2. Связь между температурой и средней кинетической энергией молекул

Определения и обозначения

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул — это среднее значение энергий движения центров масс молекул. Чтобы найти её, складывают кинетические энергии всех молекул и делят на их число. Центр масс описывает поступательное движение молекулы целиком, отдельно от вращения и колебаний её частей. Такая величина нужна, чтобы связать движение частиц газа с его температурой.

Абсолютная температура — термодинамическая температура, измеряемая в кельвинах и обозначаемая T. В отличие от температуры Цельсия, её ноль соответствует абсолютному нулю, при котором тепловое движение частиц минимально. Чтобы перейти от градусов Цельсия t к кельвинам, используют соотношение T = t + 273,15. Именно абсолютная температура входит в формулу для энергии молекул.

Постоянная Больцмана обозначается k; её значение равно примерно 1,38 · 10⁻²³ Дж/К. Она связывает микроскопическую энергию одной молекулы с температурой, заданной для газа в целом. Единица Дж/К показывает, какая энергия приходится на один кельвин в соответствующем соотношении. Благодаря этой постоянной температуру можно переводить в энергию в джоулях.

Связь средней кинетической энергии и температуры записывается так: ⟨Eкин⟩ = 3/2 kT. Здесь ⟨Eкин⟩ — средняя энергия поступательного движения одной молекулы, k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Формула показывает, что при увеличении T средняя энергия растёт в той же пропорции. Она относится к поступательному движению молекул идеального газа.

Как это устроено

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с движением его молекул: p = ⅓ nm⟨v²⟩. Здесь n — число молекул в единице объёма, m — масса одной молекулы, а ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости. Давление возникает потому, что молекулы ударяются о стенки сосуда и передают им импульс. Чем чаще и сильнее удары, тем больше давление; поэтому в уравнение входят и концентрация частиц, и их движение.

Уравнение состояния идеального газа имеет вид pV = NkT, где N — число молекул, а V — объём газа. Если разделить обе части на V, получится p = nkT, поскольку n = N/V. Теперь давление можно выразить двумя способами: через движение молекул и через температуру. Приравнивание выражений ⅓ nm⟨v²⟩ и nkT позволяет сократить n и получить ½m⟨v²⟩ = 3/2 kT. Левая часть — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Множитель 3/2 появляется из-за трёх независимых направлений движения в пространстве. Скорость молекулы можно разложить на составляющие вдоль осей x, y и z, а энергия поступательного движения складывается из вкладов по каждой оси. В равновесном газе на каждую такую составляющую приходится в среднем ½kT энергии. Поэтому три вклада дают 3 · ½kT = 3/2 kT, а не просто ½kT.

В формуле требуется температура в кельвинах, потому что она связывает энергию с температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля. Шкала Цельсия имеет другую точку отсчёта: 0 °C соответствует 273,15 К. Подстановка градусов Цельсия вместо кельвинов может дать неверную энергию, а при температуре ниже 0 °C — даже бессмысленный отрицательный результат. Сначала переведите температуру по формуле T = t + 273,15, а затем подставляйте её в выражение.

Чтобы найти среднюю энергию, умножают 3/2, постоянную Больцмана и температуру в кельвинах. Если известна энергия, формулу преобразуют: T = 2⟨Eкин⟩/(3k). Прямая пропорциональность означает, что отношение энергий равно отношению абсолютных температур: при удвоении температуры средняя энергия удваивается. Для всего газа среднюю энергию одной молекулы умножают на число молекул, но сама формула ⟨Eкин⟩ относится к одной молекуле.

Величины и соотношения для средней кинетической энергии молекул

Сначала определите, какая величина дана и какую требуется найти, затем выберите соответствующую запись формулы. Перед вычислением проверьте, что температура выражена в кельвинах, а энергия — в джоулях. Единицы помогают заметить ошибку: произведение Дж/К на К должно дать джоули.

Разбор задач

Задача 1. Найдём среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул при температуре 300 К. Температура уже выражена в кельвинах, поэтому переводить её не нужно. Используем k ≈ 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.

1. Записываем формулу ⟨Eкин⟩ = 3/2 kT. Она относится к средней энергии одной молекулы, поэтому дополнительно умножать на число молекул не требуется.
2. Подставляем данные: ⟨Eкин⟩ = 1,5 · 1,38 · 10⁻²³ · 300 Дж. Сначала умножаем коэффициенты, учитывая, что кельвины сокращаются с единицей К в знаменателе k.
3. Получаем ⟨Eкин⟩ ≈ 6,21 · 10⁻²¹ Дж. Ответ: средняя энергия одной молекулы равна примерно 6,2 · 10⁻²¹ Дж.

