенциальную энергию молекул?
В модели идеального газа молекулы считают настолько удалёнными друг от друга, что их взаимодействием вне столкновений можно пренебречь. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия не учитывается, а внутренняя энергия связывается с движением молекул.
Почему внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры?
Температура определяет среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул. Для заданного количества вещества число молекул постоянно, поэтому внутренняя энергия определяется температурой, а не объёмом или давлением по отдельности.
Как найти внутреннюю энергию газа, если известны давление и объём?
Для одноатомного идеального газа можно воспользоваться уравнением состояния pV = νRT и формулой U = 3νRT/2. После подстановки получается U = 3pV/2; давление нужно выразить в паскалях, а объём — в кубических метрах.
Можно ли использовать формулу одноатомного газа для двухатомного?
Нет, формула U = 3νRT/2 учитывает только три степени свободы поступательного движения. У двухатомной молекулы могут учитываться также вращательные и, при подходящих условиях, колебательные степени свободы, поэтому выражение для энергии будет другим.
Изменится ли внутренняя энергия газа при изменении объёма?
Само по себе изменение объёма не обязательно меняет внутреннюю энергию идеального газа. Для заданного количества одноатомного газа она меняется, если меняется температура; при постоянной температуре U остаётся прежней.
§ 4.8. Внутренняя энергия идеального газа
