2. Связь между температурой и средней кинетической энергией молекул

Определения и обозначения

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — это среднее значение энергий, которыми обладают молекулы из-за перемещения как целого. Усредняют по большому числу молекул, потому что их скорости различаются. Рассматривают движение центра масс молекулы — точки, которая условно описывает перемещение всей молекулы. Эта величина позволяет говорить об общей тепловой активности газа, а не об энергии одной выбранной частицы.

Абсолютная температура T — температура, отсчитываемая от абсолютного нуля и измеряемая в кельвинах (К). В молекулярно-кинетической теории она характеризует среднюю энергию хаотического движения частиц. Температура по шкале Цельсия имеет другой ноль: 0 °C соответствует 273,15 К. Поэтому формулы для энергии используют T в кельвинах, а не число градусов Цельсия.

Постоянная Больцмана k связывает температуру с энергией отдельной молекулы и переводит величину, измеренную в кельвинах, в энергию в джоулях. Её значение приблизительно равно 1,38·10⁻²³ Дж/К. В формуле средней поступательной энергии k умножается на T, поэтому единица измерения произведения — джоуль. Эта постоянная помогает связать свойства газа на уровне частиц с его температурой.

Как это устроено

Молекулы газа непрерывно движутся и сталкиваются со стенками сосуда. При ударах они передают стенкам импульс, то есть изменяют их движение; множество таких ударов создаёт давление. Чем больше молекул приходится на единицу объёма и чем больше их средняя поступательная энергия, тем сильнее воздействие на стенки. Поэтому основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление p, концентрацию n и среднюю энергию ⟨Eₖ⟩: p = 2/3 n⟨Eₖ⟩.

Уравнение состояния идеального газа записывается как p = nkT, где n — число молекул в единице объёма. Оно описывает тот же газ через температуру, а основное уравнение МКТ — через движение молекул. Если приравнять правые части, получим 2/3 n⟨Eₖ⟩ = nkT. Сокращая одинаковую концентрацию и выражая среднюю энергию, получаем ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.

В этой формуле нужна абсолютная температура, потому что энергия не может стать нулевой просто из-за выбора точки отсчёта шкалы. Ноль градусов Цельсия — условная отметка, а не отсутствие теплового движения. Абсолютный ноль соответствует 0 К, а температура в кельвинах пропорциональна средней энергии поступательного движения. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.

Формула ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT не содержит массы молекулы и её химического состава. Значит, если температуры двух идеальных газов одинаковы, одинаковы и средние энергии поступательного движения их молекул. При этом скорости молекул могут различаться: чтобы получить одну и ту же энергию, более лёгкой молекуле требуется большая скорость. Равенство средней энергии не означает равенства скоростей или энергий каждой отдельной молекулы.

Поскольку коэффициент 3/2 и постоянная k не меняются, средняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре. Если T возрастает в два раза, ⟨Eₖ⟩ также возрастает в два раза; если температура уменьшается втрое, энергия уменьшается втрое. Сравнивать нужно именно температуры в кельвинах. Например, нагрев от 100 К до 200 К удваивает среднюю энергию, тогда как сравнение чисел в градусах Цельсия такого вывода не даёт.

Величины и соотношения для средней кинетической энергии молекул

Сначала определите, какая величина дана и в каких единицах она выражена. Для расчёта энергии подставляйте температуру в кельвинах и постоянную k в Дж/К. Если дана энергия, выразите из формулы температуру, а перевод в градусы Цельсия выполняйте уже после этого.

Разбор задач

Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа при заданной температуре

Пусть температура газа равна 300 К. Нужно найти среднюю энергию поступательного движения одной молекулы, а не энергию всего газа. Используем связь ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT, где k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Важно, что температура уже задана в кельвинах.

1. Записываем данные: T = 300 К, k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.
2. Подставляем их в формулу: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 · 1,38·10⁻²³ · 300.
3. Вычисляем: ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,21·10⁻²¹ Дж.
4. Проверяем единицы: К сокращаются с К в знаменателе Дж/К, остаётся джоуль.