Задача 2. Температура газа равна 27 °C; требуется определить среднюю энергию молекул. В формулу нельзя подставить число 27, потому что там используется абсолютная температура. Сначала переведём температуру в кельвины.

1. Находим T: T = t + 273,15 = 27 + 273,15 = 300,15 К. Для школьного расчёта можно округлить до 300 К.
2. Используем ⟨Eкин⟩ = 3/2 kT и подставляем значения: ⟨Eкин⟩ ≈ 1,5 · 1,38 · 10⁻²³ · 300,15 Дж. Такой порядок действий сохраняет правильный ноль отсчёта температуры.
3. Вычисляем ⟨Eкин⟩ ≈ 6,21 · 10⁻²¹ Дж. Ответ: около 6,2 · 10⁻²¹ Дж на одну молекулу.

Задача 3. Средняя энергия молекулы равна 4,14 · 10⁻²¹ Дж; нужно найти температуру и сравнить её с температурой газа, у которого энергия вдвое больше. По основной формуле можно выразить T, а для сравнения воспользоваться пропорциональностью энергии температуре. Так мы обойдёмся без повторного полного расчёта для второго газа.

1. Преобразуем формулу: T = 2⟨Eкин⟩/(3k). Подставляем значения: T = 2 · 4,14 · 10⁻²¹/(3 · 1,38 · 10⁻²³) К.
2. Вычисляем температуру: T = 200 К. Единицы джоулей сокращаются, а оставшаяся единица — кельвин.
3. При удвоении средней энергии температура также удваивается, так как ⟨Eкин⟩ прямо пропорциональна T. Для второго газа T₂ = 400 К, то есть он вдвое горячее по абсолютной температуре. Ответ: 200 К и 400 К.

Типичные ошибки

Подстановка градусов Цельсия вместо кельвинов даёт неверное значение энергии, потому что формула использует абсолютную температуру. Так ошибаются, когда берут привычное показание термометра и не проверяют единицы. Перед расчётом выполните перевод T = t + 273,15. Проверка: температура в формулах молекулярной физики не должна оказаться отрицательной из-за выбора шкалы Цельсия.

Множитель 3/2 иногда запоминают механически и заменяют на 1/2, не учитывая все направления движения. Это происходит, если рассматривать скорость только вдоль одной оси. Для поступательного движения молекула может двигаться вдоль трёх независимых направлений, поэтому складываются три равных вклада. Проверяйте, что формула относится к трёхмерному движению: в ней должно стоять 3/2.

Среднюю энергию одной молекулы путают с полной энергией газа. В условии могут спрашивать энергию всех молекул, но при подстановке сразу используют только ⟨Eкин⟩. Сначала уточните, о какой системе идёт речь: для N молекул полная поступательная энергия равна N⟨Eкин⟩. Размерность и смысл ответа помогут себя проверить: энергия одной частицы обычно очень мала, а энергия всего газа зависит ещё и от числа частиц.

Из одинаковой температуры иногда заключают, что молекулы разных газов имеют одинаковые скорости. Формула показывает равенство средней кинетической энергии при равной температуре, но энергия зависит и от массы: Eкин = ½mv². Поэтому более лёгкие молекулы обычно движутся быстрее более тяжёлых при той же средней энергии. Проверяйте вывод, учитывая массу частиц, и не отождествляйте равенство энергий с равенством скоростей.

Связь с другими темами

Для вывода связи энергии с температурой нужны основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа и уравнение состояния pV = NkT. Также важно уметь переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины и пользоваться формулой Eкин = ½mv². Понимание средней энергии пригодится при изучении внутренней энергии, тепловых процессов и распределения скоростей молекул. Оно помогает связать наблюдаемые свойства газа с движением его частиц.

Что запомнить

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул определяется абсолютной температурой.
• Для идеального газа ⟨Eкин⟩ = 3/2 kT.
• В формуле T выражают в кельвинах.
• k — постоянная Больцмана.
• При повышении абсолютной температуры средняя кинетическая энергия молекул возрастает прямо пропорционально.
• При одной и той же температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул разных газов одинакова.