§ 4.9. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики — это связь между количеством теплоты Q, изменением внутренней энергии ΔU и работой газа A: Q = ΔU + A. Он показывает, на что расходуется энергия, полученная системой.

Уравнение теплового баланса утверждает, что в теплоизолированной системе отданное телами количество теплоты равно полученному другими телами. Оно нужно для нахождения конечной температуры или неизвестной массы.

Уравнение Менделеева—Клапейрона связывает давление p, объём V и абсолютную температуру T данной массы идеального газа: pV = νRT. С его помощью находят неизвестный параметр состояния газа.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы Aпол к теплоте Qн, полученной от нагревателя: η = Aпол/Qн. Величина показывает, какая доля подведённой энергии превращается в работу.

Как это устроено

Решение начинают с выделения физической системы, потому что законы относятся не ко всему описанию сразу, а к выбранному объекту. Затем записывают известные и искомые величины, переводят их в СИ и выбирают модель: идеальный газ, теплоизолированный сосуд или тепловой двигатель. Такой порядок помогает не включить в расчёт лишние тела и не потерять нужное условие.

Уравнение состояния выбирают, когда нужно сравнить параметры газа в разных состояниях: давление, объём и температуру. Первый закон термодинамики нужен, если газ получает тепло и одновременно изменяет внутреннюю энергию или совершает работу. Уравнение теплового баланса применяют к теплообмену, когда система в целом не получает энергии извне.

Внутренняя энергия идеального газа определяется движением его молекул, а средняя энергия движения связана с температурой. Поэтому одинаковое изменение температуры даёт одинаковое изменение внутренней энергии независимо от того, нагревали газ при постоянном объёме или при постоянном давлении. Путь между состояниями влияет на работу и количество теплоты, но не на ΔU.

В записи Q = ΔU + A работа A считается работой газа. При расширении объём увеличивается и A положительна, а при сжатии A отрицательна. Если в условии дана работа внешних сил, её знак и смысл нужно перевести к работе газа: работа внешних сил имеет противоположный знак.

Полученную формулу проверяют несколькими способами, потому что алгебра сама по себе не гарантирует физически верный ответ. Единицы должны согласовываться, знак — соответствовать процессу, а предельный случай — здравому смыслу: например, при отсутствии изменения объёма работа равна нулю. Невозможные значения температуры, массы или КПД указывают на ошибку в модели или вычислениях.

Выбор основного закона при решении задач по термодинамике

Сначала найдите в условии описанный процесс и перечень данных, а затем выберите строку, наиболее близкую к ситуации. Иногда одного закона недостаточно: например, для цикла сначала используют уравнение состояния, а затем первый закон на отдельных участках.

Разбор задач

Работа и энергия газа при расширении

Условие. Одноатомный идеальный газ при постоянном давлении расширяется от 2 л до 5 л, а его начальная температура известна и равна T₁. Найдём работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты.

1. При постоянном давлении работа A = p(V₂ − V₁), причём объёмы нужно перевести в м³.
2. Из уравнения состояния при неизменных p и ν следует T₂/T₁ = V₂/V₁, поэтому ΔT = T₁(V₂/V₁ − 1).
3. Для одноатомного газа ΔU = 3/2 νRΔT, затем по первому закону Q = ΔU + A.

Ответ. A = p·3 л, ΔU = 3/2 νRΔT, Q = ΔU + A. Все три величины положительны: газ расширяется и нагревается.

Плавление льда в горячей воде

Условие. В теплоизолированный сосуд с водой массой m₁ и температурой T₁ опускают лёд при температуре плавления 0 °C. По установившейся температуре T₂ нужно определить массу льда, теплоёмкостью сосуда пренебрегают.

1. Вода отдаёт тепло при охлаждении: Qв = m₁c(T₁ − T₂).
2. Лёд получает энергию на плавление и нагрев образовавшейся воды: Qл = m₂λ + m₂cT₂.
3. Приравниваем эти количества теплоты и получаем m₂ = m₁c(T₁ − T₂)/(λ + cT₂).

Ответ. Масса льда находится по последней формуле. Теплоту плавления нельзя убрать: без неё энергия льда была бы занижена.

Цикл теплового двигателя

Условие. Идеальный газ проходит цикл из изохорного нагревания, изобарного расширения и изотермического сжатия. По параметрам состояний требуется определить работу за цикл и КПД двигателя.

1. Для каждого состояния используют pV = νRT, а температуры находят из известных p и V.
2. На изохоре A₁ = 0, на изобарном участке A₂ = p(V₃ − V₂), на изотерме работу находят по формуле A₃ = νRT ln(V₁/V₃).
3. Складывают работы: Aцикла = A₁ + A₂ + A₃, затем определяют теплоту, полученную на участках нагревания, и вычисляют η = Aцикла/Qн.

Ответ. Работа цикла равна алгебраической сумме работ всех участков, а КПД — отношению этой работы к теплоте нагревателя. Знак Aцикла должен соответствовать направлению обхода цикла на p–V диаграмме.

Типичные ошибки

Температуру в градусах Цельсия подставляют в уравнение состояния вместо кельвинов. Ошибка возникает из-за смешения двух шкал, хотя нулю в уравнении соответствует абсолютный ноль. Перед расчётом замените t на T = t + 273,15.

Формулу A = pΔV используют при любом изменении газа. Она верна только при постоянном давлении, поэтому на кривом участке нужно применять A = ∫p dV или разбивать процесс на известные части. Проверьте условие словами «изобарно» или «p = const».

Знак работы или теплоты меняют из-за смешения работы газа и работы внешних сил. Обычно в первом законе A — работа газа: расширение даёт плюс, сжатие — минус. После решения сверьте знак с направлением изменения объёма.

В тепловом балансе учитывают только нагревание и забывают фазовый переход или теплоёмкость тела. Так происходит, когда процесс мысленно упрощают до одной формулы. Выпишите все этапы каждого тела: нагревание, плавление, охлаждение и другие превращения.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнение Менделеева—Клапейрона, формулы количества теплоты, работы газа и изменения внутренней энергии. Эти методы опираются на графики процессов в координатах p–V и понимание изопроцессов. Позже они помогут изучать тепловые двигатели, холодильные установки, фазовые переходы и комбинированные задачи.

Что запомнить

• Сначала выделяют систему, записывают данные и переводят все величины в СИ.
• Для идеального газа pV = νRT.
• Первый закон термодинамики связывает количество теплоты, изменение внутренней энергии и работу газа.
• Внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой.
• В теплоизолированной системе суммарное количество теплоты равно нулю.
• КПД теплового двигателя не может быть больше единицы.
• Ответ нужно проверять по единицам измерения и физическому смыслу.