Ответ: приблизительно 6,21·10⁻²¹ Дж.

Температуру газа повысили в заданное число раз. Во сколько раз изменилась средняя кинетическая энергия поступательного движения его молекул?

Пусть абсолютную температуру повысили в три раза: T₂ = 3T₁. Не нужно знать ни начальную температуру, ни массу молекул, чтобы сравнить энергии. Формула ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT показывает прямую пропорциональность энергии абсолютной температуре. Сравним энергию в двух состояниях.

1. Для первого состояния записываем ⟨Eₖ₁⟩ = 3/2 kT₁.
2. Для второго состояния: ⟨Eₖ₂⟩ = 3/2 kT₂ = 3/2 k·3T₁.
3. Делим вторую энергию на первую: ⟨Eₖ₂⟩/⟨Eₖ₁⟩ = 3.
4. Следовательно, средняя энергия увеличилась в три раза.

Ответ: в три раза, если в три раза выросла температура в кельвинах.

Средняя кинетическая энергия молекул газа задана. Определите температуру газа, а затем выразите её в градусах Цельсия

Пусть средняя энергия равна 6,21·10⁻²¹ Дж. Сначала находим абсолютную температуру, поскольку формула связывает энергию именно с кельвинами. Из равенства ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT выражаем T = 2⟨Eₖ⟩/(3k). Только затем переводим найденное значение по шкале Цельсия.

1. Подставляем энергию и постоянную Больцмана: T = 2·6,21·10⁻²¹/(3·1,38·10⁻²³).
2. Вычисляем: T ≈ 300 К.
3. Вычитаем 273,15, чтобы получить температуру в градусах Цельсия: t = T − 273,15.
4. Получаем t ≈ 26,85 °C.

Ответ: температура газа равна приблизительно 300 К, или 26,85 °C.

Типичные ошибки

• Подстановка градусов Цельсия. Число по шкале Цельсия нельзя ставить вместо T, потому что формула использует абсолютную температуру. Ошибку допускают, когда забывают, что у шкалы Цельсия другой ноль. Проверьте себя: перед вычислением убедитесь, что температура указана в кельвинах, и при необходимости прибавьте 273,15.

• Использование массы молекулы в формуле средней энергии. В выражении ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT массы нет, поэтому добавлять её не нужно. Масса связана со скоростью через выражение кинетической энергии отдельной молекулы, и это может сбить с толку. Проверьте, какую величину ищете: для средней энергии идеального газа используйте формулу с k и T.

• Представление, что у всех молекул одна энергия. Формула задаёт среднее значение, потому что молекулы движутся с разными скоростями. Ошибка возникает, если слово «средняя» воспринимают как описание каждой частицы. Проверьте рассуждение: речь идёт о множестве молекул, а не об одинаковой энергии каждой из них.

• Смешение поступательного движения с вращением и колебаниями. В формуле 3/2 kT рассматривается энергия перемещения центров масс молекул. Сложность возникает потому, что молекула может также вращаться и колебаться. Чтобы проверить себя, уточните, какой вид движения учитывается: здесь нужна только поступательная энергия.

Связь с другими темами

Для вывода связи между энергией и температурой нужно знать основное уравнение молекулярно-кинетической теории и уравнение состояния идеального газа: первое описывает давление через движение молекул, второе — через температуру. Сопоставляя их, переходят от макроскопических величин к энергии отдельных частиц. Эта связь помогает объяснять тепловое равновесие и сравнивать состояния газов. Она также служит основой для дальнейшего изучения внутренней энергии и теплоёмкости.

Что запомнить

• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы пропорциональна абсолютной температуре.
• Для идеального газа средняя энергия одной молекулы равна 3/2 kT.
• В формулу подставляют температуру в кельвинах.
• Постоянная Больцмана связывает микроскопическую энергию молекулы с температурой.
• При одинаковой температуре средняя поступательная энергия молекул идеальных газов одинакова.
• Формула описывает среднее значение, а не энергию каждой молекулы.