4. Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) объясняет свойства макроскопических тел, рассматривая движение и взаимодействие их частиц. Макроскопическими называют тела, которые мы наблюдаем целиком, например порцию газа в сосуде. МКТ помогает связать измеряемые величины, такие как давление, с движением отдельных молекул. Поэтому она позволяет объяснять свойства вещества через его строение.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, а V — объём газа. Она показывает, насколько плотно частицы расположены в пространстве. Если в одинаковых объёмах одного газа молекул больше, концентрация выше. В уравнении МКТ концентрация учитывает, сколько молекул может участвовать в ударах о стенки.

Средняя квадратичная скорость — корень из среднего значения квадратов скоростей молекул: vкв = √⟨v²⟩. У молекул одного газа скорости различаются, поэтому для описания всего набора частиц используют среднее значение. Сначала скорости возводят в квадрат и усредняют, затем извлекают корень. Эта величина нужна потому, что давление определяется не просто средней скоростью, а средним квадратом скорости.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с концентрацией молекул, массой одной молекулы и средним квадратом её скорости. В него входят характеристики частиц, которые непосредственно не видны, и измеряемое давление. Уравнение позволяет переходить от микроскопического описания газа к макроскопическому. Его можно записать через скорость или через среднюю кинетическую энергию молекул.

Как это устроено

Для вывода представим идеальный газ в кубическом сосуде и выберем одну из его стенок. Идеальный газ — модель, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, а столкновения считаются упругими. Давление на стенку создают не сами молекулы как неподвижные частицы, а их непрерывные удары. При каждом ударе молекула передаёт стенке часть импульса, и множество таких передач образует заметную силу.

Рассмотрим молекулу массой m₀, которая летит перпендикулярно стенке со скоростью vₓ. До удара её импульс по этой оси равен m₀vₓ, а после упругого отражения — −m₀vₓ. Изменение импульса по модулю составляет 2m₀vₓ, потому что направление скорости меняется на противоположное. Сила связана с изменением импульса за время: чем больше импульс передаётся стенке за единицу времени, тем больше сила давления.

Чтобы перейти от одного удара к давлению, нужно учесть число молекул и частоту их столкновений со стенкой. В кубическом сосуде со стороной l одна молекула с перпендикулярной составляющей скорости vₓ возвращается к той же стенке через время 2l/vₓ. Значит, её удары происходят с частотой vₓ/(2l), а передача импульса за один удар равна 2m₀vₓ. Для большого числа молекул складывают вклады от всех ударов, делят силу на площадь стенки и получают p = nm₀⟨vₓ²⟩.

Скорости молекул направлены хаотично, поэтому ни одно из трёх взаимно перпендикулярных направлений не является преимущественным. Средние квадраты составляющих скорости одинаковы: ⟨vₓ²⟩ = ⟨vᵧ²⟩ = ⟨v_z²⟩. При этом v² = vₓ² + vᵧ² + v_z², следовательно, ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3. Подстановка этого равенства в выражение для давления даёт множитель 1/3.

Так получается основное уравнение МКТ: p = (1/3)nm₀⟨v²⟩ = (1/3)nm₀vкв². Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна ⟨Eк⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Поэтому тот же результат можно записать как p = (2/3)n⟨Eк⟩. Эта форма особенно удобна, если в задаче дана энергия молекулы, а не её скорость.

Величины и формы основного уравнения МКТ

Сначала определите, какие величины известны в задаче, а затем выберите строку с подходящей формой уравнения. Если дана скорость, используйте запись через vкв; если энергия — запись через ⟨Eк⟩. Перед подстановкой проверьте единицы: давление выражают в паскалях, массу — в килограммах, скорость — в метрах в секунду, концентрацию — в м⁻³.

Разбор задач

Задача 1. В газе концентрация молекул n, масса одной молекулы m₀, а средняя квадратичная скорость vкв. Требуется найти давление. Числовые значения не заданы, поэтому ответ нужно выразить через указанные величины. Все данные должны быть представлены в единицах СИ.

1. Записываем основное уравнение через среднюю квадратичную скорость: p = (1/3)nm₀vкв². Оно подходит, потому что в условии даны именно концентрация, масса одной молекулы и средняя квадратичная скорость. Не заменяем vкв средней скоростью.

2. Подставляем данные в формулу, предварительно переводя их в СИ, если они заданы в других единицах. Например, скорость переводим в м/с, массу — в кг, а концентрацию — в м⁻³. Затем возводим скорость в квадрат и перемножаем величины.

