1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Молекулярно-кинетическая теория — представление о газе как о множестве хаотически движущихся частиц, взаимодействующих главным образом при столкновениях. Хаотичность означает, что частицы движутся в разных направлениях, а не согласованно, как единое целое. Такая модель позволяет объяснять свойства газа через движение его молекул, хотя сами молекулы нельзя увидеть невооружённым глазом.

Давление газа — физическая величина, равная отношению средней силы действия газа на поверхность к площади этой поверхности: p = F/S. Давление показывает, насколько сильно газ действует на стенки сосуда или другую поверхность. В системе СИ его измеряют в паскалях, причём 1 Па = 1 Н/м².

Средняя квадратичная скорость — величина, характеризующая движение частиц через среднее значение квадрата их скоростей. Её находят как √⟨v²⟩: сначала скорости возводят в квадрат и усредняют, затем извлекают корень. Эта величина нужна потому, что в уравнении МКТ участвует не средняя скорость, а средний квадрат скорости.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление с концентрацией, массой частиц и их движением: p = ⅓ nm₀⟨v²⟩. Здесь n — число молекул в единице объёма, m₀ — масса одной молекулы, а ⟨v²⟩ — средний квадрат её скорости. Уравнение помогает понять, от каких микроскопических свойств газа зависит измеряемое давление.

Как это устроено

Модель идеального газа упрощает реальное движение молекул, чтобы его можно было описывать математически. Размером частиц пренебрегают по сравнению с расстояниями между ними, поэтому молекулу считают материальной точкой. Между столкновениями частицы движутся свободно, а сами столкновения считают упругими: суммарная кинетическая энергия не теряется. Такое приближение хорошо работает для достаточно разреженного газа.

Молекулы газа непрерывно сталкиваются со стенками сосуда и изменяют свой импульс. Стенка получает от каждой молекулы ответное воздействие, и множество таких воздействий создаёт силу давления. Отдельные удары кратковременны и направлены по-разному, поэтому давление характеризует усреднённое действие большого числа столкновений, а не один удар.

Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси x. При упругом ударе молекулы о стенку её скорость по этой оси меняет направление, поэтому изменение импульса по модулю равно 2m₀|vₓ|. Между двумя ударами та же молекула проходит путь туда и обратно, равный 2L, где L — расстояние до противоположной стенки. Значит, за время Δt она ударится о выбранную стенку примерно |vₓ|Δt/(2L) раз, и её средняя сила на стенку равна m₀vₓ²/L.

Для всех молекул силы складываются, а средняя сила делится на площадь стенки. Если в сосуде объёмом V находится N молекул, то площадь стенки умножить на L даёт V; поэтому давление выражается через сумму квадратов проекций скоростей, делённую на объём. В хаотическом газе нет предпочтительного направления, значит, средние квадраты проекций равны: ⟨vₓ²⟩ = ⟨vᵧ²⟩ = ⟨v𝓏²⟩. Поскольку v² = vₓ² + vᵧ² + v𝓏², на одну проекцию приходится треть ⟨v²⟩ — отсюда появляется множитель ⅓.

Если среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы обозначить ⟨Eк⟩, то ⟨Eк⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Подстановка даёт равносильную запись p = ⅔n⟨Eк⟩. Для идеального газа в тепловом равновесии средняя энергия связана с температурой формулой ⟨Eк⟩ = ³⁄₂kT, поэтому получается p = nkT. Эта форма показывает, как микроскопическое движение связано с температурой газа.

Основное уравнение МКТ и физический смысл входящих величин

При решении задач сначала выберите строку с нужной формулой, а затем проверьте, что величины заданы в единицах СИ. Если дана средняя квадратичная скорость vкв, в уравнении можно заменить ⟨v²⟩ на vкв². Концентрацию находят делением числа частиц на объём, а не подстановкой общего числа молекул вместо n.

Разбор задач

Задача 1. Концентрация молекул равна 2,0·10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы — 4,0·10⁻²⁶ кг, средняя квадратичная скорость — 500 м/с. Найдём давление идеального газа. Данные уже заданы в единицах СИ.

1. Записываем уравнение и связываем среднюю квадратичную скорость со средним квадратом: p = ⅓nm₀vкв².
2. Подставляем значения: p = ⅓·2,0·10²⁵·4,0·10⁻²⁶·(500)² Па.
3. Считаем: произведение концентрации и массы равно 0,80 кг/м³, а квадрат скорости — 2,5·10⁵ м²/с². Поэтому p ≈ 6,7·10⁴ Па.

