"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Молекулы газа движутся хаотично, поэтому даже при одной температуре не имеют одинаковых скоростей. Для описания газа используют распределение Максвелла — зависимость доли молекул от их скорости. По нему находят наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости. При нагревании все характерные скорости растут, а при одинаковой температуре более лёгкие молекулы движутся быстрее.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость молекулы — векторная величина, которая показывает быстроту и направление движения. В распределении молекул обычно рассматривают модуль скорости v, то есть только её числовое значение. Это нужно потому, что направления хаотических движений различны, а сравнивать удобнее именно быстроту.
Наиболее вероятная скорость — скорость, которой обладает наибольшее число молекул. На графике распределения ей соответствует точка максимума кривой. Она показывает, около какого значения сосредоточена самая большая группа молекул.
Средняя скорость молекул — среднее арифметическое модулей скоростей всех молекул газа. Чтобы её найти, складывают модули скоростей и делят сумму на число молекул. Эта величина даёт общее представление о быстроте движения частиц.
Среднеквадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей молекул: vкв = √(⟨v²⟩). Возведение в квадрат не даёт быстрым молекулам взаимно компенсироваться медленными. Поэтому эта скорость особенно удобна в формулах молекулярно-кинетической теории.
Молекулы одного газа не движутся одинаково, потому что постоянно сталкиваются. При столкновении меняются направление и модуль скорости каждой частицы, а число столкновений у разных молекул различается. Поэтому в газе одновременно есть медленные, быстрые и промежуточные молекулы, а состояние газа описывают распределением, а не одной скоростью.
Распределение Максвелла показывает, какая доля молекул имеет скорости вблизи выбранного значения. На горизонтальной оси откладывают скорость, а по вертикальной — плотность распределения, связанную с долей молекул в небольшом интервале скоростей. Максимум возникает потому, что около некоторой скорости молекул больше всего, тогда как очень медленных и очень быстрых частиц меньше.
При повышении температуры средняя кинетическая энергия хаотического движения увеличивается. Молекулы чаще оказываются быстрыми, поэтому максимум распределения смещается к большим скоростям. Кривая становится шире и ниже, поскольку то же общее число молекул распределяется по более широкому диапазону скоростей.
Наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости вычисляются по-разному, поэтому они не совпадают. Для распределения Максвелла выполняется соотношение vₚ < v̄ < vкв: максимум кривой расположен левее среднего значения, а учёт квадратов особенно сильно увеличивает вклад быстрых молекул. Каждая из трёх величин нужна для своей характеристики распределения.
Для идеального газа среднеквадратичная скорость определяется формулой vкв = √(3kT/m), где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, а m — масса одной молекулы. Из формулы видно: при росте T скорость увеличивается как √T, а при росте m уменьшается как 1/√m. Через молярную массу формула записывается так: vкв = √(3RT/M).
| Величина | Что характеризует | Формула | Связь с температурой |
|---|---|---|---|
| Наиболее вероятная скорость | Скорость, около которой находится больше всего молекул | vₚ = √(2kT/m) | Растёт как √T |
| Средняя скорость | Среднее арифметическое модулей скоростей | v̄ = √(8kT/(πm)) | Растёт как √T |
| Среднеквадратичная скорость | Скорость, связанная со средним квадратом скоростей и энергией движения | vкв = √(3kT/m) | Растёт как √T |
Таблица помогает выбрать нужную величину по условию задачи. Если дана молярная масса, массу одной молекулы подставлять не обязательно: для среднеквадратичной скорости можно использовать vкв = √(3RT/M). Во всех формулах температура должна быть абсолютной, а единицы величин — согласованными.
Условие. Два газа находятся при одинаковой температуре, но масса молекулы первого газа в 4 раза больше массы молекулы второго. Сравним их наиболее вероятные скорости. Нужно понять, какая величина в формуле изменяется.
Ответ: наиболее вероятная скорость молекул первого газа в 2 раза меньше, чем у второго. При одинаковой температуре более лёгкий газ движется быстрее.
Условие. Найдём среднеквадратичную скорость газа при температуре T и молярной массе M. Удобно сразу использовать формулу с универсальной газовой постоянной R, чтобы не вычислять массу отдельной молекулы.
Ответ: среднеквадратичная скорость равна vкв = √(3RT/M). Если в условии дана масса одной молекулы, используют равносильную формулу vкв = √(3kT/m).
Условие. На двух графиках показано распределение скоростей одного газа при разных температурах. Требуется определить, какой график соответствует более высокой температуре, и сравнить характерные скорости.
Ответ: более высокая температура соответствует кривой с максимумом правее и большей шириной. У этого газа наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости больше.
Все молекулы имеют одну скорость. Так считают, заменяя сложное распределение одной удобной величиной. Проверка проста: на графике есть целый диапазон скоростей, а не один вертикальный столбец.
Наиболее вероятная скорость равна средней. Ошибка возникает из-за смешения максимума кривой со средним значением. Проверьте обозначения: максимум даёт vₚ, а усреднение всех модулей — v̄, причём vₚ < v̄.
Скорости газов сравнивают только по температуре. При этом забывают, что в формулах есть масса молекулы под корнем в знаменателе. Сначала проверьте температуру, затем сравните массы: при одинаковой температуре меньшая масса означает большую скорость.
Молярную массу подставляют вместо массы молекулы. Эти величины имеют разные единицы и входят в разные формы формул. Проверьте размерность: для m нужна формула с k, для M — формула с R, а массу M обязательно выразите в кг/моль.
Для понимания скоростей молекул нужна связь температуры идеального газа со средней кинетической энергией хаотического движения. Чем выше температура, тем больше эта энергия и характерные скорости.
Тема использует понятия массы молекулы, молярной массы и распределения случайных величин. Эти знания помогают правильно выбирать формулу и читать графики.
Скорости молекул понадобятся при изучении давления газа и явлений переноса. Через движение частиц объясняются диффузия, теплопроводность и вязкость.
Почему молекулы одного газа движутся с разными скоростями?
Молекулы постоянно сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, меняя направления и модули скоростей. Поэтому в каждый момент времени часть молекул движется быстро, а часть — медленнее.
Что показывает распределение Максвелла?
Оно показывает, какая доля молекул имеет скорости вблизи каждого заданного значения. Максимум кривой соответствует наиболее вероятной скорости.
Чем средняя скорость отличается от наиболее вероятной?
Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму распределения, то есть около неё находится больше всего молекул. Средняя скорость получается усреднением модулей скоростей всех молекул и обычно больше наиболее вероятной.
Почему при нагревании газа скорость молекул увеличивается?
Температура связана со средней кинетической энергией хаотического движения молекул. При нагревании эта энергия увеличивается, поэтому растут характерные скорости молекул.
Как масса молекулы влияет на её скорость при одинаковой температуре?
При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул имеет один и тот же порядок. Поэтому молекулы меньшей массы движутся быстрее: характерная скорость обратно пропорциональна √m.
3. Скорости молекул