3. Получаем давление p = nm₀vкв²/3. Проверка размерности даёт кг/(м·с²), то есть паскаль. Это подтверждает, что результат имеет единицы давления.

Задача 2. Известны давление газа p, концентрация молекул n и масса одной молекулы m₀. Нужно определить среднюю квадратичную скорость. Здесь неизвестная скорость стоит в квадрате в основном уравнении. Поэтому сначала выразим её квадрат, а затем извлечём квадратный корень.

1. Записываем уравнение p = (1/3)nm₀vкв². Умножаем обе части на 3 и делим на nm₀, получая vкв² = 3p/(nm₀). Такие преобразования сохраняют равенство и оставляют скорость в левой части.

2. Берём положительный квадратный корень: vкв = √(3p/(nm₀)). Скорость — неотрицательная величина, поэтому отрицательный корень не выбираем. Подставлять нужно значения p, n и m₀ в единицах СИ.

3. Проверяем размерность под корнем: Па/(м⁻³·кг) = (кг/(м·с²))/(кг/м³) = м²/с². После извлечения корня получаем м/с, как и должно быть для скорости. Ответ: vкв = √(3p/(nm₀)).

Задача 3. Известны давление газа и концентрация молекул. Требуется найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Для этой задачи удобнее не переходить к скорости, а сразу воспользоваться энергетической формой уравнения. Искомая величина — среднее значение энергии отдельной молекулы, а не энергия всего газа.

1. Берём запись p = (2/3)n⟨Eк⟩. Умножаем обе части на 3 и делим на 2n, чтобы оставить среднюю энергию в правой части. Получаем ⟨Eк⟩ = 3p/(2n).

2. Подставляем давление в паскалях и концентрацию в м⁻³. Важно использовать именно концентрацию, а не общее число частиц: формула описывает энергию одной молекулы через число частиц в единице объёма. Если данные не в СИ, сначала переводим их.

3. Размерность выражения равна Па·м³ = Дж, поскольку паскаль — это Дж/м³. Значит, искомая средняя кинетическая энергия выражается в джоулях. Ответ: ⟨Eк⟩ = 3p/(2n).

Типичные ошибки

Первая ошибка — забыть множитель 1/3, получая p = nm₀⟨v²⟩. Так происходит, если рассматривать движение только перпендикулярно одной стенке и не учитывать остальные направления. Для хаотического движения средние квадраты трёх составляющих одинаковы, а в формуле давления участвует лишь одна из них. Проверьте вывод: должно быть ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3.

Вторая ошибка — подставить среднюю скорость вместо средней квадратичной. Эти величины определяются разными способами: в одной усредняют скорости, в другой — их квадраты, а затем извлекают корень. Ошибку допускают, потому что обе величины называют средней скоростью. Чтобы проверить себя, убедитесь, что в формуле используется vкв² = ⟨v²⟩.

Третья ошибка — принять концентрацию n за общее число молекул N. N показывает число частиц во всём сосуде, а n = N/V учитывает ещё и объём, поэтому именно n характеризует плотность расположения молекул. Если подставить N вместо n, размерность уравнения нарушится. Проверьте, что концентрация выражена в м⁻³.

Четвёртая ошибка — использовать массу всего газа вместо массы одной молекулы. В формуле m₀ относится к отдельной частице, а масса всей порции газа зависит от числа молекул. Путаница возникает из-за похожих обозначений и слов «масса газа». Перед вычислениями подпишите каждую величину и проверьте, что m₀ выражена в килограммах для одной молекулы.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны понятия импульса тела и изменения импульса при упругом отражении. Если молекула отражается от стенки, её перпендикулярная составляющая скорости меняет направление, поэтому меняется и импульс. Изменение импульса за время связано с силой, действующей на стенку.

Затем используется определение давления как силы, действующей на единицу площади. Молекулы движутся хаотично, поэтому для перехода от скорости отдельной частицы к свойствам всего газа рассматривают средние значения. Так микроскопическая картина столкновений объясняет наблюдаемое давление.

Основное уравнение МКТ связывает параметры частиц с макроскопическими характеристиками газа. Оно пригодится при изучении температуры: средняя кинетическая энергия молекул позволяет установить связь между движением частиц и тепловым состоянием газа. Также с его помощью решают задачи, где по давлению находят скорость или энергию молекул.

Что запомнить

• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна n = N/V.
• Для хаотического движения ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3.
• Основное уравнение МКТ: p = (1/3)nm₀⟨v²⟩.
• Средняя квадратичная скорость: vкв = √⟨v²⟩.
• Через среднюю кинетическую энергию уравнение записывается как p = (2/3)n⟨Eк⟩.