"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Молекулы газа движутся хаотически, поэтому даже при одной температуре у них не одинаковая скорость. Распределение Максвелла показывает, какая доля молекул движется в каждом диапазоне скоростей. По этому распределению находят наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости. Эти величины помогают связать движение отдельных молекул с температурой и объяснить свойства газа. При нагревании характерные скорости растут, а для более тяжёлых молекул при той же температуре они меньше.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределение Максвелла — закон, показывающий, какая доля молекул имеет скорости в заданном интервале. Его изображают графиком, по которому можно оценить долю медленных и быстрых молекул. Поэтому вместо одной скорости для газа используют целое распределение.
Наиболее вероятная скорость — значение скорости, которому соответствует максимум распределения Максвелла. Её обозначают vнаиб.вер: около этой скорости молекул больше всего в равных по ширине интервалах. Она задаёт положение вершины графика, но не означает, что все молекулы движутся именно так.
Средняя скорость — среднее арифметическое значений модулей скоростей всех молекул. Модуль показывает, насколько быстро движется молекула, не учитывая направление. Эта величина нужна, когда описывают типичную быстроту движения частиц.
Среднеквадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей молекул. Её обозначают vср.кв; для идеального газа она связана с температурой формулой vср.кв = √(3kT/m). Эта скорость удобна для связи движения молекул со средней кинетической энергией.
В газе нельзя говорить об одной скорости всех молекул: они движутся хаотически, сталкиваются и после столкновений меняют скорость. Даже если газ находится в равновесии, отдельные молекулы в каждый момент движутся по-разному. Равновесие означает устойчивость общего распределения, а не одинаковость движения частиц.
Функцию распределения вводят так, чтобы по её графику можно было находить доли молекул. Площадь под кривой между двумя значениями скорости показывает, какая часть молекул имеет скорости в этом интервале. Поскольку в газе учтены все молекулы, площадь под всей кривой равна единице, то есть соответствует 100% частиц.
У распределения есть максимум, потому что и слишком медленные, и очень быстрые молекулы встречаются редко. Малые скорости редки из-за того, как число доступных молекулам состояний меняется со скоростью: при приближении к нулю возможных состояний мало. Большая скорость требует большой кинетической энергии, а вероятность таких энергий при данной температуре мала. Между этими крайними случаями находится наиболее вероятная область.
Наиболее вероятную скорость находят по положению максимума графика. Среднюю скорость получают усреднением модулей скоростей, а среднеквадратичную — усреднением их квадратов с последующим извлечением корня. Для идеального газа эти величины равны соответственно √(2kT/m), √(8kT/(πm)) и √(3kT/m). Поэтому они характеризуют распределение по-разному, хотя каждая описывает быстроту движения молекул.
При повышении температуры молекулы в среднем обладают большей кинетической энергией, поэтому распределение смещается к большим скоростям и становится шире. Если температура одна и та же, более тяжёлым молекулам для той же энергии соответствует меньшая скорость. Это следует из зависимости характерных скоростей от √(T/m): они растут как √T и уменьшаются как 1/√m.
| Величина | Формула | Физический смысл | Соотношение с другими скоростями |
|---|---|---|---|
| Наиболее вероятная скорость | vнаиб.вер = √(2kT/m) | Скорость в максимуме распределения | Меньше средней и среднеквадратичной |
| Средняя скорость | vср = √(8kT/(πm)) | Среднее арифметическое модулей скоростей | Больше наиболее вероятной, меньше среднеквадратичной |
| Среднеквадратичная скорость | vср.кв = √(3kT/m) | Корень из среднего квадрата скорости | Больше средней скорости |
| Зависимость от температуры | v ∝ √T | При нагревании характерные скорости растут | Для каждой из трёх скоростей |
| Зависимость от массы молекулы | v ∝ 1/√m | При большей массе характерные скорости меньше | Для каждой из трёх скоростей |
| Порядок величин | Сотни метров в секунду | Типичный масштаб скоростей молекул газа | Конкретное значение зависит от T и m |
Сначала выбери строку с нужной физической величиной, затем подставь температуру в кельвинах, массу одной молекулы в килограммах и постоянную Больцмана k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Для сравнения газов при одинаковой температуре достаточно учесть массу молекул. Все три скорости имеют одинаковую зависимость от температуры и массы, но отличаются числовыми коэффициентами.
