2. Связь между температурой и средней кенетической энергией молекул

Определения и обозначения

Абсолютная температура — температура, отсчитываемая от абсолютного нуля и измеряемая в кельвинах (К). С температурой t в градусах Цельсия она связана формулой T = t + 273,15. В расчётах энергии используют именно T, потому что нулевая точка этой шкалы соответствует физическому пределу охлаждения.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — среднее значение энергии хаотического перемещения молекул; обозначается ⟨Eₖ⟩. Она не описывает одну выбранную молекулу, поскольку скорости частиц различаются. Эта величина нужна, чтобы связать наблюдаемую температуру с движением частиц.

Постоянная Больцмана — коэффициент пропорциональности k, связывающий температуру с энергией одной молекулы. Её значение k ≈ 1,38 · 10⁻²³ Дж/К, единица измерения — джоуль на кельвин. С её помощью макроскопическую температуру переводят в энергию микроскопического движения.

Тепловое равновесие — состояние, при котором тела имеют одинаковую температуру. При одной температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеальных газов одинакова. Это не означает, что одинаковы массы, скорости или энергии всех отдельных частиц.

Как это устроено

Молекулы вещества непрерывно и хаотично движутся, поэтому температура связана с интенсивностью этого движения. Но отдельные частицы в один и тот же момент имеют разные скорости: одни быстрее, другие медленнее. Поэтому температура характеризует не скорость конкретной молекулы, а среднюю кинетическую энергию их поступательного движения.

Для идеального газа взаимодействием молекул вне столкновений пренебрегают, и его средняя поступательная энергия выражается формулой ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. В неё входит только абсолютная температура и универсальная постоянная Больцмана. Род газа не появляется в формуле, потому что при заданной температуре состояние хаотического движения определяется одинаковым способом для любых идеальных газов.

Множитель 3/2 связан с тремя независимыми направлениями поступательного движения: вдоль осей x, y и z. Вклад каждого направления в среднюю энергию равен ½kT. Складывая три одинаковых вклада, получаем 3 · ½kT = 3/2 kT.

Из формулы видно, что ⟨Eₖ⟩ прямо пропорциональна T: при постоянном k отношение энергии к температуре не меняется. Если абсолютную температуру увеличить в два раза, средняя энергия также возрастёт в два раза; при уменьшении температуры в три раза она уменьшится в три раза. Сравнивать нужно именно температуры в кельвинах, а не числа на шкале Цельсия.

При тепловом равновесии разные газы имеют одинаковую температуру, поэтому их средние поступательные энергии одинаковы. Массы молекул при этом могут быть различными. Для компенсации большей массы тяжёлая молекула в среднем движется медленнее, чем лёгкая, так что значения энергии могут совпадать.

Величины, связывающие температуру и среднюю кинетическую энергию молекул

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую запись формулы. Затем проверьте единицы: энергия должна быть в джоулях, а температура — в кельвинах. Таблица также помогает увидеть, какие величины нужно сравнивать, если вычислять энергии отдельно не требуется.

Разбор задач

Задача 1

Найти среднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа при T = 300 К. Температура уже дана в кельвинах, поэтому дополнительный перевод не нужен. Используем k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.

1. Запишем формулу: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.
2. Подставим значения: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 · 1,38 · 10⁻²³ · 300 Дж.
3. Вычислим: ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,21 · 10⁻²¹ Дж.

Ответ: ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,21 · 10⁻²¹ Дж.

Задача 2

Газ нагрели с 250 К до 500 К. Нужно найти, во сколько раз изменилась средняя энергия, а не её конкретные значения. Поскольку ⟨Eₖ⟩ прямо пропорциональна T, достаточно сравнить конечную и начальную температуры.

1. Запишем отношение энергий: ⟨Eₖ₂⟩/⟨Eₖ₁⟩ = T₂/T₁.
2. Подставим температуры: ⟨Eₖ₂⟩/⟨Eₖ₁⟩ = 500/250 = 2.
3. Сделаем вывод о направлении изменения: температура выросла, поэтому энергия тоже увеличилась.

Ответ: средняя кинетическая энергия увеличилась в 2 раза.

Задача 3

Средняя кинетическая энергия равна 6,21 · 10⁻²¹ Дж. Требуется найти абсолютную температуру газа. Неизвестную T выразим из основной формулы, сохранив согласованные единицы.

1. Из ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT получаем T = 2⟨Eₖ⟩/(3k).
2. Подставим данные: T = 2 · 6,21 · 10⁻²¹/(3 · 1,38 · 10⁻²³) К.
3. Сократим степени десяти и вычислим: T = 300 К.

Ответ: абсолютная температура газа равна 300 К.

Типичные ошибки

Температуру подставляют в градусах Цельсия вместо кельвинов. Так происходит из-за привычки пользоваться шкалой Цельсия в быту, но её нуль не является абсолютным нулём. Перед расчётом проверьте, что записано T в К, и при необходимости прибавьте 273,15.

Считают, что энергия зависит от массы или рода молекул. Масса действительно влияет на скорость при заданной энергии, но средняя энергия идеального газа при заданной температуре определяется формулой 3/2 kT. Проверьте себя: в основном соотношении нет ни массы, ни названия газа.

Забывают множитель 3/2 или заменяют его на 1/2. Ошибка возникает, если учесть только одно направление движения, хотя поступательное движение возможно по трём координатным направлениям. Пересчитайте вклад: ½kT + ½kT + ½kT = 3/2 kT.

Среднюю энергию принимают за энергию каждой отдельной молекулы. У частиц одного газа скорости распределены по-разному, поэтому их энергии тоже различаются. Чтобы проверить рассуждение, вспомните слово «средняя»: формула описывает множество молекул, а не одну выбранную частицу.

Связь с другими темами

Для понимания формулы нужны представления о температуре, идеальном газе, молекулярном движении и кинетической энергии. Связь температуры со средней энергией помогает объяснить давление газа и получить основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Позже это соотношение понадобится при изучении внутренней энергии идеального газа и термодинамических процессов.

Что запомнить

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа определяется абсолютной температурой.
• Основная формула: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.
• Температуру в формулу подставляют в кельвинах.
• Постоянная Больцмана k ≈ 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.
• При увеличении абсолютной температуры в n раз средняя кинетическая энергия увеличивается в n раз.
• При одинаковой температуре средняя поступательная кинетическая энергия молекул разных идеальных газов одинакова.