Ответ: давление газа примерно равно 6,7·10⁴ Па. Размерность результата согласуется с давлением: кг/(м·с²) = Па. Множитель ⅓ при подстановке сохраняем.

Задача 2. Давление газа равно 1,0·10⁵ Па, плотность — 1,2 кг/м³, масса одной молекулы — 4,8·10⁻²⁶ кг. Требуется найти среднюю квадратичную скорость молекул. Вместо концентрации удобно использовать плотность, поскольку в ней уже учтена масса всех молекул в единице объёма.

1. Из определения плотности ρ = nm₀ находим концентрацию: n = ρ/m₀.
2. Подставляем это выражение в основное уравнение: p = ⅓(ρ/m₀)m₀⟨v²⟩ = ⅓ρvкв². Масса одной молекулы сокращается.
3. Выражаем скорость: vкв = √(3p/ρ) = √(3·1,0·10⁵/1,2) м/с = 500 м/с.

Ответ: средняя квадратичная скорость равна 500 м/с. Здесь важно извлечь квадратный корень, потому что из уравнения сначала находится квадрат скорости. Единицы под корнем дают м²/с², а после извлечения — м/с.

Задача 3. В первом газе n₁ = 2n₂, m₀₁ = m₀₂, а средний квадрат скорости ⟨v₁²⟩ = ½⟨v₂²⟩. Сравним давления, не вычисляя каждое отдельно. Затем рассмотрим, как меняется давление идеального газа при повышении температуры, если объём и количество газа постоянны.

1. Для сравнения делим записи основного уравнения: p₁/p₂ = (n₁/n₂)(m₀₁/m₀₂)(⟨v₁²⟩/⟨v₂²⟩).
2. Подставляем отношения: p₁/p₂ = 2·1·½ = 1. Следовательно, давления газов равны: рост концентрации вдвое компенсируется уменьшением среднего квадрата скорости вдвое.
3. При постоянных объёме и количестве газа концентрация n не меняется. Из p = nkT следует, что давление прямо пропорционально абсолютной температуре: если T увеличилась вдвое, p также увеличилось вдвое.

Ответ: p₁ = p₂; при постоянных объёме и количестве газа повышение абсолютной температуры вдвое повышает давление вдвое. В сравнении нужно учитывать все множители формулы, а не только концентрацию. Для температурных зависимостей важно сначала указать, какие условия остаются неизменными.

Типичные ошибки

Подстановка средней скорости вместо ⟨v²⟩ — ошибка: среднее значение скорости и среднее значение её квадрата не равны. Её допускают, потому что символы похожи и оба связаны со скоростью. Проверьте, что если дано vкв, в формулу входит именно vкв².

Если забыть множитель ⅓, давление получится втрое больше правильного. Множитель возникает из-за равноправия трёх направлений движения, но в вычислениях его легко потерять. Проверьте запись формулы до подстановки и убедитесь, что деление на три осталось в результате.

Масса всего газа не заменяет массу одной молекулы, а число молекул не заменяет концентрацию. Такое смешение происходит, когда не различают величины для отдельной частицы и для единицы объёма. Сверьте обозначения и единицы: m₀ измеряется в килограммах, n — в м⁻³, а N — это безразмерное число частиц.

Нельзя определять давление по скорости одной выбранной молекулы: в сосуде действуют удары огромного числа частиц с разными скоростями и направлениями. Ошибка появляется, если мысленно заменить весь газ одной частицей. Используйте средние значения для множества молекул и проверьте, что в формуле присутствует концентрация.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны понятия импульса тела и второй закон Ньютона, а также умение анализировать изменение импульса при столкновении. Понадобятся и характеристики идеального газа: количество частиц, объём и плотность. Дальше уравнение МКТ помогает объяснить связь давления с температурой и понять температуру как меру средней кинетической энергии молекул. Оно также применяется при изучении тепловых процессов и решении задач о микроскопическом строении вещества.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓nm₀⟨v²⟩.
• Давление прямо пропорционально концентрации частиц.
• Давление прямо пропорционально массе частицы и среднему квадрату её скорости.
• Основное уравнение можно записать как p = ⅔n⟨Eк⟩.
• Для идеального газа в тепловом равновесии p = nkT.
• Среднюю скорость нельзя подменять средней квадратичной скоростью.