Задача 1. Для молекул кислорода массой 5,31·10⁻²⁶ кг при температуре 300 К найти среднеквадратичную скорость. Нужна именно среднеквадратичная скорость, поэтому используем формулу из кинетической теории, а не выражение для средней скорости. Масса уже дана для одной молекулы, значит переводить молярную массу не требуется.
Ответ: среднеквадратичная скорость молекул кислорода примерно 484 м/с. Размерность под корнем — м²/с², поэтому после извлечения корня результат выражен в м/с.
Задача 2. Для одного газа сравнить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости при температуре 300 К, если масса молекулы равна 5,31·10⁻²⁶ кг. Подстановка одинаковых k, T и m позволяет сравнить значения без округления промежуточных результатов. Важно не перепутать формулы: коэффициенты под корнем у трёх скоростей различаются.
Ответ: скорости приблизительно равны 395, 446 и 484 м/с соответственно. Такой порядок получается из числовых коэффициентов в формулах и верен для распределения Максвелла.
Задача 3. Сравнить характерные скорости молекул гелия и ксенона при одинаковой температуре и определить, во сколько раз они отличаются. Для любого из трёх видов характерной скорости формула содержит множитель 1/√m, а температурный множитель в сравнении сокращается. Возьмём массы атомов: для гелия около 4 атомных единиц массы, для ксенона около 131.
Ответ: скорости отличаются примерно в 5,7 раза в пользу гелия. При одной температуре средняя кинетическая энергия одинакова, поэтому меньшая масса соответствует большей характерной скорости.
Первая ошибка — считать среднюю скорость скоростью каждой молекулы. Её допускают, воспринимая среднее значение как описание всех частиц, хотя график распределения охватывает широкий набор скоростей. Проверь себя: если речь идёт о газе, спрашивай, какая доля молекул движется в каждом интервале, а не приписывай всем одно значение.
Вторая ошибка — путать среднюю скорость со средней векторной скоростью. При хаотическом движении направления компенсируются, поэтому средняя векторная скорость может быть нулевой, но модули скоростей положительны. Чтобы проверить рассуждение, уточни, усредняются ли векторы или только их модули.
Третья ошибка — подменять среднеквадратичную скорость средней. Это разные средние: для первой усредняют квадраты и извлекают корень, а для второй усредняют модули. Сверь формулу с вопросом задачи: vср.кв = √(3kT/m), тогда как vср = √(8kT/(πm)).
Четвёртая ошибка — полагать, что при нагревании все молекулы получают одинаковую новую скорость. Температура меняет распределение, а не задаёт одинаковую прибавку скорости каждой частице. Проверь себя по графику: при нагревании смещается и расширяется кривая, но в газе остаются молекулы с разными скоростями.
Для работы с распределением нужно знать кинетическую энергию, температуру, массу молекулы и основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Распределение скоростей помогает объяснить давление и температуру через движение молекул: скорость связана с энергией частиц, а их столкновения со стенками — с давлением. Оно также понадобится при изучении диффузии, испарения и эффузии — истечения газа через малое отверстие, а ещё процессов в разреженных газах.
Почему нельзя считать, что все молекулы газа движутся с одной скоростью?
Молекулы сталкиваются друг с другом и меняют направление и модуль скорости. Поэтому в газе одновременно есть медленные и быстрые молекулы, а распределение Максвелла описывает долю молекул с разными скоростями.
Чем средняя скорость отличается от среднеквадратичной?
Средняя скорость — это среднее арифметическое модулей скоростей молекул. Среднеквадратичную находят как квадратный корень из среднего квадрата скоростей; она сильнее учитывает быстрые молекулы и больше средней.
Почему средняя векторная скорость газа может быть равна нулю?
Скорость как вектор учитывает направление движения. При хаотическом движении вклады молекул, летящих в разные стороны, взаимно компенсируются, хотя модули их скоростей не равны нулю.
Как по графику распределения определить наиболее вероятную скорость?
Нужно найти вершину кривой — точку, где функция распределения максимальна. Скорость, соответствующая этой точке, и есть наиболее вероятная.
Как изменится распределение скоростей при нагревании газа?
Кривая распределения сместится в сторону больших скоростей, а её максимум станет ниже и шире. Это означает, что характерные скорости вырастут, но скорости отдельных молекул изменятся неодинаково.
3. Скорости молекул
